2013年上海市闵行区高考数学二模试卷(理科)含详解

2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号
的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）方程组的增广矩阵为．
2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．
4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：
运算
次
数
1…456…
解的
范
围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，
0.34375）
（0.3125，0.328125）…
若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．
5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量
，若，则实数k的值为．
6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．
7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则
该圆锥的侧面积为．
8．（4分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点
O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=1，曲线Γ与C相交于两点A、B，则弦长|AB|等于．
9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．
11．（4分）已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为p1，p2，p1，若随机变量ξ的方差，则p1+p2的值是．
12．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=73，则n+d的最小值等于．
13．（4分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．
14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满
足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）=．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）
A．15B．﹣15C．6D．﹣6
16．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小
值是（）
A．﹣1B．0C．D．
18．（5分）给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．
②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，
则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
③已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是
C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．
④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题
“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．
上述命题中错误的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相
应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出
θ的范围．
②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x
的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，
点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过
两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．
22．（16分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．
（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若，求x的值；
（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
23．（18分）如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Q n﹣1P n Q n，…的面积分别为G1，G2，G3，…，
G n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．
（1）求a1，a2；
（2）求a n，；
（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T p•T s与T q•T r的大小．
2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号
的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）方程组的增广矩阵为．
【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．
【专题】29：规律型．
【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵
故方程组的增广矩阵是．
故答案为：．
【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．
2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】11：计算题．
【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，
N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，
则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．
故答案为{x|1＜x＜2}．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．
3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．
【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．
【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，
∴===．
再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．
4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：
运算
次
数
1…456…
解的
范
围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，
0.34375）
（0.3125，0.328125）…
若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．
【考点】55：二分法的定义与应用．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．
【解答】解：根据运算得下表：
运算1…456…
次数
解的
范
围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，
0.34375）
（0.3125，0.328125）…
因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，
满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，
且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，
∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．
故答案为：5.3．
【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．
5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量
，若，则实数k 的值为．
【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．
【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．
∵向量，且，∴，解得k=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．
【考点】B8：频率分布直方图．
【专题】27：图表型．
【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．
【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，
∴样本容量==80，
∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．
故答案为：44．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．
7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，
又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．
故答案为：8π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
8．（4分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点
