高中物理微元法解决物理试题解题技巧(超强)及练习题

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高中物理微元法解决物理试题解题技巧(超强)及练习题
一、微元法解决物理试题
1.雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象.为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力,小玲同学将一圆柱形水杯置于院中,测得10分钟内杯中雨水上升了15mm ,查询得知,当时雨滴落地速度约为10m /s ,设雨滴撞击芭蕉后无反弹,不计雨滴重力,雨水的密度为1×103kg /m 3,据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为 A .0.25N B .0.5N
C .1.5N
D .2.5N
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由于是估算压强,所以不计雨滴的重力.设雨滴受到支持面的平均作用力为F .设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =10m/s 减为零.以向上为正方向,对这部分雨水应用动量定理:F △t =0-(-△mv )=△mv .得:F =
mv
t
V V ;设水杯横截面积为S ,对水杯里的雨水,在△t 时间内水面上升△h ,则有:△m =ρS △h ;F =ρSv
h
t
V V .压强为:33
22151011010/0.25/1060
F h P v N m N m S t ρ-⨯===⨯⨯⨯=⨯V V ,故A 正确,BCD 错误.
2.水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点,得到广泛应用.某水刀切割机床如图所示,若横截面直径为d 的水流以速度v 垂直射到要切割的钢板上,碰到钢板后水的速度减为零,已知水的密度为ρ,则钢板受到水的冲力大小为
A .2d v πρ
B .22d v πρ
C .2
1
4
d v πρ
D .22
14
d v πρ
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
设t 时间内有V 体积的水打在钢板上,则这些水的质量为:
21
4
m V Svt d vt ρρπρ===
以这部分水为研究对象,它受到钢板的作用力为F ,以水运动的方向为正方向,由动量定理有:
Ft =0-mv
解得:
221
4
mv F d v t πρ=-
=- A. 2d v πρ与分析不符,故A 错误. B. 22d v πρ与分析不符,故B 错误. C. 21
4
d v πρ与分析不符,故C 错误. D.
221
4
d v πρ与分析相符,故D 正确.
3.如图所示,长为l 均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上,由于某一微小扰动使铁链向一侧滑动,则铁链完全离开滑轮时速度大小为( )
A 2gl
B gl
C 2
gl D 1
2
gl 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中,链条重心下降的高度为
244l l l H =
-= 链条下落过程,由机械能守恒定律,得:
2142
l mg mv ⋅
= 解得:
2
gl v =
2gl A 项与题意不相符; gl B 项与题意不相符; 2
gl
与分析相符,故C 项与题意相符;
D.
1
2
gl 与分析不相符,故D 项与题意不相符.
4.如图所示,某力10N F =,作用于半径1m R =的转盘的边缘上,力F 的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力F 做的总功应为( )
A .0J
B .20J π
C .10J
D .20J
【答案】B 【解析】 【详解】
把圆周分成无限个微元,每个微元可认为与力F 在同一直线上,故
W F s ∆=∆
则转一周中做功的代数和为
2π20πJ F R W ⨯==
故选B 正确。

故选B 。

5.生活中我们经常用水龙头来接水,假设水龙头的出水是静止开始的自由下落,那么水流在下落过程中,可能会出现的现象是( )
A .水流柱的粗细保持不变
B .水流柱的粗细逐渐变粗
C .水流柱的粗细逐渐变细
D .水流柱的粗细有时粗有时细 【答案】C 【解析】 【详解】
水流在下落过程中由于重力作用,则速度逐渐变大,而单位时间内流过某截面的水的体积是一定的,根据
Q=Sv
可知水流柱的截面积会减小,即水流柱的粗细逐渐变细,故C 正确,ABD 错误。

