直线与平面、平面与平面平行的判定 课件

面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化
的．
(2)
线线平行
判定 ―――→
线面平行
判定 ―――→
面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关
系的判定定理．
[活学活用] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是 B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC 的中点． 求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明：(1)如图，连接SB. ∵E，G分别是BC，SC的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面BDD1B1， EG⊄平面BDD1B1. ∴直线EG∥平面BDD1B1.
∴ME∥平面OCD. 又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD， ∴NE∥平面OCD. 又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE， ∴平面MNE∥平面OCD. ∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.
[类题通法]
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面
线线平行与面面平行的综合问题
[例3] 如图，在四棱锥O -ABCD中，底面 ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为 BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD. [解] 证明：如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则 ME∥AB. 又∵AB∥CD， ∴ME∥CD. 又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，
直线与平面、平面与平面平行的判定
直线与平面平行的判定 [提出问题] 门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇 不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线 都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．
问题 1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？ 提示：平行． 问题 2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种 方法吗？ 提示：可以，只需在面内找一条与面外直线平行的直线即可． 问题 3：若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面 平行吗？ 提示：不一定，要强调线在面外．
平面与平面平行的判定
[提出问题] 如何判断桌子的桌面是否水平？工人师傅将水平仪放在桌子上 交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是 水平的(注：当水平仪的气泡居中时，水平仪所在的直线就是水平线)， 否则桌面就不是水平的，这是为什么呢？ 问题 1：上述问题中给出了判断两面平行的一种怎样的方法？ 提示：在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面 即可．
[解] 证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N， 连接MN，如图，
则PM∥QN，PAMB ＝EEAP，QCDN＝BBQD. ∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN. 又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE， ∴PQ∥平面CBE.
[活学活用]
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H 分别为AB，CD，PD的中点． 求证：平面AFH∥平面PCE.
证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC. 因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE. 又由已知得AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE.
(2)连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
问题 2：若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这 两个平面平行吗？
提示：不一定，也可能相交． 问题 3：若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么 这两个平面平行吗？ 提示：不一定，也可能相交．
[导入新知]
表示 位置
图形
平面与平 面平行的 判定定理
文字
符号
一个平面内的 两__条__相__交__直__线__ 与另一个平面 平行，则这两 表示
直线与平面 平行的判定
定理
图形
文字
符号
平面外一条 直线与_此__平__ _面__内__一__直__线_ _平__行_，则该 直线与此平 面平行
ab⊄⊂αα⇒a∥α a∥b
[化解疑难] 1．用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个 条件： (1)直线 a 在平面 α 外，即 a⊄α； (2)直线 b 在平面 α 内，即 b⊂α； (3)两直线 a，b 平行，即 a∥b. 2．该定理的作用：证明线面平行． 3．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．
a⊂β
ab∩⊂bβ＝P⇒α∥β
a∥α
b∥α
[化解疑难] 1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的 “两条相交直线”是必不可少的． 2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面 面平行转化为线面平行．
直线与平面平行的判定
[例 1] 如图，已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和矩 形 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 CBE.
面面平行的判定 [例 2] 如图，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，M，E，F，N 分别是 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 的中点．
求证：(1)E，F，B，D 四点共面； (2)平面 MAN∥平面 EFDB.
[解] 证明： (1)连接 B1D1. ∵E，F 分别是边 B1C1，C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D 四点共面． (2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD， ∴MN∥BD. 又∵MN⊄平面 EFDB，BD⊂平面 EFDB， ∴MN∥平面 EFDB.
连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB.
[类题通法] 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解 答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的 条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面 平行．
[类题通法] 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键 是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边 形、三角形中位线定理、平行公理等．
[活学活用] 如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB＝ 2DE，点 G，H 分别为 AC，BC 的中点．求 证：BD∥平面 FGH.
证明：如图，连接 DG，CD，设 CD∩FG＝O，连接 OH.在三棱台 DEF-ABC 中，AB＝2DE，点 G 为 AC 的中点，可得 DF∥GC，DF＝GC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，所以点 O 为 CD 的中点． 又因为点 H 为 BC 的中点，所以 OH∥BD. 又因为 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH.