山东省潍坊市2020年高二下数学期末质量检测试题含解析

山东省潍坊市2020年高二(下)数学期末质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设
sin a xdx π
=⎰
，则二项式8
(展开式的常数项是（ ） A ．1120
B ．140
C ．-140
D ．-1120
2．函数()ln 2x x
f x x
-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A ．240x y --=
B ．20x y +=
C ．30x y --=
D ．10x y ++=
3．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表
由()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++得，27.8K ≈.
根据2K 表
得到下列结论，正确的是（）
A ．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”
4．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ） A ．
35
B ．
310
C ．
12
D ．
25
5．已知复数2017
i 12i
z =-，则复数z 的虚部为 （ ）
A ．25
-
B ．1i 5
C ．
15
D ．15
-
6．已知i 是虚数单位, 复数
()1
z a R a i
=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ） A ．
12
B ．2
C ．2-
D ．1
2
-
7．设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．
A ．420
B ．180
C ．64
D ．25
9．已知函数()()()10x
f x e
ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a
的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫
⎪⎢
-⎣⎭
B ．2
1,12e -⎡⎫
⎪⎢
-⎣⎭
C ．21
1,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦
D ．11,212e ⎛⎤
⎥-⎝
⎦ 10．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ） A ．2
B ．8
C ．4
D ．10
11．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
12．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A ．若,,则
B ．若，，，则
C ．若
,
,则
D ．若
,
,则
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13． “2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是__________．
14．设函数f(x)＝|x ＋a|，g(x)＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是________．
15．1
2
1
(1)2
x x dx -⎰= . 16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，90ACB ∠=，1CA CB CC ==，D 是1CC 的
中点，则直线1AC 与BD 所成角的余弦值为__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X 服从正态分布()
2
51,15N ，若该集团共有员工40000
人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；
（3）已知样本数据中期望补贴数额在[]80,100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望. 附：若()2,X
N μσ，则()0.683P X μσμσ-≤<+≈，()220.954P X μσμσ-≤<+≈，
()330.997P X μσμσ-≤<+≈.
18．将正整数排成如图的三角形数阵，记第n 行的n 个数之和为n a .
（1）设*
13521()n n S a a a a n N -=+++⋅⋅⋅+∈，计算2S ，3S ，4S 的值，并猜想n S 的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.
19．（6分）已知函数2()(1)2x
f x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）.
（1）当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值； （2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.
20．（6分）已知函数2012()(1)n n n n f x x a a x a x a x λ=+=+++
+，其中,R n N λ∈∈.
（1）若2λ=-，2019n =，求1352019a a a a +++⋯+的值； （2）若1λ=-，化简：
2*1
(),n
k
k n n k k k C
x f x n N -=∈∑.
21．（6分）已知0a >，设命题p ：函数(32)x
y a =-在R 上为减函数，命题q ：不等式2
10
ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围. 22．（8分）已知函数1
()21
x f x a =+-是奇函数． （1）求a ；
（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，求x 的范围．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【详解】
分析：利用微积分基本定理求得2a =，先求出二项式8
⎛
⎝
的展开式的通项公式，令x 的指数等
于0，求出r 的值，即可求得展开式的常数项. 详解：由题意()00
sin cos |2a xdx x π
π
==-=⎰
，
∴二项式为8
⎛
⎝，设展开式中第r 项为1r T +，
(()8
84
18812r
r
r r r r r r T C C x ---+⎛∴==-⋅⋅ ⎝
， 令40-=r ，解得4r =，
代入得展开式中可得常数项为()4
4
48121120C -⋅=，故选A.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公
式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系
数和；（3）二项展开式定理的应用. 2．C 【解析】 f′(x)＝
2
1lnx
x -，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选C 3．C 【解析】 【分析】
根据独立性检验的基本思想判断得解. 【详解】
因为7.8 6.635> ，根据2K 表可知；选C. 【点睛】
本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】
设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35
P A =
，()3235410
P AB =
⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率. 【详解】
设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，
事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =
，()3235410
P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率
()()()3
1
10325
P AB P B A P A ===.