故选C 。

6.光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面.前者表明光子具有能量,后者表明光子除了具有能量之外还具有动量.由狭义相对论可知,一定的质量m 与一定的能量E 相对应:E =m 2 c ,其中c 为真空中光速.
(1)已知某单色光的频率为v ,波长为λ,该单色光光子的能量E =hv ,其中h 为普朗克常量.试借用质子、电子等粒子动量的定义:动量=质量×速度,推导该单色光光子的动量
p = h
λ
.
(2)光照射到物体表面时,如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样,将产生持续均匀的压力,这种压力会对物体表面产生压强,这就是“光压”,用I 表示.
一台发光功率为O P 的激光器发出一束某频率的激光,光束的横截面积为S .如图所示,真空中,有一被固定的“∞”字形装置,其中左边是圆形黑色的大纸片,右边是与左边大小、质量均相同的圆形白色大纸片.
①当该激光束垂直照射到黑色纸片中心上,假设光全部被黑纸片吸收,试写出该激光在黑色纸片的表面产生的光压1I 的表达式.
②当该激光束垂直坪射到白色纸片中心上,假设其中被白纸反射的光占入射光的比例为η,其余的入射光被白纸片吸收,试写出该激光在白色纸片的光压2I 的表达式. 【答案】(1)见解析;(2)1I =02P I cS ;= ()01P CS
η+
【解析】 【分析】
(1)根据能量与质量的关系,结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量h
p λ


