5 电磁场与电磁波--均匀平面波在无界空间中的传播

1 ey Exm e j ( kz )
x

瞬时值形式
1 H ( z, t ) e y Exm cos(t kz x )

• 电磁场与电磁波 •
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
其中：

()
为电场强度与磁场强度的振幅之比，称为电磁波的波阻抗。波 阻抗与媒质参数有关，又称为媒质的本征阻抗（特征阻抗）。 平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。当平面波 在真空(自由空间)中传播时，
y
P(x, y, z)
波传播方向
可得
z
kz kez r
沿＋z方向传播的均匀平面波 则沿z轴传播的平面波可表示为 jke E ( z ) E0 e z r 1 H ( z ) ez E ( z ) 其中，E0为常矢量，其等相位面为平面 ez r z 常数
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
它们的解具有相同的形式，以电场强度的x分量为例：
d 2 Ex ( z ) 2 k Ex ( z ) 0 2 dz
通解
Ex ( z) A1e
jkz
A2e
jkz
瞬时表达式
Ex ( z, t ) Re[ Ex ( z )e jt ] E1m cos(t kz 1 ) E2 m cos(t kz 2 )
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
例如，若场量仅与z变量有关，则可证明Ez = Hz = 0。因为场量 与变量x及y无关，则
Ex E y Ez Ez E x y z z H x H y H z H z H x y z z
定义波矢量的大小为相位常数k方向为传播方向的单位矢量513沿任意方向传播的均匀平面波第五章均匀平面波在无界空间中的传播沿任意方向传播的均匀平面波波传播方向沿z轴传播的波是一种特殊情况其波矢为设空间任意点的矢径为可得第五章均匀平面波在无界空间中的传播则沿z轴传播的平面波可表示为其中为常矢量其等相位面为平面对照沿z轴传播的平面波的情况可得该情况下的场量为第五章均匀平面波在无界空间中的传播沿任意方向传播的均匀平面波波传播方向第五章均匀平面波在无界空间中的传播第五章均匀平面波在无界空间中的传播第五章均匀平面波在无界空间中的传播第五章均匀平面波在无界空间中的传播0中正弦均匀平面电磁波的频率f与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
电场强度随着时间t及空间z的变化波形如下图所示： E ( z, t ) E cos(t kz ) 式中t称为时间相位，表示单
x xm x
位时间内的相位变化，称为角频 率（单位：rad/s）；kz称为空间 相位，k表示波传播单位距离的相 位变化，称为相位常数（单位： rad/m）。空间相位相等的点组成 的曲面称为波面。
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数
若所讨论的区域中没有外源，即 J = 0， = 0，其中充 满线性、各向同性的均匀理想介质，则均匀平面波在这种 理想介质中的传播特点为
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变 量有关，则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。
而在给定的区域中， E 0, H 0 ，由上两式得 E z H z 0 z z 代入波动方程，可得 z 坐标分量Ez = Hz = 0，即 E ex Ex ( z, t ) ey E y ( z, t ) H ex H x ( z, t ) ey H y ( z, t )
空间相位kr变化2所经过的距离称为波长，以表示。那么由关 系式k=2，得
1 T f
2π
2π k
由上可见，电磁波的频率描述相位随时间的变化特性，而波长描述 相位随空间的变化特性。
2π 由上式又可得 k
因空间相位变化2相当于一个全波，k的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目，所以k又称为波数。
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可见，电磁波能量沿波的传播方向流动。
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
归纳理想介质中的均匀平面波的传播特点： 电场、磁场与传播方向之间互相垂直，是横电磁波(TEM波)；
电场与磁场的振幅不变； 波阻抗为实数，电场与磁场同相位； 电磁波的相速与频率无关； 电场能量密度等于磁场能量密度。
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
方向传播的平面波的等相位面是垂直于传播方向的平面 沿 e n en r 常数
对照沿 z 轴传播的平面波的情况可
x
等相位面
得该情况下的场量为
k en k
o y
P(x, y, z)
r
en
波传播方向
jk e jkr r n E (r ) Em e Em e 1 1 jkr H (r ) en E (r ) en Em e
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
1 根据理想介质中，电场强度及磁场强度的关系 H E ，有
可见，理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度。 因此，电磁能量密度为
1 2 1 E H 2 2
2

