广西钦州市大寺中学2020届高三模拟练习数学(理)试题10(PDF版含详解)

任取两个顶点，它们之间距离的最大值为( )
A． 3
B． 6
C．2 3
D．2 6
二．填空题 13. 已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
14. 已知向量 a＝(1,3)，b＝(x,1－y)且 a∥b，若实数 x，y 均为正数，则3x＋1y的最
小值是________．
)
A．15
B．35
C．45
D．1
3. 设命题 p：∃n0∈N，n20＞2n0，则﹁p 为( )
A．∀n∈N，n2＞2n
B．∃n0∈N，n20≤2n0
C．∀n∈N，n2≤2n
D．∃n0∈N，n20＝2n0
4. 在△ABC 中，若 2cos B·sin A＝sin C，则△ABC 的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
∴a1q2－q＝6， ∵q>0，∴q＝3，a1＝1. ∴an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为 an＝3n－1. (2)由(1)知 an＝3n－1，Sn＝1×1－1－33n＝3n－2 1， ∵kan，Sn，－1 成等差数列，∴2Sn＝kan－1， 即 2×3n－2 1＝k×3n－1－1，解得 k＝3. 18．解：(1)五家 4S 店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，

D(0,1,0)，P(0，0， 3)，B(1，－1,0)，对于平面 PDC， 设其法向量 m＝(x，y，z)，∴D→P＝(0，－1， 3)，D→C＝(1，－1,0)．
－y＋ 3z＝0，
∴x－y＝0，
取 z＝1，y＝ 3，x＝ 3.
则 m＝( 3， 3，1)． 对于平面 BPC，设其法向量 n＝(a，b，c)， ∴C→P＝(－1,0， 3)，C→B＝(0，－1,0)，
1
10. 已知 a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则( )
A．a>b>c
B．b>c>a C．c>b>a
D．c>a>b
11. 已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
12. 某几何体的三视图如图所示，则从该几何体的所有顶点中
4＋4×2×1×12＋4＝2 3.
14．解析：∵向量 a＝(1,3)，b＝(x,1－y)且 a∥b，∴3x＋y＝1.
∵实数 x，y 均为正数，
∴3x＋1y＝3x＋1y(3x＋y)＝9＋3yx＋3xy＋1≥10＋2 3yx·3xy＝16.
当且仅当3yx＝3xy时取等号，
∴3x＋1y的最小值是 16. 15．解：连接 PF1.由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2＝90°，
x＝－2＋m，
的参数方程为y＝mk
(m 为参数)．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，
P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设 l3：ρ(cos θ＋sin θ)－ 2＝0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径．
|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c，于是 2a＝|PF1|＋|PF2|＝( 3＋1)c， 故 C 的离心率为 e＝ac＝ 3－1.
6
16．解析：方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝12或 1. 作出 y＝f(x)的图象，由图象知方程解的个数为 5.
三．解答题
17．[解] (1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6， a11＋q＝4，
10. [解析] c＝0.62>0；b＝log20.6<0，且 b＝log20.6>log20.5＝－1， 即 b∈(－1,0)；a＝log0.62＝log120.6＝1b∈(－∞，－1)，所以 c>b>a，故选 C．
11. 设直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)， 则 y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)． 因为曲线的导函数 y′＝x＋1 a，所以 y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又 y0＝ln(x0＋a)，所以 y0＝0，则 x0＝－1，所以 a＝2. 故选 B
线方程^y＝b^x＋a^；
(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为
12 万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元
(保留一位小数)?
n
参考公式：b^＝i∑＝1xniyi－n x
y
n
xi－－x yi－－y
i＝1
=
，a^＝^y－b^－x
i∑＝1xi2－n x 2
5. 函数 f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2(ω>0)的最小正周期为 π，则 ω＝( )
A．32
B．2
C．1
D．12
6. 已知函数 f(x)＝asin x＋bln11－＋xx＋t，若 f12＋f－12＝6，则实数 t＝(
)
A．－2
B．－1
C．1
D．3
7. 若双曲线ax22－by22＝1 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(
五家 4S 店分别进行了两天试销售，得到如下数据：
4S 店
甲
乙
丙
丁
戊
单价 x/万元 18.0 18.6 18.2 18.8 18.4 19.0 18.3 18.5 18.5 18.7
销量
y/辆
88 78
85
75
82 66 82 78 80 76
(1)分别以五家 4S 店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直
3
21. 已知函数 f(x)＝ex＋ax－a(a∈R 且 a≠0)． (1)若函数 f(x)在 x＝0 处取得极值，求实数 a 的值；并求此时 f(x)在[－2,1]上 的最大值； (2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围．
22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为xy＝＝2kt＋t， (t 为参数)，直线 l2
n
xi－－x 2
i＝1
19. 如图，多边形 ABCDE 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，△ADE 是正三角形， AD＝2，AB＝BC＝1，沿直线 AD 将△ADE 折起至△ADP 的位置，连接
PB，PC，构成四棱锥 P－ABCD，使得 PB＝ 5. (1)求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； (2)求二面角 D－PC－B 的余弦值．
三．解答题 17. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q>0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意的 n∈N*，kan，Sn，－1 都成等差数列，求实数 k 的值．
2
18. 某品牌 2018 款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市
(18.4,80)，(18.6,78)， ∴－x ＝18.3＋18.5＋185.7＋18.4＋18.6＝18.5， －y ＝83＋80＋754＋80＋78＝79， ∴b^＝－0.2×4＋0×01.0＋4＋0.20×＋0－.045＋＋0.－010＋.10.×011＋0.1×－1＝－0.12＝－20. ∴a^＝－y －b^－x ＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449， ∴^y＝－20x＋449. (2)设该款汽车的单价应为 x 万元， 则利润 f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x2＋689x－5 388，f′(x)＝－40x＋689， 令－40x＋689＝0，解得 x≈17.2， 故当 x≈17.2 时，f(x)取得最大值． ∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为 17.2 万元．
20. 设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为π4的直线 l 与抛物线相
交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过点－p2，2． (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求 A，B 两点到直线 l 的距
离之和的最小值．
2 3 3，所以外接球 O 的表面积 S＝4πR2＝163π，故选 C.