(2)根据一小段时间△t 内激光器发射的光子数,结合动量定理求出其在物体表面引起的光压的表达式. 【详解】
(1)光子的能量为 E=mc 2 根据光子说有 E=hν=c
h
λ
光子的动量 p=mc 可得 E h p c λ
=
=.
(2)①一小段时间△t内激光器发射的光子数
P t n
hc
V
λ
=
光照射物体表面,由动量定理得-F△t=0-np
产生的光压 I1=
F
S
解得0
1
P
I
cS
=
②假设其中被白纸反射的光占入射光的比例为η,这些光对物体产生的压力为F1,(1-η)被黑纸片吸收,对物体产生的压力为F2.
根据动量定理得
-F1△t=0-(1-η)np
-F2△t=-ηnp-ηnp
产生的光压12
2
F F
I
S
+
=
联立解得
()
2
1P
I
cS
η
+
=
【点睛】
本题要抓住光子的能量与动量区别与联系,掌握动量定理的应用,注意建立正确的模型是解题的关键.
7.如图所示,在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,有两条相互平行且相距为d的光滑固定金属导轨P1P2P3和Q1Q2Q3,两导轨间用阻值为R的电阻连接,导轨P1P2、Q1Q2的倾角均为θ,导轨P2P3、 Q2Q3在同一水平面上,P2Q2⊥P2 P3,倾斜导轨和水平导轨用相切的小段光滑圆弧连接.质量为m的金属杆CD从与P2Q2处时的速度恰好达到最大,然后沿水平导轨滑动一段距离后停下.杆CD始终垂直导轨并与导轨保持良好接触,空气阻力、导轨和杆CD的电阻均不计,重力加速度大小为g,求:
(1)杆CD到达P2Q2处的速度大小v m;
(2)杆CD沿倾斜导轨下滑的过程通过电阻R的电荷量q1以及全过程中电阻R上产生的焦耳热Q;
(3)杆CD沿倾斜导轨下滑的时间Δt1及其停止处到P2Q2的距离s.
【答案】(1)222sin cos m mgR v B d θθ=(2)sin Q mgL θ=(3)22442
sin cos m gR s B d θ
θ
= 【解析】
(1)经分析可知,杆CD 到达22P Q 处同时通过的电流最大(设为m I ),且此时杆CD 受力平衡,则有cos sin m B dI mg θθ⋅=
此时杆CD 切割磁感线产生的感应电动势为cos m E B dv θ=⋅ 由欧姆定律可得m m E I R
=
,解得222sin cos m mgR v B d θθ=
(2)杆CD 沿倾斜导轨下滑过程中的平均感应电动势为1
1
E t ∆Φ=∆,1cos B Ld θ∆Φ=⋅ 该过程中杆CD 通过的平均电流为1
1E I R
=
,又111q I t =∆,解得1cos BdL q R θ=
对全过程,根据能量守恒定律可得sin Q mgL θ= (3)在杆CD 沿倾斜导轨下滑的过程中,根据动量定理有
111sin cos 0m mg t B I d t mv θθ⋅∆-⋅∆=-
解得2221222
cos cos sin mR B d L t B d mgR θ
θθ
∆=+ 在杆CD 沿水平导轨运动的过程中,根据动量定理有220m BI d t mv -⋅∆=-,该过程中通过R 的电荷量为222q I t =∆ 由求1q 得方法同理可得2Bds
q R
=
, 解得22442
sin cos m gR s B d θ
θ
= 点睛:解决本题时,推导电量的经验公式Ф
q R
=
V 和运用动量定理求速度是解题的关键,并能抓住感应电荷量与动量定理之间的内在联系.
8.光子具有能量,也具有动量.光照射到物体表面时,会对物体产生压强,这就是“光压”.光压的产生机理如同气体压强:大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力,器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强.设太阳光每个光子的平均能量为E ,太阳光垂直照射地球表面时,在单位面积上的辐射功率为P 0.已知光速为c ,则光子的动量为E/c .求:
(1)若太阳光垂直照射在地球表面,则时间t 内照射到地球表面上半径为r 的圆形区域内太阳光的光子个数是多少?
(2)若太阳光垂直照射到地球表面,在半径为r 的某圆形区域内被完全反射(即所有光子均被反射,且被反射前后的能量变化可忽略不计),则太阳光在该区域表面产生的光压(用I 表示光压)是多少?
(3)有科学家建议利用光压对太阳帆的作用作为未来星际旅行的动力来源.一般情况下,太阳光照射到物体表面时,一部分会被反射,还有一部分被吸收.若物体表面的反射系数为ρ,则在物体表面产生的光压是全反射时产生光压的
12
ρ
+倍.设太阳帆的反射系数ρ=0.8,太阳帆为圆盘形,其半径r=15m ,飞船的总质量m=100kg ,太阳光垂直照射在太阳帆表面单位面积上的辐射功率P0=1.4kW ,已知光速c=3.0×108
m/s .利用上述数据并结合第(2)问中的结论,求太阳帆飞船仅在上述光压的作用下,能产生的加速度大小是多少?不考虑光子被反射前后的能量变化.(保留2位有效数字) 【答案】(1)20r P t
n E
π= (2)0
2P I c
=
(3)525.910/a m s -=⨯ 【解析】 【分析】 【详解】
(1)时间t 内太阳光照射到面积为S 的圆形区域上的总能量E 总= P 0St 解得E 总=πr 2 P 0t
照射到此圆形区域的光子数n =E E

解得20r P t
n E
π=
(2)因光子的动量p =
E c
则到达地球表面半径为r 的圆形区域的光子总动量p 总=np 因太阳光被完全反射,所以时间t 内光子总动量的改变量 Δp =2p
设太阳光对此圆形区域表面的压力为F ,依据动量定理Ft =Δp 太阳光在圆形区域表面产生的光压I =F /S 解得0
2P I c
=
(3)在太阳帆表面产生的光压I ′=12
ρ
+I 对太阳帆产生的压力F ′= I ′S
设飞船的加速度为a ,依据牛顿第二定律F ′=ma 解得a =5.9×10-5m/s 2
9.随着电磁技术的日趋成熟,新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术,它的原理是,飞机着舰时利用电磁作用力使它快速停止。