故选：C 【点睛】
本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题. 5．C 【解析】
分析：由复数的乘除法法则计算出复数z ，再由定义可得．
详解：2017(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i +-=
===-+--+，虚部为1
5
． 故选C ．
点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时根据复数运算法则化复数为简单形式(,)a bi a b R +∈，可得虚部与实部． 6．A 【解析】 【分析】 【详解】
分析：等式分子分母同时乘以()a i +，化简整理，得出z ，再将z 的坐标代入2y x =中求解a 即可. 详解：2221111a i a i z a i a a a +===+-+++，所以221211
a
a a =++． 解得12
a = 故选B
点睛：复数的除法运算公式()()22
c di ac b
d ad bc i
z a bi a b ++-+==
++，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程． 7．A 【解析】 【分析】
通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】
若0a b ≥≥，则a a b =≥；若0b a ≤≤，则0a a b =-≥≥；若0a b ≥≥，则0a a b =≥≥，可知充分条件成立；
当3a =-，2b =-时，则a b ≥，此时a b <，可知必要条件不成立；
a b ∴≥是a b ≥的充分不必要条件
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题. 8．B 【解析】
分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法，根据乘法原理可得结论． 详解：
由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法 ∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案． 故答案为：B.
点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 9．B 【解析】 分析：数()()()10x
f x e
ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于
1x x
e a xe x <-+有两个整数解，构造函数()1
x
x e h x xe x =-+，利用导数判断函数的极值点在()0,1，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果.. 详解：因为()()
0010,10,11
x
x x
x x x x e x e e e ≥<⎧⎧⇒-≥⇒->⎨
⎨≥<⎩⎩ 所以110x xe x -+≥>函数()()()10x
f x e
ax ax a a =--+≥，
若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，
等价于1
x
x e a xe x <-+有两个整数解，
设()()()
()
22,'11
x x x
x x e x e e h x h x xe x xe x --==-+-+， 令()'020x
h x x e =⇒--=，
令()()2,'10x
x
g x x e g x e =--=--<恒成立，()g x ∴单调递减，
又
()()00,10g g ><，∴存在()00,1x ∈，
使()()()000,,,h x x x h x =∴∈-∞递增，()()0,,x x h x ∈-∞递减， 若()a h x <解集中的整数恰为2个，则0,1x =是解集中的2个整数，
故只需()()()()222
22
0111
2121211121a h a h e e a h a e e a h e ⎧<=⎪
<=⎪⎪⎨≥=⇒≤<--⎪
⎪≥-=⎪-⎩
，故选B. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解. 10．C 【解析】 【分析】 【详解】
由已知得321143AB k -=
=--，27341
CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC
52
，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =
，得2y =±
，所以MN =C ． 考点：圆的方程． 11．B 【解析】
分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.
详解：由题得0a b ⋅=，所以cos ,0a b a b =，所以||0a =或||0b =或a b ⊥，
所以0a =或0b =或a b ⊥.
因为0a =或0b =或a b ⊥是0a =的必要非充分条件, 所以“0a b ⋅=”是“0a =”的必要非充分条件. 故答案是：B.
点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平
和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法. 12．C 【解析】 【分析】
结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案. 【详解】 对于选项A ，当,，有可能平行，也有可能相交，故A 错误； 对于选项B ，当，，
，
有可能平行，也可能相交或者异面，故B 错误；
对于选项C ，当,,根据线面垂直的判定定理可以得到，故C 正确；
对于选项D ，当,
,则
或者
，故D 错误；
故答案为选项C. 【点睛】
本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2,2340x R x x ∃∈++≤ 【解析】
分析：根据“,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝得结果. 详解：因为“,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，
所以“2
,2340x R x x ∀∈++>”的否定是2
,2340x R x x ∃∈++≤
点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. “,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，“,?x p ∃的否定为
“,?x p ∀⌝.
14． [－1，＋∞) 【解析】 【分析】
对于x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，等价于()f x x a =+的图象在()1g x x =-的图象上方，根据数形结合可求出实数a 的取值范围. 【详解】
不等式f(x)≥g(x)恒成立
如图，作出函数f(x)＝|x ＋a|与g(x)＝x －1的图象，
观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)． 【点睛】
本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合
(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 15．
1
4
π+ 【解析】
21x -，则2
2
1x y +=（y≥0），∴1
2
(1)x dx -⎰
表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值
等于4π
，1
201111)|02
44x dx x ==⎰， 所以12
01(1)2x x dx -+⎰=12
(1)x dx -⎰+1
011)244x dx π=+⎰=
14π+. 考点：定积分. 16．
1010
【解析】
分析：记AC 中点为E ，则1//DE AC ，则直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设
12CA CB CC ===，从而即可计算.
详解：记AC 中点为E ，并连接BE ，
D 是1CC 的中点，
则1//DE AC ，
∴直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，
设12CA CB CC ===，
∴1,
CD BD DE BE
====，
cos
10
θ
∴==.