5
9. 解析： (1－x)10 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr10(－x)r＝(－1)rCr10xr， 分别令 r＝4，r＝3，r＝2， 可得展开式中 x4 的系数为(－1)4C410＋(－1)3C310＋(－1)2C210＝135，故选 B．
5＝1.故选 D． 5
3. 解析：命题 p 是一个特称命题，其否定是全称命题，故选 C．
4. 解析：∵2cos Bsin A＝sin C，∴2×a2＋2ca2c－b2·2aR＝2cR，则 a＝b，
所以△ABC 为等腰三角形，故选 C．
5. 解析：∵f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2＝32cos 2ωx＋52(ω>0)，
1. 解析：因为 B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以 A∪B＝{x|x>－3}，
所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故选 D.
2. 解析：解法一：z＝12－－2ii＝12－－2ii22＋＋ii＝4－5 3i＝45－35i，
所以|z|＝ 452＋－352＝1.故选 D．
解法二：根据复数的模的运算性质zz12＝||zz12||，可得|z|＝|1|2－－2ii||＝
)
A．
7 3
B．54
C．43
D．53
8. 已知底面半径为 1，高为 3的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )
32 3π A. 27
B．4π
16π C. 3
9. 二项式(1＋x＋x2)(1－x)10 展开式中 x4 的系数为( )
A．120
B．135
C．140
D．12π D．100
12 由三视图知，该几何体是一个四棱柱，记为四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，将其放 在如图所示的长方体中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，四 棱柱的高为 1，连接 AC1，观察图形可知，几何体中两顶点间距 离的最大值为 AC1 的长，即 22＋12＋12＝ 6.故选 B．
二．填空题：
13．解析：易知|a＋2b|＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2＝
∴最小正周期 T＝22ωπ＝π，∴ω＝1. 故选 C
6. 解析：令 g(x)＝asin x＋bln 11－＋xx，则易知 g(x)为奇函数，所以 g12＋g－12＝0，
则由 f(x)＝g(x)＋t，得 f12＋f－12＝g12＋g－12＋2t＝2t＝6，解得 t＝3.故选 D． 7. 解析：因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以ba＝43.
23. 已知 f(x)＝|2x－3|＋ax－6(a 是常数)． (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)如果函数 y＝f(x)恰有两个不同的零点，求 a 的取值范围．
4
钦州市大寺中学2高三0 毕2 业0 届班数学模拟练习[理 10]参考答案
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
钦州市大寺中学2高三0 毕2 业0 届班数学模拟练习[理 10]
一．选择题 1. 设全集 U＝R，集合 A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≤－3 或 x≥1} B．{x|x<－1 或 x≥3} C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}
2. 已知复数 z＝12－－2ii(i 为虚数单位)，则|z|＝(
15. 已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐
标原点．若△POF2 为等边三角形，椭圆 C 的离心率是________．
|lg x|，x>0， 16. 已知 f(x)＝2|x|，x≤0，
则方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 解的个数是________．
因为 e＝ac>ba，所以 e>43.故选 D． 8. 解析：如图，△ABC 为圆锥的轴截面，O 为其外接球的球心．设外接球的半径
为 R，连接 OB，OA，并延长 AO 交 BC 于点 D，则 AD⊥BC.由题意知，AO＝
BO＝R，BD＝1，AD＝ 3，则在 Rt△BOD 中，有 R2＝( 3－R)2＋12，解得 R＝
7
19．解析：(1)证明：取 AD 的中点 O，连接 PO，OB，OC.
可知 PO⊥AD，PO＝ 3，OB＝ 2，又∵PB＝ 5，
∴PO2＋OB2＝PB2.
∴PO⊥OB，OB∩AD＝O，
∴PO⊥平面 ABCD，PO⊂平面 PAD.
∴平面 PAD⊥平面 ABCD.
(2)以 O 为原点，OC，OD，OP 为坐标轴，建立如图所示坐标系，可知 C(1,0,0)，