数列与数学归纳法练习题

数列与数学归纳法练习题
数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。

通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。

本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。

1. 练习题一
证明下列命题对所有正整数n成立：
(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2
(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
解答：
(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。

假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。

根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。

展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。

因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。

(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。

假设当n=k时，命题
成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。

下面证明当
n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。

将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。

化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +
4k^2 + 5k + 1)/6。

因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。

展开右边的乘法，得到2k^3 + 7k^2 + 8k + 3。

与左边相比较，左右
两边相等。

由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。

综上所述，通过使用数学归纳法，我们证明了(1)命题和(2)命题对所有正整数n成立。

2. 练习题二
证明下列命题对所有自然数n成立：
(1) 2^n > n
(2) n^3 + 5n是3的倍数
解答：
(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为2^1 = 2 > 1。

假设当n=k时，命题成立，即2^k > k。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的2^n = 2^(k+1) = 2^k * 2。

根据假设，我们知道2^k > k，所以2^k * 2 > k * 2。

我们只需要证明k * 2 > k + 1即可。

这是因为k * 2 = k + k > k + 1（当k大于1时成立）。

因此，由数学归纳法可知，命题对所有自然数n成立。

(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立，因为1^3 + 5*1 = 6是3的倍数。

假设当n=k时，命题成立，即k^3 + 5k是3的倍数。

下面证明当n=k+1时，命题也成立。

当n=k+1时，左边的求和式为：(k+1)^3 + 5(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5。

将右边的项相加，得到k^3 + 3k^2 + 8k + 6。

我们只需要证明k^3 + 3k^2 + 8k + 6是3的倍数即可。

根据假设，k^3 + 5k是3的倍数，因此只需要证明3k^2 + 3k + 6也是3的倍数即可。

将3k^2 + 3k + 6因式分解，得到3(k^2 + k + 2)。

因为k^2 + k + 2是整数，所以3(k^2 + k + 2)一定是3的倍数。

综上所述，通过使用数学归纳法，我们证明了(1)命题和(2)命题对所有自然数n成立。

通过以上练习题，我们可以更好地掌握数学归纳法的应用，同时巩固数列相关概念和计算能力。

当遇到类似的问题时，我们可以尝试使用数学归纳法进行求解，并通过合理的推理和证明来证明命题的成立性。

希望大家通过不断的练习，能够熟练掌握数列与数学归纳法的应用，提升解题能力。