CCS的状态空间设计

y(k) x1(k) x2 (k) u(k)
G(z)= Y (z) z (a 1) • z (b 1)
U(z) z a
z b
若a=b-1，则G(z)=1， 零极点全部对消。
此时，考虑
X2(z) z a 1 U (z) (z a)(z b)
， 模态 (b)k 与u无关，不可控。
考虑 X1(z) X1(z) • U (z) 1 ， 模态 (a)k 不出现在输出Y(z)中，不可观。
例
x1(k
x2
(k
1) 1)
a -1
0 b
x1 (k ) x2 (k)
1 Tu(k
)
y(k) 1
1
x1 (k ) x2 (k)
u
(k
)
Wc F G
G
a b 1
1 1
a b -1 时，系统可控
Wo C
CF T
1 a 1
1 b
a b -1 时，系统可测
x1 x2
(k (k
rank
0
1 1 1
系统不可观
3 可控性及可观性某些问题的说明
1. 系统组成部份
S1: 可控可观部分 S2: 不可控及不可观部分 S3: 可控不可观部分 S4: 可观不可控部分。
系统的分解
系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。
2.表示系统可控性及可观性的另一种方式
可以采用系统模态可控及可观的表示方式。
1
闭环特征方程 det[zI (F - G K )] zn (a1 Kn )zn1 ... (an1 K2 )z (an K1)
（完全能控时，通过K的选择可配置期望极点）
0 2
2
例：已知x(k 1) 4 6x(k) 2u(k)，
y(k) 0.5 1x(k)
讨论线性状态反馈时闭环系统的可控可观性。
y(k) C DK x(k) Dr(k)
结论：
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
y(k) C DK x(k) Dr(k)
(1) 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态 反馈增益K，可以改变系统的稳定性。
(2) 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环 系统也可控，反之亦然。
2 可观性
离散系统：
● 可观性定义：
● 对上述系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确 定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。
系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制矩阵G 无关，为此，可只研究系统的自由运动：
充要条件 rankWO rank[C CF CF n1]T n
2. Ackermann公式
● 建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方 法，对于高阶系统，便于用计算机求解.
若F 是可逆的，则
rankWC rankWR n
可控性与可达性一致
由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆， 故采样系统的可达性与可控性一致。
一些说明：
x(k 1) F x(k) Gu(k)
※ 上述条件针对单入单出系统。多入多出系统有类似条件，但更复杂。 ※ 可控性由系统结构决定（F、G及其关系决定）。
p
q
j 2 k
T
jks
k 1, 2,
– 若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可 控及可观的。
(2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是 可控及可观的。
采样周期影响可控、可观性。 ※ 采样系统可控可观 连续系统可控可观 ※ 连续系统可控可观 采样系统未必可控可观
例(简谐震荡系统)
Y (z) U (z) Y (z) z (b 1)
4 采样系统可控可观性与采样周期的关系
x(t) Ax(t) Bu(t)
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
连续对象： y(t) Cx(t)
采样对象：
y(k) Cx(k)
对于采样系统，不加证明给出下述结论：
(1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可 控及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征 根λp、λq，下式应成立：
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
可达性条件
rankWR rank[F N 1G F N -2G G]=n
与连续系统可 控性条件类似
可控性条件 rankWC rank[F 1G F 2G
F NG] n
※ n维方程组 N=n
※ x(0)——x(N) 需要n步控制
※ WR 可达阵 WC 可控阵
6.2 状态反馈控制律的极点配置设计
6.2.1 状态反馈控制
全状态反馈，闭环设计。
x(k 1) Fx(k) Gu(k) y(k) Cx(k) Du(k)
取线性反馈控制
u(k) Kx(k) Lr(k)
r: p
K :mn L:m p
令 L I ，得闭环系统状态方程
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
CCS的状态空间设计
离散系统状态空间描述的基本特性
1 可控性与可达性
离散系统：
●可控性定义：
● 对上述系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间NT内 驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)=0，则 称该系统是状态完全可控的（简称是可控的）。
●可达性定义：
● 对上述系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限时间NT内 驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)，则称 该系统是状态完全可达的。
引入状态反馈控制 u(k) r(k) Kx(k) K K1 K2 ... Kn
[F-GK]
0
1
0
...
0
0
0
0
1
...
0
0
x(k 1) ...
...
...
... ... x(k) ...r(k)
0
0
0
...
