城市暴雨内涝数学模型的研究与应用

武汉市暴雨内涝数学模型的研究与应用
刘晓
（湖北工业大学，湖北，武汉，120330270）
摘要：暴雨内涝对城市的影响日益严重，为了城市能够更好的应对暴雨带来的冲击，本文以城市的街道路面与河道水流的运动为对象进行模拟，建立了武汉市暴雨内涝积水数学模型。

模型以平面二维非恒定流基本方程和不规则网格划分技术为框架，采用简化分类处理的方法，将通道分为路面型、河道型以及特殊通道型，根据不同类型简化动量方程，求任一网格各个通道上的单宽流量。

根据不规则网格的方法，按照武汉市的地形进行多边形计算网格的设计。

介绍了数学模型在武汉市的应用和误差分析以及城市路面降雨量的计算。

关键词：城市暴雨内涝灾害数学模型误差分析武汉市
Research and Application of Wuhan Waterlogging Mathematical Model
Liu Xiao
(,Hubei University of Technology, Hubei,Wuhan,120330270)
Abstract:W aterlogging increasingly serious impact on the city, in order to respond to storm the city the impact of urban road surface better and the main river flow motion simulation object, the mathematical model of urban storm water waterlogging.The basic equation model for unsteady flow and irregular unstructured meshing technology as the backbone, the use of simplified classification method,the channel into the river type, road type,special channel type, depending on the type of simplified momentum equation,seeking grid unit discharge any individual channel.According unstructured irregular grid design ideas, according to the terrain features are designed in Wuhan polygon computational grid.Describes analysis methods and mathematical models to calculate surface rainfall in the city of Wuhan and application errors.
Keywords: urban storm; waterlogging disasters; mathematical model;model error analysis;Wuhan
1 引言
城市内涝是由于强降雨超过城市排水能力而产生的城市内积水的灾害。

降雨强度大是造成城市内涝的原因客观原因，范围集中。

降雨强度较大、时间较长有可能形成积水，降雨急的地方也可能形成积水。

近年来，暴雨对城市内涝灾害的影响日益严峻，不仅加重了城市的防汛排涝的任务，同时对经济建设和城市居民的日常生活也造成了较大影响。

因此，为了进
一步提高城市排水的服务能力和水平，对城市内涝进行研究已然十分必要，从而减少暴雨对城市的影响。

1.1国内外的经验
巴黎的下水道始建于1854年，用时24年巴黎修建了600多公里的下水道。

截止今日，巴黎的下水道总长度近2300公里，相当于巴黎到伊斯坦布尔的距离。

巴黎的下水道位于地面以下50米。

水道纵横交错，密如蛛网，下水道十分宽敞，中间是宽约3米的排水道，两侧是宽约1米的供检修人员通行的便道。

巴黎的下水道按沟道大小可以分为小下水道、中下水道和排水渠三种。

每天有120亿立方米的水经此管道排出，这些下水道犹如这座大城市的消化系统。

因此，暴雨不会使巴黎的形成内涝。

青岛是目前被认为是管道设置最合理的城市，青岛率先采用雨水污水分流的排水模式。

德式排污管道设计巧妙，管道为倒置的鸭蛋型，上大下小，下半部分呈“V”型，在流量相同的情况下，污水流速更快，即使污水流量比较小，污水依然能保持一定的速度，使得污水中所夹杂的污物被冲击的没有沉淀的机会，有效保证了管道的畅通。

