数值分析57节

j (x) ( k (x)
xx
x
j )l xk
2j(
x). x xk 1 xk xk 1
2 ,
2
k 1(x)
x xk 1
x xk xk 1 xk
.
(5.5) (5.9)
11
于是满足条件（5.7）的插值多项式是
H3 (x) ykk (x) yk1k1(x) mk k (x) mk 1 k1(x),
H3 (xk ) ynk ,
H3 (xk 1) yk 1;
H2n1(x) [ y j j (x) m j j (x)].
H 3 ( xk
)
mj 0 k
,
H3 (xk1) mk1.
(5.(35).7)
相应的插值基函数为 k (x),k1(x), k (x), k1(x), 它们满足条件
26
设已知节点 a x0 x1 上的函xn数 值b
f0,
f1,,
fn,
记
hk
xk 1
xk
,h
max k
hk
,
求一折线函数 Ih (,x) 满足：
1. Ih (x) C[a,b],
2. Ih (xk ) fk (k 0,1,, n), 3. Ih (x在) 每个小区间 [xk 上, x是k1线] 性函数.
k
b)l0j (,1x,j )] , n0),.
(5.2)
4
整理得 解出
ax j b 1; a 2lj (x j ) 0.
由于
a 2lj (x j ), b 1 2x jlj (x j ).
l j (x)
(x x0 )(x (x j x0 )(x j
x j1)( x x j1)( x x j1)( x j x j1)( x j
9
k ( xk ) 1, k ( xk 1) 0, k ( xk ) k ( xk 1) 0, k 1 ( xk ) 0, k 1( xk 1 ) 1,
k1(xk ) k1(xk 1) 0; k (xk ) k (xk 1) 0, k (xk ) 1, k (xk 1) 0, k 1(xk ) k 1(xk 1) 0, k1(xk ) 0, k1(xk 1) 1.
Ln ( xn1/ 2 ) 0.759615 0.356826 0.607879 0.831017 1.578721 2.755000 5.332743 10.173867 20.123671 39.952449
R( xn1/ 2 ) 0.621684
0.423216 0.553416
(
j (xk ) 0;
j, k 0,1,, n).
由条件（5.2），有
(5.2)
j
(xk )j (xj )jk(ax10j,,
bj)l2j (kx,j
j k,
)
1,
j
( xk
)
0;
j
j (x j )
(xk )
0,
l
j
(xj
j
)[al j (x (xk )
j)
jk
2(ax j
( j,
故 (在t) (内a,有b)5个零点（二重根算两个）.
反复应用罗尔定理，得 (在4) (t) 内(至a,少b)有一个 零点ξ， 故有
(4) ( ) f (4) ( ) 4!k(x) 0,
15
于是 余项表达式为
k (x) 1 f (4) ( ),
4!
R(x)
1 4!
f
(4) ( )( x
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2个n 插2值基函数 及 j (x) j (，x) ( j 0,1,, n) 每一个基函数都是 2n 次1多项式， 且满足条件
j ( xk )
jk
0, 1,
j k, j k,
j ( xk ) 0, j (xk ) jk
j (xk ) 0;
xn ),
则
xn1/ 2
5 5, n
18
表2-5列出了 n 2,4时,的,20 的计Ln 算(xn结1/果2 ) 及
在 xn1上/ 2 的误差 R(xn1/ 2 ).
表2 5
n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f ( xn1/ 2 ) 0.137931 0.066390 0.054463 0.049651 0.047059 0.045440 0.044334 0.043530 0.042920 0.042440
x c
时，lim n
Ln
(
x)
而f (当x),
时 x 发c散.Ln (x)
20
取 n 根10据, 计算画出
y 及 1/(1 x2 ) y L10(x)
在 [5上,5]的图形，见图2-5.
图2-5
21
从图上看到，在 x 附 近5 , 与L10 (x) f (x) 1/(1 x2 )
偏离很远， 这说明用高次插值多项式 Ln (近x)似 效f (x) 果并不好.
0.880668 1.531662
2.800440 5.288409 10.217397 20.080751 39.994889
19
可见，随 的n增加， R(x的n1绝/ 2对) 值几乎成倍增加.
这说明当 n 时 在 Ln 上是[不5,5收] 敛的. 龙格证明了，存在一个常数 c ， 3使.6得3 当
故 (x) 0. 惟一性成立.
7
仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明：
若 f在(x) 内(的a,b) 阶导2n数存2 在，则其插值
余项
R(x)
f (x) H2n1(x)
f (2n2) ( )
(2n 2)!
2 n1
(
x),
(5.6)
其中 (a且,b与) 有关x .
8
插值多项式（5.3）的重要特例是 n的情1 形. 这时可取节点为 x及k x，k1 插值多项式为 H3(，x) 满足
( j 0,1,, n), 问题是求插值多项式 H (，x)
H (x j ) y j , H (x j ) mj , j 0,1,, n,
(5.1)
这里共有 2n 个2插值条件，可惟一确定一个次数不超过 2n 1 的多项式 H2n1(x) ，H (x) 其形式为
H 2n1(x) a0 a1x a2n1x2n1.