1
0
(an K1) (an1 K2 ) (an2 K3 ) ... (a1 Kn )
T
u(k
)
※ 若只测量角位移 x1 ，输出方程 y(k) Cx(k) 1 0x(k)
rankWo rankC
CF T
rank
C CF
rank
1 1
0
T
2
系统可观
※ 若只测量角速度 x2 ，输出方程 y(k) Cx(k) 0 1x(k)
rankWo rankC
CF T
C
0
rank
CF
s(s
2 2
2
)
[1 cos(T )](z1 1)z1 1 2z1 cos(T ) z2
讨论：
1）当k 奇数时，G(z) 2 ， z 1
连续系统的两个复极点映射到Z平面的同一极点， 即系统中有一个状态不可控；
2）当k 偶数时，G(z) 0， 连续系统的两个复极点全部对消， 即系统中没有状态可控可观；
可观阵 WO [C CF CF n1]T
例
d 2
转动物体 J dt2 M
控制力矩M， 转动惯量J
•
x1 x2
M u(t) J
•
x1
•
x2
0 0
)
离散状态方程
x1(k
x2
(k
1) 1)
1 0
T 1
x1 x2
(k) (k )
T2/2
(2)
0 0
10x
(1)
10u
(1)
x2
(1) 0
u(1)
u(1)
0
x
(3)
0 0
1 0
x
(2)
10u
(2)
x2
(2) 0
u(2)
u(2)
0
※ 可控： 存在 u
当 k 1时，u (k) 0
※ 不可达： 因为当k 1时，x2 (k) 0
离散系统可控及可达应满足的条件
sin(T )
) u(k
)
y(k
)
1
0x(k )
原系统特征根 1,2 j 。 假设周期 T满足下述条件，系统可 能是不可控不可观的：
T k
（k 1，2，）
1 - 2
j2
j
2k
T
可以验证：kk
奇数，rankWC 偶数，rankWC
rankWO rankWO
1 1
例如，考虑 k 奇数：
1) 1)
a -1
0 b
x1 x2
(k) (k )
T1 u(k
)
y(k) 1
1
x1 x2
(k) (k )
u(k
)
x1(k 1) ax1(k) u(k)
X1(z) 1 U(z) z a
x2 (k 1) x1(k) bx2 (k) u(k)
X2(z) z a 1 U (z) (z a)(z b)
x (t )
0
-
0
0
x(t)
u(t
)
y(t) 1
0x(t)
0 x(0) 0
此连续系统是可控可观的。
传递函数
G(s)
2 s2 2
，其特征根
1,2
j
采样系统：u(t)通过采样和ZOH作用于系统
x(k
1)
cos(T ) sin(T )
sin(T ) cos(T )
x(k
)
1 cos(T
det[WO ] 1.5 3K1 1.5K2
可观性由K1、K
的取值决定。
2
C 0.5 1
6.2.2 单输入系统的极点配置
● 基本思想:
● 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然后依据期望极点位置 确定反馈增益矩阵K。(本节主要讨论单输入系统的极点配置方法)
1. 系数匹配
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
(3) 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可观的， 加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观性。
(4) 状态反馈时闭环系统特征方程为
(z) det[zI FC ] det[zI F GK ] 0
● 可见，状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根。可以证明，如果系统是完全可控的，通过 选择K阵可以任意配置闭环系统的特征根。
改变状态选取、或增加控制步数不能改变不可控性。
※ 由连续系统采样形成的离散系统，其可控性和可达性是一致的。 F eAT
但纯离散系统不一致，如①中的例。
※ 可控性表明一种特性，不等于实际控制。 若控制幅值有限制，可能要大于n步。
※ F、G是采样周期T的函数，采样周期影响可控性。 连续系统可控，采样系统未必可控（后面介绍一些条件）。
(5) 状态反馈不能改变或配置系统的零点。
考虑可控SISO系统 （可控标准型）
0
0
x(k 1) ...
0
an
1 0 ... 0 an1
0 1 ... 0 an2
... 0
0
...
0
0
... ... x(k) ...u(k)
...
1
0
... a1
1
特征方程 det[zI F] zn a1zn1 ... an1z an
F
cos( • k / ) sin( • k / )
sin( cos(
• k • k
/) / )
1
0
0 1
1 cos( • k / ) 2
G
sin( • k / )
0
Wc FG
G
2
0
2 0
C 1 0
Wo
CF
1
0
连续系统的脉冲传递函数：
T k k
T
G(
z)
(1
z
1 ) Z
3. 系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因 系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。
（3）有关说明
① 对于MIMO复杂系统，可能存在不同特性的部分。按可控/可观性可分为4类。 ② 脉冲传递函数阵，只反映了系统中可控可观那部分状态的特性。
只有系统完全可控可观，传递函数才能完全反应系统特性。 若发生零点和极点对消，对应系统状态可能是不可控 或（及）不可观的。
解： 1)开环（原）系统是可控 可观的；
2）状态反馈： u(k) r(k) Kx(k)
其中K K1 K2
3）闭环系统：
x(k 1) [F GK ]x(k) Gr(k)
2K1 2(2 K1
)
2(1 K2 2(3 K
)
2
)
x(k
)
2 2
r
(k
)
[
F
GK
]
2K1 2(2 K1
法
状态反馈闭环系统特征方程 det[zI F GK ] 0
闭环系统期望特征根为:
zi i i 1, 2, , n
闭环系统期望特征方程： ac (z) (z 1)(z 2 ) (z n ) 0
对应系数相等，得n个代数方程
K [K1 K2
Kn]
可求得n个未知系数
Ki , i 1, 2, , n
)
2(1 K2 ) 2(3 K2 )
2 G 2
4)可控性：
WC (F GK)G
G
4(1 K1 K2 ) 4(5 K1 K2
)
2 2
det[WC ] 48 0,
可控，与K1、K
的取值无关。
2
5)可观性：
C 0.5
1
WO C(F GK) 4 3K1 5 3K2 )
※ 可控性是可达性的一个特例； 可达，一定可控； 可控，不一定可达。
※ 可控性是可达性的一个特例； 可达，一定可控； 可控，不一定可达。
例：
x
(k
1)
0 0
10x (k) 10u (k)
设x
(0)
x1(0)
x2
(0)
0
x
(1)
0 0
1 0
x
(0)
10u
(0)
x2
(0) 0
u(0)
x