O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=1，曲线Γ与C相交于两点A、B，则弦长|AB|等于8．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QH：参数方程化成普通方程．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先把所给的极坐标与参数方程化为标准方程，然后联立直线与曲线方程，根据弦长公式可求
【解答】解：∵ρcosθ﹣ρsinθ=1化为标准方程为x﹣y=1即x﹣y﹣1=0
曲线C的参数方程为化为标准方程为y2=4x
联立可得x2﹣6x+1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1x2=1
∴AB===8
故答案为：8
【点评】本题考查极坐标方程化为参数方程，参数方程化为普通方程的方法，以及参数的意义．
9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲
线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．
【解答】解：设点P（x0，y0），则．
由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．
∴，．
∴k1•k2===1．
故答案为1．
【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．
【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，
∴4﹣4cos A=sin A，
∴==4，
故答案为4．
【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为p1，p2，p1，若随机变量ξ的方差，则p1+p2的值是．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】由分布列的性质可得2p1+p2=1，由数学期望的计算公式可得Eξ的值，由方差的计算公式可得Dξ，进而即可解得p1，p2．
【解答】解：由分布列的性质可得2p1+p2=1，（*）
由数学期望的计算公式可得Eξ=1×p1+2×p2+3×p3=2（2p1+p2）=2．
由方差的计算公式可得Dξ==2p1=，解得．
把代入（*）得，解得．
∴p1+p2=．
故答案为．
【点评】熟练掌握分布列的性质、数学期望的计算公式、方差的计算公式是解题的关键．
12．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=73，则n+d的最小值等于18．
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式写出n和d的关系，根据等差数列{a n}的各项均为正整数，分别列出n和d的取值，则答案可求．
【解答】解：由a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）d=73，得．
因为等差数列{a n}的各项均为正整数，所以公差d因为正整数．
当n=2时，d=72；当n=3时，d=36；当n=4时，d=24；当n=5时，d=18；
当n=7时，d=12；当n=9时，d=9；当n=10时，d=8；当n=13时，d=6；
当n=19时，d=4；当n=37时，d=2；当n=73时，d=1．
所以n+d的最小值等于18．
故答案为18．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列中的穷举法，解答此题的关键是注意各项均为正整数，是基础题．
13．（4分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=﹣14．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂径定理得D、E分别为AB、AE
的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD=，由向量数量积的定义得•=||2=32，同理可得•=||2=18，而=，展开后代入前面的数据即可得到的值．
【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵⊙O中，OD⊥AB，
∴AD=AB，cos∠OAD=
因此，•=||•||cos∠OAD=||•||=||2=32
同理可得•=||2=18
∴==•﹣•=18﹣32=﹣14
故答案为：﹣14
【点评】本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．
14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）=．
【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值；8E：数列的求和．
【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．
【分析】通过函数的递推关系式，写出f（2014），得到一个等比数列，然后求出和值即可．
【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，
∴f（2014）=f（2010）+10×32010
=f（2006）+10×32010+10×32006
=…
=f（2）+10×32010+10×32006+…+10×32
=f（2）+10（32010+32006+ (32)
=f（0）+3+（32+36+ (32010)
=f（0）+30+
=+1+=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，等比数列求和的应用，数列与函数的综合试题，考查计算能力．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）
A．15B．﹣15C．6D．﹣6
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题．
【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数
【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==
令6﹣2r=4可得r=1
此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
16．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；GZ：三角形的形状判断．
【专题】11：计算题．
【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．
【解答】解：∵，即||•||cosθ＞0，
∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），
所以两个向量的夹角θ为锐角，
又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，
反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，
则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．
17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）
A．﹣1B．0C．D．
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，
则函数在整个定义域内的最小值可求．
【解答】解：由，
当时，0≤sin x≤1，
f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．
此时当sin x=1时f（x）有最小值为；
当时，﹣1≤sin x＜0，
f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．
此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．
综上，函数f（x）的最小值是0．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．
18．（5分）给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．
②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，
则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
③已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是
C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．
④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题
“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．
上述命题中错误的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【专题】11：计算题．
【分析】①应为连接两点的线段；②可能f（x）恒等于0，则函数为即奇又偶的函数；③可知点（﹣3，0），满足||PE|﹣|PF||=6；④由逻辑连接词“或”可知正确．
【解答】解：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点
即满足到（0，1），（0，﹣1）距离之和为2的点，故为连接两点的线段，故错误；
②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，可能f（x）恒等于0，则函数为即奇又偶的函数，故错误；
③可知点（﹣3，0）在已知曲线上，此时PE=2，PF=8，显然||PE|
﹣|PF||=6．故错误；
④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题
“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，
则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．由逻辑连接词“或”的真假性可知正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及复数和函数的奇偶性等知识，属基础题．
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相