故答案为
10
.
点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）约为51百元；（2）估计有920名员工；（3）分布列见解析，
9
()
8
E Y=
【解析】
【分析】
（1）样本的中位数为x，根据中位数两侧的频率相等列出方程，可得答案；
（2）由近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布()2
51,15
N，可得51,15,281
μσμσ
==+=，由正态分布计算(2)
P xμσ
≥+对照题中所给数据可得答案.
（3）由题意，Y的可能取值为0,1,2,3，分别计算出其概率，列出其分布列，可得数学期望.
【详解】
解：（1）设样本的中位数为x，则
2250450(40)
0.5
10001000100020
x-
++⋅=，解得51
x≈，所以所得样本的中位数约为51百元.
（2）51,15,281
μσμσ
==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为
1(22)10.954
(2)0.023
22
P x
P x
μσμσ
μσ
--≤<+-
≥+=≈=，
0.023********
⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上.
（3）由题意，Y的可能取值为0,1,2,3.
又因为
3
5
3
8
5
(0)
28
C
P Y
C
===，
12
35
3
8
15
(1)
28
C C
P Y
C
⋅
===，
21
35
3
8
15
(2)
56
C C
P Y
C
⋅
===，
3
3
3
8
1
(3)
56
C
P Y
C
===，
Y的分布列为
()0123282856568E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339
()88
M n E Y N ⋅⨯===）
【点睛】
本题主要考查正态分布的相关知识及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题，注意运算准确.
18．（1）4
23416,81,256,n S S S S n ====；（2）见解析．
【解析】
分析：直接计算23416,81,256S S S ===，猜想：4
n S n =；
（2）证明：①当1n =时，猜想成立. ②设(
)*
n k k N =∈时，命题成立，即4k
S
k =
③证明当1n k =+时，成立。

详解：（1）解：111S a ==，213145616S S a =+=+++=，
32516111213141581S S a =+=+++++=， 43581222328256S S a =+=+++⋅⋅⋅=，
猜想4
n S n =；
（2）证明：①当1n =时，猜想成立. ②设(
)*
n k k N
=∈时，命题成立，即4k
S
k =，
由题意可知()][()111222n n n n n a ⎡⎤--=+++⎢⎥⎣⎦ ()12n n n ⎡⎤-+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦
()()(
)21
1122
2
n n n n n n n +-+=⋅
+
=
.
所以()(
)2
21
212112
k k k a
+⎡⎤
+++⎣⎦=
()(
)
232212214641k k k k k k =+++=+++，
4321214641k k k S S a k k k k ++=+=++++ ()4
1k =+，
所以1n k =+时猜想成立.
由①、②可知，猜想对任意*n N ∈都成立.
点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。

根据题意先归纳猜想，利用数学归
纳法证明猜想。

数学归纳法证明必须有三步： ①当1n =时，计算得出猜想成立. ②当(
)*
n k k N
=∈时，假设猜想命题成立，
③当1n k =+时，证明猜想成立。

19．（1）max ()f x =2e - ，min ()f x =2e 2--（2）见解析 【解析】
分析：（1）当1a =-时，()()
212x f x x x e =-++-，()()()12x f x x x e =--+'，
令()0f x '=，可得1x =或2x =-， 列表可求函数在[]
3,2-上的最大值和最小值； （2）由题意
()()()
()()()2221121212x x x x
f x ax e ax x e ax a x e ax x e ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦
'， 分类讨论可求函数()f x 的单调性. 详解：
（1）当1a =-时，()()
2
12x
f x x x e =-++-，()()()12x
f x x x e =--+'，
令()0f x '=，可得1x =或2x =-， 则有：
因为31122e e ---<-，252e --->22e --， 所以()max f x =2e - ，()min f x =22e --.
（2）()()()
()2
2
211212x
x
x
f x ax e ax x e ax a x e ⎡⎤=++++=+++⎣⎦'
()()12x ax x e =++，
当12a =
时，()()21202
x
f x x e =+≥'，函数在().-∞+∞上单调递增； 当102a <<
时，12a -<-，当1,x a ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭或()2,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当
1,2x a ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数单调递减；
当12a >
时，12a ->-，当(),2x ∈-∞-或1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当12,x a ⎛
⎫∈-- ⎪
⎝
⎭时，()0f x '<，函数单调递减； 综上所述，当102a <<
时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,-+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递减；当12a =时，()f x 在().-∞+∞在上单调递增；当12a >
时，()f x 在(),2-∞-，1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在12,a ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
上单调递减.
