初二数学等差等比数列应用题详解

初二数学等差等比数列应用题详解数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数所组成。

其中等差数列和等比数列是初中数学中常见的两种数列。

本文将详细解释等差等比数列的概念，并给出一些应用题的解析。

一、等差数列
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

通常用字母a 表示首项，d 表示公差，那么等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。

其中，an 表示第 n 项。

例子：
已知一个等差数列的首项为 2，公差为 3，求前 10 项的和。

解析：
根据等差数列的通项公式可知，这个数列的通项公式为 an = 2 + (n-1)3。

将 n 从 1 到 10，代入通项公式中，求得各项的值：
a1 = 2 + 0×3 = 2
a2 = 2 + 1×3 = 5
a3 = 2 + 2×3 = 8
...
a10 = 2 + 9×3 = 29
到前 10 项的和：
S10 = (2+29)×10/2 = 155
所以，前 10 项的和为 155。

二、等比数列
等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

通常用字母 a 表示
首项，r 表示公比，那么等比数列的通项公式为 an = a × r^(n-1)。

其中，an 表示第 n 项。

例子：
已知一个等比数列的首项为 3，公比为 2，求前 5 项的和。

解析：
根据等比数列的通项公式可知，这个数列的通项公式为 an = 3 ×
2^(n-1)。

将 n 从 1 到 5，代入通项公式中，求得各项的值：
a1 = 3 × 2^(1-1) = 3
a2 = 3 × 2^(2-1) = 6
a3 = 3 × 2^(3-1) = 12
a4 = 3 × 2^(4-1) = 24
a5 = 3 × 2^(5-1) = 48
得到前 5 项的和：
S5 = 3×(2^5 - 1)/(2-1) = 3×(32 - 1) = 93
所以，前 5 项的和为 93。

三、应用题实例
1. 一个等差数列的首项为 2，末项为 20，求该等差数列共有多少项。

解析：
已知首项 a1 = 2，末项 an = 20，公差 d = an - a1 = 20 - 2 = 18。

根据等差数列的通项公式 an = a1 + (n-1)d，代入已知的首项、末项
和公差，得到方程 20 = 2 + (n-1)18。

化简方程，得到 n = 2 + 18(n-1)。

继续化简，得到 n = 2 + 18n - 18。

整理得到 17n = 16，解方程得到 n = 16/17。

所以，该等差数列共有 16/17 项。

2. 一个等比数列的首项为 2，公比为 0.5，求前 8 项的和。

解析：
已知首项 a1 = 2，公比 r = 0.5。

根据等比数列的通项公式 an = a1 × r^(n-1)，代入已知的首项和公比，得到前 8 项的和 S8 = a1×(r^8 - 1)/(r-1)。

将 a1 = 2，r = 0.5，即可求得 S8。

计算 S8 = 2×(0.5^8 - 1)/(0.5-1) = 2×(0.00390625 - 1)/(-0.5) = 2×(-
0.99609375)/(-0.5) = 3.9921875。

所以，前 8 项的和为 3.9921875。

通过以上例题的解析，我们可以清楚地了解到等差数列和等比数列
的概念以及如何求解应用题。

希望本文对初二数学学习中遇到的等差
等比数列问题有所帮助。