为研究问题的方便,我们将其简化为如图所示的模型。

在磁感应强度为B 、方向如图所示的匀强磁场中,两根平行金属轨道MN 、PQ 固定在水平面内,相距为L ,电阻不计。

轨道端点MP 间接有阻值为R 的电阻。

一个长为L 、质量为m 、阻值为r 的金属导体棒ab 垂直于MN 、PQ 放在轨道上,与轨道接触良好。

飞机着舰时质量为M 的飞机迅速钩住导体棒ab ,钩住之后关闭动力系统并立即获得共同的
速度v ,忽略摩擦等次要因素,飞机和金属棒系统仅在安培力作用下很快停下来。

求 (1)飞机在阻拦减速过程中获得的加速度a 的最大值;
(2)从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中R 上产生的焦耳热Q R ; (3)从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中运动的距离x 。

【答案】(1)22()()B L v R r M m ++;(2)2()2()R M m v R r ++;(3)22
()()M m R r v
B L
++ 【解析】 【分析】 【详解】
(1)产生的感应电动势
E BLv =
E
I R r
=
+ ()F BIL M m a ==+安
解得
22()()
B L v
a R r M m =++
(2)由能量关系;
21
()2
M m v Q += R R
Q Q R r
=
+ 解得
2
()2()
R R M m v Q R r +=+
(3)由动量定理
-t t 0()I BIL BLq M m v ⋅∆=-⋅∆=-=-+安
()M m v
q BL
+=
q I t =⋅∆
E
I R r
=
+ E t
∆Φ
=

BLx ∆Φ=
解得
22
()()M m R r v
x B L ++=
10.光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面.前者表明光子具有能量,后者表明光子除了具有能量之外还具有动量.由狭义相对论可知,一定的质量m 与一定的能量E 相对应:2E mc =,其中c 为真空中光速.
(1)已知某单色光的频率为ν,波长为λ,该单色光光子的能量E h ν=,其中h 为普朗克常量.试借用质子、电子等粒子动量的定义:动量=质量×速度,推导该单色光光子的动量
h
P λ
=

(2)光照射到物体表面时,如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样,将产生持续均匀的压力,这种压力会对物体表面产生压强,这就是“光压”,用I 表示.一台发光功率为P 0的激光器发出一束某频率的激光,光束的横截面积为S ,当该激光束垂直照射到某物体表面时,假设光全部被吸收,试写出其在物体表面引起的光压的表达式.
(3)设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力,将太阳系中的探测器送到太阳系以外,这就需要为探测器制作一个很大的光帆,以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力,不考虑行星对探测器的引力.一个质量为m 的探测器,正在朝远离太阳的方向运动.已知引力常量为G ,太阳的质量为M ,太阳辐射的总功率为P 0,设帆面始终与太阳光垂直,且光帆能将太阳光全部吸收.试估算该探测器光帆的面积应满足的条件. 【答案】(1)见解析 (2)0
P I cS
=(3)
【解析】
试题分析:(1)光子的能量2E mc =c
E h h νλ
==(2分)
光子的动量p mc =(2分) 可得E h
p c λ
=
=(2分) (2)一小段时间Δt 内激光器发射的光子数
0P t
n c h
λ
∆=
(1分) 光照射物体表面,由动量定理
F t np ∆=(2分)
产生的光压F
I S
=(1分) 解得0
P I cS
=
(2分) (3)由(2)同理可知,当光一半被反射一半被吸收时,产生的光压
32P
I cS
=
(2分) 距太阳为r 处光帆受到的光压
2
324P
I c r
π=
⋅(2分) 太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
2
'Mm
IS G
r >(2分) 解得
(2分)
考点:光子 压强 万有引力
11.对于同一物理问题,常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究,找出其内在联系,从而更加深刻地理解其物理本质.
(1)一段横截面积为S 、长为L 的直导线,单位体积内有n 个自由电子,电子电荷量为e .该导线通有电流时,假设自由电子定向移动的速率均为v,求导线中的电流I (请建立模型进行推导);
(2)正方体密闭容器中有大量运动粒子,每个粒子质量为m ,单位体积内粒子数量n 为恒量.为简化问题,我们假定:粒子大小可以忽略;其速率均为v ,且与器壁各面碰撞的机会均等;与器壁碰撞前后瞬间,粒子速度方向都与器壁垂直,且速率不变.利用所学力学知识,导出器壁单位面积所受粒子压力F 与m 、n 和v 的关系(提示:建议,建立模型,思考压强的产生原理).
【答案】(1)nvSe ;(2)2
13
nmv 【解析】
试题分析:取一时间段t ,求得相应移动长度l=vt ,体积为为Svt .总电量为nesvt ,再除以时间,求得表达式;粒子与器壁有均等的碰撞机会,即相等时间内与某一截面碰撞的粒
子为该段时间内粒子数的1
6,据此根据动量定理求与某一个截面碰撞时的作用力f . (1)导体中电流大小q
I t
=
t 时间内电子运动的长度为vt ,则其体积为Svt ,通过导体某一截面的自由电子数为nSvt 该时间内通过导体该截面的电量:q nSvte =
由①②式得I nesv =;
(2)考虑单位面积,t 时间内能达到容器壁的粒子所占据的体积为1V Svt vt ==⨯, 其中粒子有均等的概率与容器各面相碰,即可能达到目标区域的粒子数为11
66
nV nvt =
, 设碰前速度方向垂直柱体地面且碰撞是弹性的,则分子碰撞器壁前后,总动量的变化量为
126p mv
nvt ∆=⋅ 由动量定理可得:()212163
nvt mv p f nmv t t ⨯∆===
12.如图所示,两平行金属导轨置于水平面(纸面)内,导轨间距为l ,左端连有一阻值为R 的电阻。

