人教版-数学-九年级上册-21.2.3 因式分解法 教案

21.2.3 因式分解法解一元二次方程
一、教学目标
（一）学习目标
1. 理解因式分解法解一元二次方程的根据．
2. 会用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程．
（二）学习重点
将整理成一般形式的方程左边因式分解
（三）学习难点
会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程
二、教学设计
（一）课前设计
预习任务
因式分解法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为 两个一次式 的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫 因式分解法 .
预习自测
1．方程x2﹣2x=0的解为（ ）
A ．x1=1，x2=2
B ．x1=0，x2=1
C ．x1=0，x2=2
D ．x1=21
，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【数学思想】转化，降次的数学思想
【解题过程】解：x2﹣2x=0，
x （x ﹣2）=0，
x=0，x ﹣2=0，
x1=0，x2=2，
【思路点拨】利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
【答案】C
2．一元二次方程x （x ﹣2）=2﹣x 的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【知识点】因式分解法解一元二次方程．
【数学思想】转化、降次的数学思想.
【解题过程】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，
∴（x﹣2）（x+1）=0，
∴x﹣2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=﹣1．
【思路点拨】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
【答案】D
3.方程x2+x﹣12=0的两个根为（）
A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3
【知识点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【数学思想】转化、降次的数学思想.
【解题过程】解：（x+4）（x﹣3）=0，
则x+4=0，或x﹣3=0，
解得：x1=﹣4，x2=3．
【思路点拨】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．
【答案】D
4．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
【知识点】因式分解法解一元二次方程．
【数学思想】转化、降次的数学思想。

【解题过程】解：整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x1=﹣2，x2=6
【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【答案】B
(二)课堂设计
1.知识回顾
（1）因式分解的方法：
提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法：利用平方差公式 和完全平方公式 分解因式.
十字相乘法：简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解.
解一元二次方程的方法：
直接开方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方
法解形如()()02≥=+n n m x 的方程，其解为m n x -±=；
配方法：把一元二次方程移项之后，在等号两边都加上一次项系数绝对值一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解；
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式Δ=b-4ac 的值，当b-4ac ≥0
时，把各项系数a ， b ， c 的值代入求根公式
x=(b-4ac ≥0)就可得到方程
的根.
2.问题探究
探究一 因式分解法解一元二次方程的步骤
●活动① 以旧引新
1：复习：将下列各式分解因式（为新知识学习做铺垫）
22222
(1)54(2)44
(3)4(1)22(4)4
(5)(21)x x
x x x x x
x x x --+--+---
答：
()
()()()
()()
()()()()22
22222(1)5454(2)442(3)4(1)224222121(4)422(5)(21)2121311x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=--+=---+=--=-+-=+---=-+--=--
【设计意图】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度.
●活动② 大胆猜想，探究新知
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程.
小颖：设这个数为x ，由题意得：x x 32=
配方:494932=+
-x x ， 即
49232=-）（x ， ∴2323±=-
x ，
解得，.3,021==x x
小明：设这个数为x ，由题意得：x x 32=
移项，得032=-x x ， 由求根公式，得
293±=
x ，
∴.3,021==x x 小亮：设这个数为x ，由题意得：x x 32=，
移项，得032=-x x ，
分解因式，得0)3(=-x x ，
∴0=x 或03=-x ，
∴.3,021==x x
归纳：
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
例.解方程5x2＝4x ．
解：原方程可变形x （5x-4）＝0……第一步
∴x ＝0或5x-4＝0……第二步
∴x1=0，x2=4
5．
教师提问、板书，学生回答．
分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．
【设计意图】由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.
●活动③ 集思广益，归纳方法
用分解因式法解方程：x-2＝x （x-2）
解：原方程可变形为x-2-x （x-2）＝0．
（x-2）（1-x ）＝0
∴x-2＝0或1-x ＝0．
∴x1＝2，x2＝1．
利用情景题引导学生归纳因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0.
（2）将方程的左边进行因式分解.
（3）令每个因式为0，得两个一元一次方程.
（4）解一元一次方程，得方程式的解.
【设计意图】归纳因式分解法解方程的步骤，让学生掌握因式分解法解方程的要领.
探究二利用因式分解法解一元二次方程. ★▲
●活动①用因式分解法解一元二次方程
例1.用因式分解法解下列方程：（x+2）2﹣9=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】分解因式，得
（x+2+3）（x+2﹣3）=0，
∴x+5=0或x﹣1=0
∴x1=﹣5，x2=1；
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论. 【答案】x1=﹣5，x2=1；
练习1.用因式分解法解下列方程：2（x-3）2﹣50=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】分解因式，得
2（x-3+5）（x﹣3-5）=0，
∴x-3+5=0或x-3﹣5=0
∴x1=﹣2，x2=8.
