2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第五章-§4二项式定理

（1）“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令＝0可得常数项，令＝1可得所有项
系数之和，令＝ − 1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差.
（2）一般地，二项展开式（）中的各项系数和为（1），
1
1
奇数项系数和为2 ［ （1） + （ − 1）］，偶数项系数和为2 ［ （1） − （ − 1）］.
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反思感悟 运用二项式定理的解题策略
（1）展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解
二项式的特点是展开二项式的前提.
（2）在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程
得到简化.
（3）对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟
悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
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二、求二项展开式中的特定项或其系数
例2
已知在
3
−
3
的展开式中，第6项为常数项.
3

（1）求；（2）求含2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
解
通项为+1＝C
−
3
−3


3
−
＝C
−3
变化情况，一般采用列不等式组的方法求得.
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四、二项展开式的系数和问题
例4
已知（1 − 2）7＝0 + 1 + 22 + ⋯ + 77，求下列各式的值.
（1）1 + 2 + ⋯ + 7；（2）1 + 3 + 5 + 7；
（3）0 + 2 + 4 + 6；（4）|0| + |1| + |2| + ⋯ + |7|.
公式①称为二项式定理，等号右边的式子称为（ + ）的二项展开式，（ + ）的二项展开式
共有（ + 1）项，其中各项系数C （＝0，1，2，…，）称为是二项式系数，式中的C -
用+1表示，称为二项展开式中第（ + 1）项，又称为二项式通项，记作+1＝C - .
(2)在公式中，交换，的顺序对各项没有影响．
(3)C － 是(＋)展开式中的第项．
( × )
( × )
(4)(－)与(＋)的二项式展开式的二项式系数相同．
( √ )
2.(1－2)15的展开式中的各项系数和是( B )
A．1
B．－1
C．215
D．315
3.在(＋)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( C )
由题意有4 − 2＝992，即（2）2−2-992＝0，得2＝32（负值舍去），所以＝5.
（1）因为＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项.
3
它们是3＝C52 （
3
3
＝C
（
5
4
2 ）3（32）2＝906，
22
2 ）2（32）3＝90 3 .
3
（2）设展开式中第（+1）项的系数最大.又+1＝C5 （
−2
3
.
−2
＝0，即＝10.
3
（1）∵ 第6项为常数项，∴ ＝5时，有
10−2
1
＝2，得＝
（10-6）＝2，∴
3
2
（2）令
（3）由题意得，
2
所求的系数为C10
（-3）2＝405.
3
则10 − 2＝3，即＝5− 2 .
∵ ∈ ，∴应为偶数，＝2，0，-2，即＝2，5，8，
解
令＝1，则0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7＝ − 1①，
令＝ − 1，则0 − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7＝37②.
（1）因为0＝C70 ＝1（或令＝0，得0＝1），所以1 + 2 + 3 + ⋯ + 7＝−2.
的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可
求出余数.
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1
2
27
跟踪训练 求＝C27
+C27
+…+C27
除以9的余数.
1
2
27
解 ＝C27
+C27
+…+C27
＝227-1＝89-1＝（9-1）9-1
＝C90 ×99-C91 ×98+…+C98 ×9-C99 -1＝9（C90 ×98-C91 ×97+…+C98 ）-2
之和.事实上，设表中任意一个不为“1”的数为C+1 ，那么它“肩上”的两

个数分别为C−1
和C ，由组合数的性质2得到：

C+1 ＝C−1
+C .
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杨辉三角性质的补充:
(1)每一行都是对称的, C0 =1,C =1.
(2)对于给定的来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知,
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二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有 + 1项,而不是项.
(2)二项式系数都是C (=0,1,2,…,),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2,即C0 + C1 + C2 +…+C =2.
(4)在排列方式上,按照字母的降幂排列,从第一项起,次数由次逐项减少1次直到0次,
3
1

−1 −1
≥
,
C5 3 ≥ C5 3 ,
7
9

6−
得൝
则൞
解得
≤≤
.
1
3
+1 ,
2
2
C5 3 ≥ C+1
3
≥ +1 ,
5
5−
2 ）5- （32） ＝C5 3
26
26
因为为整数，所以＝4，所以展开式中系数最大的项为5＝C54 34 3 ＝405 3 .
10+4
3
，
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反思感悟 求二项式系数或系数最大项问题的策略
（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当为奇数时，中间两项的二项式
系数最大；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负
解 （1）（方法一
3 +
1 4
0
＝C
（3
4