一根质量为m 、电阻也为R 的金属杆置于导轨上,金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场区域。

给金属杆一个瞬时冲量使它水平向右运动,它从左边界进入磁场区域的速度为v 0,经过时间t ,到达磁场区域右边界(图中虚线位
置)时速度为
012
v 。

金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好,它们之间的动摩擦因数为μ。

除左端所连电阻和金属杆电阻外,其他电阻忽略不计。

求:
(1)金属杆刚进入磁场区域时的加速度大小;
(2)金属杆在滑过磁场区域的过程中金属杆上产生的焦耳热。

【答案】(1)2202B L v a g mR
μ=+ ;(2)222220102232162m gRv m g Rt Q mv B L μμ-=- 【解析】
【分析】
【详解】
(1)金属杆刚进入磁场时,有
0E BLv =
E I R R
=+ F BIL =
金属杆受到的摩擦力
f m
g μ=
由牛顿第二定律
F f ma +=
联立以上各式解得
2202B L v a g mR
μ=+
(2)当金属杆速度为v 时,产生的感应电动势
E BLv '=
感应电流 E I R R ''=+ 金属杆受到的安培力 F BI L ''=
由动量定理得,在短暂的时间t ∆内有
F t mg t m v μ-∆-∆=⋅∆

222B L v t mg t m v R
μ∆--∆=∆ 对上式从金属杆进入磁场到离开磁场,求和得
220022
B L x v mgt m mv R μ--=- 式中x 为磁场区域左、右边界的距离,解得
0222mv R mgtR x B L
μ-= 设此过程中金属杆克服安培力做功为W ,由动能定理 022011222
v W mgx m mv μ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ 联立以上各式,解得此过程中回路产生的焦耳热为
222220022
328m gRv m g Rt Q W mv B L μμ-==- 则金属杆产生的焦耳热为
2222201022232162m gRv m g Rt Q Q mv B L
μμ-==-
13.如图所示,有一条长为L 的均匀金属链条,一半长度在光滑斜面上,另一半长度沿竖直方向下垂在空中,斜面倾角为θ。

当链条由静止开始释放后,链条滑动,求链条刚好全部滑出斜面时的速度。

【解析】
【分析】
【详解】 设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面,链条的总质量为m 。