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论. 【答案】x1=﹣2，x2=8；
例2. 用因式分解法解下列方程：x2﹣6x+9=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】由公式法，得
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0
∴x1=x2=3
【思路点拨】直接由完全平方公式求解即可.
【答案】x1=x2=3
练习2. 用因式分解法解下列方程：（x+5）（x﹣1）=-9．【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】变形为：
x+4x+4=0，
由公式法，得
（x+2）2=0，
∴x+2=0
∴x1=x2=-2
【思路点拨】先展开，再移项，转化为一般形式后直接由完全平方公式求解即可. 【答案】x1=x2=-2
【设计意图】通过练习，熟悉分解因式解一元二次方程.
●活动2 适当方法解下列方程：
例3. 解一元二次方程x2﹣2x=99
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】x2﹣2x=99，
x2﹣2x﹣99=0，
（x﹣11）（x+9）=0，
x﹣11=0，x+9=0，
x1=11，x2=﹣9；
【思路点拨】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【答案】x1=11，x2=﹣9
练习3. 解一元二次方程x2+8x=﹣16
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】x2+8x=﹣16，
x2+8x+16=0，
（x+4）2=0，
x+4=0，
x=﹣4，
即x1=x2=﹣4；
【思路点拨】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【答案】x1=x2=﹣4
例4. 用因式分解法解下列方程：（2x﹣3）2=3（2x﹣3）
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】移项，得
（2x ﹣3）2﹣3（2x ﹣3）=0
提公因式，得
（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣3）=0，
∴2x ﹣3=0或2x ﹣6=0
∴x1=23
，x2=3；
【思路点拨】先移项，再提公因式就可以求出结论.
【答案】x1=23
，x2=3；
练习4解一元二次方程5x （x+2）=4x+8．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】5x （x+2）=4x+8
5x （x+2）﹣4（x+2）=0，
（x+2）（5x ﹣4）=0，
x+2=0，5x ﹣4=0，
x1=﹣2，x2=54
．
【思路点拨】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【答案】x1=﹣2，x2=54
．
【设计意图】选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对所学知识的理解和掌握.
●活动3 综合应用
例5. 若实数x ，y 满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则x2+y2的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2 或﹣1
D ．﹣2或﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】解：∵（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，
∴x2+y2+2=0或x2+y2﹣2=0，
∴x2+y2=﹣2（舍去）或x2+y2=2，
∴x2+y2的值为2．
【思路点拨】由（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，就可以得出x2+y2+2=0或x2+y2﹣2=0．直接求出x2+y2的值即可.
【答案】B
练习5.
已知方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0有解，则代数式x2﹣x+1的值为（）A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确
【知识点】换元法解一元二次方程
【解题过程】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
【思路点拨】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论．
【答案】B
例6. 已知x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0且x≠0），则x
y的值为（）
A．6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．﹣1或6 【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】解：x2﹣5xy﹣6y2=0
（x﹣6y）（x+y）=0
x﹣6y=0，x+y=0
x=6y，x=﹣y
所以x
y的值为6或﹣1．
【思路点拨】把x 看作未知数，y 看作常数，解出关于x 的一元二次方程，再进一步代入求得数值即可．
【答案】D
练习6．若非零数x 、y 满足2x2﹣5xy ﹣12y2=0，则
xy y xy
x 2322-+的值为______. 【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解题过程】解：2x2﹣5xy ﹣12y2=0，
（2x+3y ）（x-4y ）=0，
2x+3y=0，x-4y=0，
y x 23-=，x=4y. 当y x 23-=时，169449)23(2)23(32323222222-=-=⋅--⋅-+-=-+y y y y y y y y xy y xy x ）（；
当x=4y 时，47-28)4y (2)4(342322
2222-==⋅-⋅+=-+y y y y y y y xy y xy x ）（. ∴
xy y xy x 2322-+的值为169-或-4. 【思路点拨】把x 看作未知数，y 看作常数，解出关于x 的一元二次方程，再进一步代入求得数值即可． 【答案】169
-
或-4. 【设计意图】让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力.
3. 课堂总结
知识梳理
因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
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（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
重难点归纳
（1）分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
（2）分解因式的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元二次方程的方法.
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