点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题. 20． (1) 20191352019
132a a a a ++++=- (2) 221
()(1),n
k k n n k k k C x f x n n x nx n N *
-==-+∈∑ 【解析】 【分析】
（1）分别令1x =，1x =-，利用二项展开式展开()1f 和()1f -，将两式相减可得出
1352019a a a a +++⋯+的值；
（2）将1λ=-代入，求得，当1n =时，()2
1
n
k
k
n
n k k k C x f x x -==∑
，当2n =时，()22
1
22n
k k n n k k k C x f x x x -==+∑
，
当3n ≥时，利用组合数公式可得()2
2
1
211k
k k n n n k C n n C nC ----=-+，化简可得结果.
【详解】
（1）2λ=-，2019n =时，
()()
2019
220192019012201912f x x a a x a x a x =-=+++⋯+
令1x =得()
2019
01232018201912a a a a a a -=++++， 令1x =-得()2019
0123
2018201912---a a a a a a +=++
可得2019
1352019
132
a a a a ++++
=-； （2）若1λ=-，()()1n
n f x x =-， 当1n =时，
()21
n
k k n
n k k k C
x f x x -==∑，
当2n =时，
()221
22n
k k n
n k k k C
x f x x x -==+∑，
当3n ≥时，()()2
1
1
2
1
1121111k
k k k k n n n n n k C nkC n k C n n C nC --------⎡⎤==-+=-+⎣⎦，
()()()
()2
212
11
2
1
111n n
n
n k
n k
k
k
k k
k k
n
n k n n k k k k C x f x n n C
x x n C x x -------====--+-∑∑∑
()()
()2
2
2
11
2
12
1
111n
n
n k
n k
k k k k n n k k n n x
C
x
x nx C x
x --------===--+-∑∑
()()()2
1
2111n n n n x x x nx x x --⎡⎤⎡⎤=--++-+⎣⎦⎣⎦
()21n n x nx =-+
····· 综上，
221()(1),n
k k n n k k k C x f x n n x nx n N *
-==-+∈∑. 【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有利用赋值法求对应系数的和，利用组合数公式化简相应的式子，属于中档题目. 21．3(0,1],42⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
. 【解析】 【分析】
化简命题p 可得312
a <<
，化简命题q 可得04a ≤<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一
真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
∵p ：函数()32x
y a =-在R 上为减函数，∴0321a <-<，即312
a <<
.
∵q ：不等式210ax ax -+>对一切R 恒成立，∴0a =或2
40
a a a >⎧⎨
∆=-<⎩，
即04a ≤<.
∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴p ，q 一真一假，
若p 真q 假，则3124
a a ⎧
<<⎪
⎨⎪≥⎩，此时a 不存在，
若p 假q 真，则301204
a a a ⎧
<≤≥⎪
⎨⎪<<⎩，，解得01a <≤或342a ≤<.
∴a 的取值范围为3
(0,1],42⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查指数函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 22．（1）12
a =；（2）{|01x x <<或}2log 3x > 【解析】 【分析】
（1）由()f x 为奇函数，得()()0f x f x -+=，然后化简求出a 即可 （2）不等式[()1]ln 0f x x -⋅<可化为11
()0212
ln x
x -⋅<-，然后分01x <<和1x >两种情况讨论. 【详解】
解：（1）由210x -≠，得0x ≠，()f x 定义域为{|,0}x x x ∈≠R ． 由()f x 为奇函数，得()()0f x f x -+=，
11
02121
x x
a a -∴
+++=--， 21202121x x x a ++=--，
122021
x
x a -+=-，
∴21a =，得12
a =
． （2）易知0x >．
不等式[()1]ln 0f x x -⋅<可化为11
()0212
ln x
x -⋅<-， （i ）当01x <<时，ln 0x <，不等式化为11
212
x
>-， 得0212x <-<，即123x <<， 解得20log 3x <<， 联立201
0log 3x x <<⎧⎨
<<⎩
，得01x <<．
（ⅱ）当1x >时，ln 0x >，不等式可化为11
212
x
<-， ∵1x >，∴22x >，210x ->， ∴212x ->，即23x >， 解得2log 3x >．
综上，x 的范围为{
01x x <<或}2log 3x > 【点睛】
本题考查的是奇函数的定义的应用及解指数不等式，一般在原点有意义时用原点处的函数值为0求参数，若在原点处无意义，则如本题解法由定义建立方程求参数。