开始时斜面上的那部分链条的重力势能为
p1sin 24
mg L E θ=-
⋅ 竖直下垂的那部分链条的重力势能为 p224mg L E =-
⋅ 则开始时链条的机械能为
1p1p2sin (1sin )24248mg L mg L mgL E E E θθ⎛⎫=+=-⋅+-⋅=-+ ⎪⎝⎭
当链条刚好全部滑出斜面时,重力势能为
p 2
L E mg =-⋅
动能为 2k 12
E mv =
则机械能为 22k p 1122E E E mv mgL =+=
- 因为链条滑动过程中只有重力做功,所以其机械能守恒,则由机械能守恒定律得21E E = 即
211(1sin )228
mgL mv mgL θ-=-+ 解得
v =
14.根据量子理论,光子不但有动能,还有动量,其计算式为/p h λ=,其中h 是普朗克常量,λ是光子的波长. 既然光子有动量,那么光照到物体表面,光子被物体吸收或反射时,光都会对物体产生压强,这就是“光压”.既然光照射物体会对物体产生光压,有人设想在遥远的宇宙探测中用光压为动力推动航天器加速. 给探测器安上面积极大,反射率极高的薄膜,并让它正对太阳.已知在地球绕日轨道上,每平方米面积上得到的太阳光能为0 1.35kW P =,探测器质量为50kg M =,薄膜面积为42410m ⨯,那么探测器得到的加
速度为多大?
【答案】424.1.810m /s -⨯
【解析】
【分析】
【详解】
由E hv =和/p h λ=以及真空中光速c v λ=,不难得出光子的能量和动量之间的关系:E pc =.
设时间t 内激光器射出的光子个数为n ,每个光子的能量为E ,动量为p ,激光照到物体上后全部被反射,
这时激光对物体的光压最大. 设这个压强为P ,则有0n P E t =,2n F p t =⋅,F P S =. 将E pc =代入得02P P cS
=. 所以,72.2510Pa P -=⨯.
再由牛顿第二定律,得42/ 1.810m /s a PS M -==⨯.
本题是光子与物体相互作用产生光压的典型示例,也是连续作用问题在光子与物体间相互作用的典型示例,阅读本题能理解光压产生的原因.
本题中航天器得到的加速度虽然很小,但长时间加速后也能得到可观的速度增量. 这对远距离的太空探测来说是可行的,作为科学设想,本题的构思是有其积极意义的.
15.对于同一物理问题,常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究,找出其内在联系,可以更加深刻地理解其物理本质。

(1)单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲,但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持续的力。

我们假定单位体积内粒子数量为n ,每个粒子的质量为m ,粒子运动速率均为v 。

如果所有粒子都垂直物体表面运动并与其碰撞,利用所学力学知识,导出物体表面单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系。

(2)实际上大量粒子运动的速率不尽相同。

如果某容器中速率处于100~200m/s 区间的粒子约占总数的10%,而速率处于700~800m/s 区间的粒子约占总数的5%,论证:上述两部分粒子,哪部分粒子对容器壁的压力f 贡献更大。

【答案】(1)2f nmv =;(2)速率处于700~800m/s 区间的粒子对容器壁的压力f 贡献
更大
【解析】
【分析】
本题考查碰撞过程中的动量定理和压强与压力的公式推导
【详解】
(1)在时间t 内射入物体单位面积上的粒子数为
N nvt =
由动量定理得
Nmv ft =
可推导出
2f nmv =
(2)设炉子的总数为N 总,故速率处于 100~200m/s 区间的粒子数
n 1=N 总×10%
它对物体表面单位面积的压力
f 1= n 1mv 12= N 总×10%×mv 12
同理可得速率处于700~800m/s 区间的粒子数
n 2=N 总×5%
它对物体表面单位面积的压力
f 2= n 2mv 22= N 总×5%×mv 22

22
1122
2210%10150==5%57510N mv f f N mv ⨯⨯⨯⨯⨯⨯<总总 故是速率大的粒子对容器壁的压力f 贡献更大。

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