2 2 1 2 1 w E H E H 2 2
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波
均匀平面波沿任意方向传播如下图所示，传播方向的单位 e 矢量为 n。定义波矢量 k 的大小为相位常数k，方向为传播方 向的单位矢量 e ，即 n
k en k ex kx ey k y ez kz
(V / m)
试求： (1) 均匀平面电磁波的相速vp、波长、相位常数k和波阻抗； (2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式； (3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
解：(1)
vp
1

vp f

3 10 108 m / s r r 9 c
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
例题 已知无界理想媒质( = 90， = 0， = 0)中正弦均匀平 面电磁波的频率f = 108Hz，电场强度为
jkz j jkz 3 E ex 4e ey 3e
y
波阵面
x E
波传播方向
o
H
均匀平面波
z
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
5.1 理想介质中的均匀平面波 5.2 电磁波的极化
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
5.4 色散与群速
5.5* 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
由上式可见，z=常数的波面 为平面，因此这种电磁波称为平 面波。因Ex(z)与x、y无关，在z= 常数的波面上，各点场强相等。 故这种波面上场强均匀分布的平 面波又称为均匀平面波。
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
时间相位t变化2所经历的时间称为电磁波的周期，以T表示， 而一秒内相位变化2的次数称为频率，以f表示。那么由T=2的关 系式，得
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
根据相位相等点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度， 这种相位速度以vp表示。令tkz=常数，得 dtkdz=0 ，则
dz vp dt k
考虑到 k ，得
vp

k

1

相位速度又简称为相速。 上式表明，在理想介质中，均匀平面波 的相速与媒质特性有关，但与频率无关。在自由空间中，
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均匀平面波的几个概念
波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面
平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变 的平面波
均匀平面波的特点：电磁波的场 矢量只沿着它的传播方向变化，在 与波传播方向垂直的平面内，场矢 量的振幅和相位都保持不变。 在实际应用中，理想的均匀平面 波并不存在。但某些实际存在的波 型，在远离波源的一小部分波阵面， 仍可近似看作均匀平面波。
在理想介质中，瞬时坡印亭矢量为 2
2
1 E S E H E (ez E ) ez
平均坡印亭矢量为


2 * * 1 1 Em Sav Re[ E H ] Re[ E (ez E )] ez 2 2 2
z
沿任意方向传播的均匀平面波
由 E 0 k E e m n Em 0
表明电场强度的方向垂直于波的传播方向。



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0
0 120 π 377 (Ω ) 0
E H ez
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根据波阻抗，可得：
1 H ez E 或

第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
由此可见，在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场 相位相同，且它们的空间相位均与变量z有关，但振幅不会改 变。二者均与波传播方向垂直，三者遵循右手螺旋关系，如下 图所示。
j1 j2 其中，A E e ， A E e 。 1 1m 2 2m
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分在无界空间中的传播
5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点
在无界均匀媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进 方向的波，即只存在沿一个方向传播的波。 在式：
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
这表明沿z方向传播的均匀平面波的电场强度和磁场强度都没 有沿传播方向的分量，即电场强度和磁场强度都和波的传播方 向垂直，这种波又称为横电磁波(TEM波)。其中的x、y分量满 足标量亥姆霍兹方程：
d 2 Ex 2 k Ex 0 2 dz d2 Ey 2 k Ey 0 2 dz 2 d Hx k 2H 0 x dz 2 2 d H y k 2H 0 y dz 2
0
1 109 F / m, 0 4 107 H / m 36 1 vp c 3 108 m / s 自由空间的光速
0 0
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第五章 由 E jH ， 得
均匀平面波在无界空间中的传播
1 1 Ex H ( z) E ( z ) e y j j z kExm j ( kz x ) ey e ey Exm e j ( kz x )
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
在无源空间中，时变电磁场相互激励，电磁场以波动的形 式存在，并且在空间中传播，形成电磁波。 电磁波传播的媒质环境
无界：无障碍的自由空间（理想情况） 半无界：介质表面发生反射、折射 有界：波导、传输线等
媒质性质
无耗（电导率为0的理想介质） 有耗（电导率不为0的导电媒质）
Ex ( z) A1e jkz A2e jkz
中，第一项代表沿z方向传播的均匀平面波，第二项代表沿z 方向传播的均匀平面波。在此仅讨论沿z方向传播的均匀平面
波，即
Ex ( z) Exme jkze jx
瞬时表达式
Ex ( z, t ) Exm cos(t kz x )
x
r
等相位面
P(x, y, z)
en
波传播方向
o
y
z
沿任意方向传播的均匀平面波
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第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
沿z轴传播的波是一种特殊情况，其波矢为
k ez k
x r o
等相位面
设空间任意点的矢径为
r ex x ey y ez z