吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题数学试卷 一.选择题（每小题5分，共60分，将答案填在答题卡内，否则不给分） 1.设向量()0,2a =，(
)
3,1b =，则a b ⋅等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
由向量数量积的坐标公式1212a b x x y y ⋅=+直接代入求得. 【详解】解：03212a b ⋅=⨯+⨯= 故选：C
【点睛】本题考查向量数量积的坐标公式应用，属于容易题.
2.在△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c .若a 3b ＝1，∠A ＝60°，则∠B ＝（ ） A. 45° B. 30°
C. 60°
D. 90°
【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理
sin sin a b A B
=，解出sin B ，从而求出角B 的值，再根据边的大小关系确定B 的唯一性，从而得出结果.
【详解】解：由正弦定理可知：sin sin a b A B
=，所以3
1sin 12sin 23
b A B a ===，则6B π=或56
B π=
，又因为b a <，所以B A <，所以6B π
=.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理的应用，已经边长求角，考查大边对大角的知识点，属于基础题. 3.若等差数列{}n a ，且13a =，321a =，则7a 的值为（ ） A. 21
B. 63
C. 13
D. 57
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式，先计算d 的值，再通过基本量计算结果. 【详解】解：
{}
n a 为等差数列，且13a =，321a =，所以31
92
a a d -=
=，所以71635457a a d =+=+=.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 4.函数2
2y x x
=+（x ＞0）的最小值是（ ） A. 2 B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用基本不等式即可求解. 【详解】函数2
2(0)y x x x
=+
>，直接利用基本不等式求解即可， 当0x >时，224y x x
=+
≥，当且仅当2
2x x =时成立，
此时，1x =，4y =，故函数2
2y x x
=+（x ＞0）的最小值是4. 故选：B
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
5.已知向量()3,2a =-，()1,b λ=-，且//a b ，则实数λ的值为 A. 1 B. 13
C.
23
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可.
【详解】因为()3,2a =-，()1,b λ=-，且//a b ， 所以，3?210λ--⨯-=， 解得2
3
λ=
，故选C. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
6.在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒
==∠=，则c =（ ）
A. 37
B. 13
1337
【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据余弦定理求解即可．
【详解】解：∵3,4,120a b C ︒
==∠=， ∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=， ∴37c = 故选：D ．
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 7.关于x 的不等式()()110x x -+≤的解集是（ ） A. ()1,1- B. [)1,1- C. (]1,1-
D. []1,1-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集与二次方程的根、二次函数的性质求解． 【详解】(1)(1)0
x x -+=两根为1和－1，函数2
(1)(1)1y x x x =-+=-是开口向上的抛
物线，∴原不等式的解集为[1,1]-． 故选：D ．
【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握“三个二次”之间的关系是解题关键． 8.在数列{}n a 中，11a =，120n n a a +-=，则5a =（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，{}n a 为等比数列，用基本量求解即可.
【详解】因为120n n a a +-=，故{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，
故44
51216a a q ===.
故选：A.
【点睛】本题考查等比数列的定义，属基础题.
9.一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（ ） A. 27π B. 18π C. 9π D. 54π
【答案】A 【解析】 【分析】
球的内接正方体的对角线就是球的直径，正方体的棱长为a ，球的半径为r ，则2654a =，求出正方体棱长，再求球半径即可
【详解】解：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ， 则2654a =，所以3a =． 又因为()2
2222r a a a =++ 23r a
所以333r =
所以2
274427.4
S r =π=π⨯=π 故选：A
【点睛】考查球内接正方体棱长和球半径的关系以及球表面积的求法，基础题.
10.已知0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A. 22a b < B.
11a b
< C. 22a b < D. 2ab b <
【答案】C 【解析】
试题分析：取a=-2,b=-1,代入到各个选项中得到正确答案为C ． 考点：赋值法．不等式的性质．
11.如图所示，在ABC 中，点D 是边AB 的中点，则向量DC =（ ）
A. 1
2BA BC + B.
1
2BA BC - C. 1
2
BA BC --
D. 1
2
BA BC -+
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量线性运算法则可求得结果. 【详解】
D 为AB 中点 11
22
DB AB BA ∴=
=- 1
2
DC DB BC BA BC ∴=+=-+
本题正确选项：D
【点睛】本题考查根据向量线性运算，用基底表示向量的问题，属于常考题型. 12.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 36
π+ B. 66
π+ C. 312
π+ D. 12
【答案】A
【解析】
由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为2
1111
3433436,
4332
Vππ
=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.
二.填空题（共20分，每小题5分）
13.若实数,x y满足约束条件
10
30
30
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则23
x y
-的最大值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23
z x y
=-表示直线在y轴上截距的1
3
-，只需求出直线在y轴上的截距最小值即可.
【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线23
z x y
=-过点A时，
在y轴上截距最小，又()
3,0
A，
此时max236
z=⨯=.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.
14.底面半径为2，母线长为4的圆柱，则圆柱的表面积为____ 【答案】24π 【解析】 【分析】
计算出侧面积和底面积相加即得．
【详解】由题意22222424S πππ=⨯+⨯⨯=． 故答案为：24π．
【点睛】本题考查圆柱的表面积，掌握基本几何体的表面积公式是解题关键． 15.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，525S =，则6S =__________． 【答案】36； 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式求出首项与公差，再利用前n 项和公式即可求解. 【详解】由11S =，525S =，
则11511545252S a d
S a ==⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩
，解得11a =，2d =， 所以61656630362
d
S a ⨯=+=+=. 故答案为：36
【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 16.已知2=a ，1=b ，()5a a b ，则,a b 夹角________.