H ( 2n1 xk ) yk , H 2n1(xk ) mk , k 0,1,, n.
下面的问题就是如何求出这些基函数 j (及x) j (x),
利用拉格朗日插值基函数
j ( xk )
令
jk
0, 1,
j j
lj
(kx,). k,
j
(x)
(ax
b)l
2 j
(x),
j ( xk ) 0, j (xk ) jk
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
25
2.6.2 分段线性插值
由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度 的效果, 所以实际中往往采用分段插值的思想.
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来 逼近 f (x).
24
附：Lagrange插值子程序 lagr1:
function y=lagr1(x0,y0,x)
n=length(x0); m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
xn ) xn )
,
5
两端取对数再求导，得
于是
lj ( x j )
n k 0
xj
1
xk
,
k j
j (x)
(1
2( x
n
xj)
k 0
xj
1
xk
)l
2 j
(
x).
k j
同理，可得
j
(x)
(x
x
j
)l
2 j
( x).
(5.4) (5.5)
6
可以证明满足条件（5.1）的插值多项式是惟一的.
用反证法，假设 H2n1及(x) 于是
H均2 n满1 (足x)条件（5.1），
H (xj()x) yj ,H2Hn1((xxj))Hm2jn,1(jx) 0,1,, n,
(5.1)
在每个节点
H(xj
)x上k y的j , 值H及(导x j 数) 值m均j , 为j零 ，0,1即,,
n为x,k 二重根(.5.1)
这样，(x有) 2重n 根2，但 是不(x高) 于 次的2多n 1项式，
通常不用高次插值，而用分段低次插值.
22
下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：
23
附：Lagrange插值程序
n=11; m=61; x= -5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=lagr1(x0, y0, x); plot(x, z, ‘r’, x, y, ‘k:’ ,x, y1, ‘r’) gtext(‘Lagr.’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’) title(‘Lagrange’)
17
考虑函数 f ห้องสมุดไป่ตู้x) 1，/(1它在x2) 上的[各5阶,5导] 数均 存在.以 [上5,的5] 个等n 距1节点
xk
5 10
k n
,
k 0,1,, n
所构造的拉格朗日插值多项式为
Ln (x)
n1
j 0
1
x
2 j
n1( x)
.
(x x j )n1(x j )
令
xn1/ 2
1 2
(
xn1
为了求出余项 R(x) f (x)的表P(达x)式，
可设
R(x) k(x)(x x0 )(x x1)2 (x x2 ), 其中 k(x为) 待定函数.
14
构造 (t) f (t) P(t) k(x)(t x0 )(t x1)2 (t x2 ).
显然 (x j ) 0 ( j 0,1,2), 且 (x1) 0,(x) 0,
x0 )(x
x1)2 (x
x2 ),
式中 位于 x0 , x和1, x2所界x定的范围内.
(5.11)
16
2.6 分段低次插值
2.6.1 高次插值的病态性质
根据区间 [上a,b给] 出的节点做出的插值多项式
在次数 n增加时逼近 f (的x)精度不一定也增加.
Ln (x),
这是因为对任意的插值节点，当 n 时， 不Ln (x) 一定收敛到 f (x.)
P(x) f (x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2 ](x x0 )(x x1) A(x x0 )(x x1)(x x2 ),
13
待定常数 A，可由条件 P(x1) 确f 定(x.1) 通过计算可得
A f (x1) f [x0 , x1] (x1 x0 ) f [x0 , x1, x2 ] . (x1 x0 )( x1 x2 )
(2n 2)!
2 n1
(
x)
(5.6)
12
例求4 满足
P(x j ) f 及(x j ) ( j 0,1,2)
的插值多项式及其余项表达式.
P(x1) f (x1)
由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式.
由于此多项式通过点 故其形式为
(x0 , f (x0 )), (x1, f (x1)), (x2 , f (x2 )),
( j, k 0,1,, n).
(5.2)
将满足条件（5.1）的插值多项式 H2n1(x) 写H成(x用) 插 值基函数表示的形式
n
H (xHj )2n1y(jx,) Hj(0x[ yj )jjm(xj), m( jj j0(,1x,)]. , n),
((55..31))
3
由插值基函数所满足的条件（5.2），有
(5.10)
其余项HR3 (3x(kx))yfk
,(
x)，H 3H( x3k(1x))
由yk（1; 5.6）得
(5.7)
R3H( x3)(
xk
)1 4!
fm(k4),(
)(Hx3(
xxkk1))2
(xmk
x1k.1)
2
,
(xk , xk1).
R(x)
f (x) H2n1(x)
f (2n2) ( )
10
根据 j (及x) 的j (一x)般表达式（5.4）及（5.5），
可得到
k (x)
1
2
x xk xk 1 xk
x xk 1 xk xk 1
2
k j
(1x()x)
(112(
x2
xxkxj )xxkknk011xj1xxkxk1)lx2j kx(xk ).
,
2
.
k j
(5.8) (5.4)
2.5 埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式.
下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
设在节点
m j f (x j )
满足条件
a x0 x1 上， xn b
y j f ( x j ),