应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出
θ的范围．
②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x
的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2
，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；
（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．
【解答】解：如图所示，
（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；
所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x
＜20），
∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，即x=10 时，S取最大值400；
所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．
（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．
【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．
20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】5G：空间角．
【分析】（1）由已知条件可判出AB⊥面AA1C1C，求出直角梯形AEFC的面积，则四棱锥B﹣AEFC的体积可求；
（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
【解答】解：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥底面ABC，所以A1A⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩A1A=A，所以AB⊥面AA1C1C，则AB为四棱锥B﹣AEFC的高．在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以．所以V B
=．
﹣AEFC
（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），
，
设平面BEF的法向量为，则
，则，取z=1，得x=﹣1，y=1．
所以．
平面ABC的一个法向量为，
则．
所以△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值为．【点评】本题考查了椎体体积的求解方法，考查了利用空间向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间坐标系，是中档题．
21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过
两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），将
代入椭圆E的方程，求得m，n即可；
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，所以可得直线l的方程为．与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，利用直线的斜率公式即可证明结论．
【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将代入椭圆E的方程，得
解得，
所以椭圆E的方程为，
设点P的坐标为（x0，y0），则．
又P（x0，y0）是E上的动点，所以，得，
代入上式得，
故y0=0时，|OP|max=．|OP|的最大值为．
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，
所以直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．
又，，
故=．
又，
所以上式分子=
=
故k1+k2=0．
所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．
【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
22．（16分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．
（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若，求x的值；
（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】&2：带绝对值的函数．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）由f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）即可判断当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|既不是奇函数也不是偶函数；
（2）依题意，解方程2x|2x﹣1|+1=即可，为了去掉方程中的绝对值符号需对x 的取值范围分类讨论；
（3）依题意，只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x﹣a|＜即可，转化为故＜a＜，x∈（0，1]，通过构造函数g（x）=x+与h （x）=x﹣，利用函数的单调性
结合对参数b的范围的讨论即可求得实数a的取值范围．
【解答】[解]（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|既不是奇函数也不是偶函数．…
（2分）
∵f（﹣1）=﹣2，f（1）=0，
∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）
所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．…（2分）
（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x﹣1|+1，
由f（2x）=得2x|2x﹣1|+1=…（2分）
即或…（2分）
解得2x=或2x=（舍），或2x=，
所以x==﹣1或x=﹣1．…（2分）
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x﹣a|＜
即x+＜a＜x﹣…（2分）
故＜a＜，x∈（0，1]
又函数g（x）=x+在（0，1]上单调递增，所以=g（1）=1+b；
对于函数h（x）=x﹣，x∈（0，1]
①当b＜﹣1时，在（0，1]上h（x）单调递减，=h（1）=1﹣b，又1
﹣b＞1+b，
所以，此时a的取值范围是（1+b，1﹣b）．…（2分）
②当﹣1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x﹣≥2，
当x=时，=2，此时要使a存在，
必须有即﹣1≤b＜2﹣3，此时a的取值范围是（1+b，2）
综上，当b＜﹣1时，a的取值范围是（1+b，1﹣b）；
当﹣1≤b＜2﹣3时，a的取值范围是（1+b，2）；
当2﹣3≤b＜0时，a的取值范围是∅．…（2分）
【点评】本题考查带绝对值的函数，着重考查方程思想与分类讨论思想的综合运用，考查构造函数与抽象思维及运算能力，属于难题．
23．（18分）如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2
点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Q n﹣1P n Q n，…的面积分别为G1，G2，G3，…，
G n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．
（1）求a1，a2；
（2）求a n，；
（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T p•T s与T q•T r的大小．
【考点】8J：数列的极限；8O：数列与解析几何的综合．
【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；
（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n
﹣1
|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项算出a n的表达式，从而得到G n、S n的表达式，最后根据极限的运算性质即可算出的值；
（3）由（2）得{b n}是公比，首项的正项等比数列．根据等比数列的求和公式求出T p、T s、T q、T r的表达式，再将T p•T s与T q•T r作差并结合正整数p，q，r，s构成成等差数列，结合p＜q＜r＜s化简整理可得T p•T s ﹣T q•T r=，讨论其中各个因式的符号可得T p•T s﹣T q•T r ＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到答案．
【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，
又∵P1在抛物线y2=x上，所以，得…（2分）
同理P2在抛物线y2=x上，得…（4分）
的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点Q0（2）如图，点Q n
﹣1
与原点重合，S0=0），
P n的方程为或，
所以直线Q n
﹣1
因此，点P n的坐标满足
消去x，得，所以
又∵，∴
从而…①…（6分）
由①可得…②
②﹣①，得
即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是
∴{a n}是以为首项、为公差的等差数列，…（8分）
因此，，
由此可得…（10分）
（3）因为，
所以数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，则，，，…（12分）T p•T s﹣T q•T r=（注意到）
=…（14分）
而
=（注意到q﹣p=s﹣r）=…（16分）
因为a＞0且a≠1，所以
又q﹣p，r﹣p均为正整数，所以与同号，
故，所以，T p•T s＜T q•T r．…（18分）
Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n
﹣1的边长a n的表达式，并设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．。