12
直接利用二项式定理展开并化简）
）4+C1 （3
4
1
）3·
2
+C
（3
4

1
）2·

2
+C43 ·3
·
1 3
1 4
4
+C4 ·

1
＝812+108+54+ + 2.
（方法二
3 +
先变形，再用二项式定理展开）
1 4
3+1 4
1
12 1
同时字母按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到次.
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二 二项式系数的性质
系数和当依次取1，2，3，…时，（ + ）展开式的二项式系数
如图所示.
图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角.
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数
第五章
§4
二项式定理
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学习目标
1.理解二项式定理的内容及有关概念，理解二项式定理的推导过程.
2.掌握二项展开式的项数、系数、二项式系数、二项式通项的特征及运用.
3.借助“杨辉三角”，理解二项式系数性质的应用.
4.掌握应用“赋值法”求二项展开式的各项系数和.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
＝1 093 − （ − 1 094）＝2 187.
（方法二）|0| + |1| + |2| + ⋯ + |7|是（1 + 2）7展开式中各项的系数和，
所以|0| + |1| + ⋯ + |7|＝37＝2 187.
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反思感悟 二项展开式的系数和的求解方法
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新知学习
问题导入
根据多项式的乘法法则，容易知道
+ ＝2 + 2 + 2，
（ + ）3＝3 + 32 + 32 + 3，
如果称等式的右边为左边的展开式，那么如何求出 + 的展开式？
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一 二项式定理
∴ 第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为4052，-61 236，295 245 −2 .
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反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）.
（2）对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整数.解这类问题必须
＝ 2 ＝ 2（814+1083+542+12+1）＝812+108+54+ + 2.




（2）原式＝C50 （-1）5+C51 （-1）4+C52 （-1）3+C53 （-1）2+C54 （ −1）+C55 （-1）0-1
＝［（-1）+1］5-1＝5-1.
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三、二项式系数或系数最大项问题
例3
3
已知（ 2 +32）展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.
解
令＝1得展开式各项系数和为（1+3）＝4.
又展开式二项式系数和为C0 +C1 +⋯ + C ＝2，
合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求
有理项一致.
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跟踪训练 已知 3 −
1


展开式中x2的系数是 1215
解析
3 −
的展开式各项系数之和为64，则展开式中第五项的二项式系数是
二项式系数C0 , C1 , C2 ,…,C−2 , C−1 , C ,是先逐渐变大,再逐渐变小的,当是偶数时,中间一项的
二项式系数最大,当是奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大.
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即时训练
1．判断正误
(1)(＋)展开式中共有项．
( × )
−1−37
（2）由（①-②）÷2得1 + 3 + 5 + 7＝
＝−1 094.
2
−1+37
（3）由（①+②）÷2得0 + 2 + 4 + 6＝ 2 ＝1 093.
（4）（方法一）因为（1 − 2）7的展开式中0，2，4，6大于零，而1，3，5，7小于零，
所以 0 + 1 + 2 + ⋯ + 7 ＝ 0 + 2 + 4 + 6 − 1 + 3 + 5 + 7
＝31（C0 ×31-1+C1 ×31-2+⋯+C−1 ），
显然上式括号内的数为整数，所以原式能被31整除.
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反思感悟 求解整除或余数问题的方法
利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，
往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后
（ + ）的展开式中共有（ + 1）种不同的同类项：− （＝0，1，2，…，），相应的
个数为C （＝0，1，2，…，）.因此，根据分类加法计数原理，其展开式为
（ + ）＝C0 +C1 −1 +…+C - +…+C . ①
上式可简写成
A．第8项
B．第7项
C．第9项
D．第10项
4.在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=( A )
A.6
B.7
C.8
D.9
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典例剖析
一、二项式定理的应用
例1
（1）求 3 +
1 4
的展开式.

（2）化简：（-1）5+5（-1）4+10（-1）3+10（-1）2+5（-1）.
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五、利用二项式定理解决整除或余数问题
例5
证明
求证：1 + 2 + 22 + ⋯ + 25−1 能被31整除（∈N*）.
2
1+2+22+⋯+25−1 ＝
5 −1
2−1
＝25 -1＝32 − 1＝（31 + 1） − 1
＝C0 ×31+C1 31−1 +⋯+C−1 ×31+C -1
15
，
.
1
的展开式各项系数之和为（3-1）＝2＝64，解得＝6，所以，展开式中第五项的二

项式系数为C64 ＝15；
3
1 6
1

6-
− 的展开式的通项为+1＝C6 ·（3） ·− ＝C6 ·36-·（-1）· 6-2，
令6 − 2＝2，可得＝2，所以，展开式中2的系数为C62 ·34·（-1）2＝1 215.