【答案】60 【解析】 【分析】
利用向量的运算律和数量积公式直接求解即可. 【详解】设,a b 夹角为θ，则0θπ<<，得2
()4cos 5a a
b a
a b a b ，
54
1
cos 2
a b θ-∴=
=⋅，60θ∴= 故答案为：60
【点睛】本题考查向量的数量积及其运算律并求向量的夹角，属于基础题.
三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a b A = （1）求角B 的大小；
（2）若33a =，5c =求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）（II ）7S π=
【解析】 【分析】
（1）根据条件及正弦定理得到1
2
sinB =
，于是可得所求角的大小．（2）先由余弦定理得到7b =
【详解】（1）由正弦定理及条件得sin 2sin sin A B A =， ∵0sinA ≠， ∴1
sin 2
B =
， 又三角形为锐角三角形， ∴6
B π
=
．
（2）在ABC ∆中由余弦定理得
222222cos (33)52335cos
76
b a
c ac B π
=+-=+-⨯⨯=，
∴ 7b =
设ABC ∆外接圆的半径为R ，
则
7
2=
7
sin 2
b R B
== ∴7R =
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∴ABC ∆外接圆的面积为27S R ππ==．
【点睛】考查用正余弦定理解三角形的应用，解题时注意正弦定理中的比值与三角形外接圆半径间的关系，属于基础题．
18.已知平面向量a ，b ，()
1,2a =.
（1）若()
0,1b =，求2a b +的值； （2）若()
2,b m =，a 与a b -共线，求实数m 的值. 【答案】（1）17；（2）4. 【解析】 【分析】
（1）结合已知求得：2(1,4)+=a b ，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解. （2）求得：(1,2)m -=--a b ，利用a 与a b -共线可列方程1212
m --=，解方程即可. 【详解】解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ，
所以22
21417+=+=a b （2）(1,2)m -=--a b ， 因为a 与a b -共线，所以
1212
m
--=，解得4m =. 【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题．
19.已知等差数列{}n a 满足352,3a a ==． （1） 求{}n a 的通项公式；
（2） 设等比数列{}n b 满足11,b a =415b a =,求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12
n n a +=（2）21n
n T =- 【解析】 【分析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为1,a d 的形式，列方程组，解方程组可求得1,a d 的
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值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得41,b b 的值，根据基本元的思想，，将其转化为1,b q 的形式，由此求得q 的值，根据等比数列前n 项和公式求得数列n b 的前n 项和.
【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由3523a a =⎧⎨=⎩得1
1
12a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,
故{}n a 的通项公式112n n a -=+
，即1
2n n a +=． （2）由（1）得1415151
1,82
b b a +====． 设{}n a 的公比为q ，则3
4
1
8b q b =
=，从而2q =， 故{}n b 的前n 项和(
)()111122
1112
n
n
n
n b q T q
-⨯-=
==---．
【点睛】本小题主要考查利用基本元的
思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题. 20.ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a =2，3cos 5
B = （1）若b =4，求sin A 的值；
（2）若ABC 的面积为4，求b ，c 的值. 【答案】（1）2
5
；（2）17b =5c = 【解析】 【分析】
（1）用正弦定理求出sin A ；
（2）由三角形面积公式直接求出c ，然后用余弦定理求得b ． 【详解】（1）由题意2
4
sin 1cos 5
B B =-=
， 由sin sin a b A B
=得4
2sin 25sin 45
a B A
b ⨯
===； （2）114
=sin 24225
S ac B c =⨯⨯⨯=
5c =
2222cos 3425225175
b a
c ac B
=+-=+-⨯⨯⨯= 17b =
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，属于基础题．
21.已知数列{}n a 的前n 项和为2210n S n n =-.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求使得n S 最小时n 的值.
【答案】（1）412n a n =-；（2）2n =或3
【解析】
【分析】
（1）根据2210n S n n =-，分别讨论1n =，2n ≥两种情况，即可求出结果；
（2）根据等差数列前n 项和的函数特征，即可得出结果.
【详解】（1）因为2210n S n n =-，
所以当1n =时，211211018a S ==⨯-⨯=-； 当2n ≥时，22
1=210)2(1)10(1)412n n n a S S n n n n n -⎡⎤=------=-⎣⎦（；
显然1n =是，也满足412n a n =-，
所以412n a n =-； (2) 因为2
2525210222n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 又*n N ∈，所以当2n =或3n =时，n S 取得最小值.
【点睛】本题主要考查由等差数列的前n 项和求通项，以及前n 项和取最值的问题，属于基础题型.
22.数列{}n a 满足n a =123...n n ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项和为_______.
【答案】20201011
【解析】
【分析】
由等差数列前n 项和公式求得n a 后，用裂项相消法求11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项和 【详解】由已知1(1)12(1)2
n n n a n n +==+， 114114()(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 所以
1223202020211111111114[()()()]233420212022
a a a a a a +++=-+-++-1120204()220221011
=-=， 故答案为：20201011
． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查裂项相消法求和，在数列求和中一些特殊方法需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．。