1.2武汉市的现状
武汉湖泊的减少，大大减小了城市的调蓄能力，从而大大增加了城市内涝的发生率。

1950年代，武汉市湖泊面积达到1581平方公里，城中湖有127个，80年代已经缩减到874平方公里。

近30年来，又减少了228.9平方公里，城中湖也缩减为38个。

与之相对应的却是，城市建成区总面积从220平方公里增加到475平方公里。

天上的雨水没有减少，调蓄的湖泊在减少，城市建成区的面积却在增加，如果抽排能力没有加强，城市内涝就不可避免。

1.3城市暴雨内涝数学模型的基本原理及网格划分
以城市的河道水流与街道路面的运动为对象进行模拟，建立了城市暴雨内涝积水的数学模型。

模型以平面二维非恒定流基本方程和不规则网格划分技术为主要方法。

一般的数值模式计算，基本上采用规则矩形网格或三角形网格对计算区域进行划分，但是城市的局部地区往往地形复杂，河流、街道分布也各不相同，对于建筑物，尤其是防洪排涝工程在南、北方有着巨大的差异，对径流的形成影响很大。

因此，根据城市暴雨径流的特征，模型选取无结构不规则网格。

同时，根据城市各异的地貌特征可将网格设计为三边形、四边形或五边形，网格的各边则定义为通道。

选择网格单元为研究体，取网格中心位置得水位为计算水位H，取网格周边的通道中点处得流量为计算流量Q。

水位代表网格的平均值，流量也表示通道的平均值。

此外，在时间上，流量和水位采取时间交错的计算方式。

根据武汉市的地形设计计算网格。

武汉市地形平缓，海河较宽河道设为河道型网格，较窄的明沟和河道为特殊通道。

2 基本方程
由高斯定理可将连续方程转化为 dt q L Q A H H
dt T i ik k K
k i i T
i
dt T i
+++=∑=+2dt 21
2 (1) 式中H i ——i 单元的水深； i A ——i 单元的网格面积；
Q ik ——i 单元的第k 条通道上的流量； ik L ——i 单元的第k 条通道长度； q i ——i 单元的源； dt ——T 时刻时间的增量。

根据简化的动量方程的离散格式来计算Q ik 。

对于不规则的网格，如果按动量方程严格计算任一方向通道的流量，则计算量太大，所以该模型中采取简化分类处理的方法。

假设同一时段同一网格水位的变化不大，采取分类处理的方法去求任一网格各通道上的单宽流量。

通道分为路面型、河道型、特殊通道型、其他型，由不同类型的简化动量方程，计算流量。

河道型通道对应的动量方程：
dt H Q Q n g dt dL Z Z gH Q i dt T ik dt T ik ik ik
T ik T ik i dt T ik
dt
T k
3
7
21
2i 22Q ---+---= (2) 式中 g ——重力加速度；
Z ik1、Z ik2——为i 单元的第k 条通道左右侧1、2断面的水位； dL ik ——i 单元的第k 条通道左右侧单元形心距离； n ik ——i 单元的第k 条通道上的糙率。

地面型通道对应的动量方程：
dt
T d N k N j d dt T d ik dt T ik di T
di
i ij ij L Q L Q A dt H +==++++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=∑∑q 22/2Q
1212dt T ik
(3) 对于有缺口堤或连续堤的通道，其流量采取宽顶堰流的计算公式，即
2/3ik 2бQ i ik dt
T ik
H g m =+ (4)
式中Σik ——i 单元的第k 条通道下游淹没系数；
m ik ——i 单元的第k 条通道流量系数。

武汉市较窄的河道认为是特殊通道，它与其左右侧网格之间的流量，选取宽顶堰流公式(4)进行计算；对于河道的单宽流量Qs 选择与河道型通道的动量方程式(2)相近的公式来计算；此外，特殊单元水深则按照以下的离散格式计算：
dt L Q L Q A dt H dt
T d N k N j d dt T d ik dt T ik d T
d dt
T i ij ij
i i
i
+==++++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=∑∑q 22/2H
1212d (5) 式中H di ——i 特殊单元的水深； A di ——i 特殊单元的面积； Q dij ——i 通道周边的单宽流量；
L dij ——i 通道周边的边长；
q di ——i 特殊单元上的降雨强度，一般选取其特殊节点处的降雨强度来作为这个单元的平均值。

3 武汉市的排水系统
武汉市的排水系统由水井、管道、泵站、明沟、闸门等组成，排水管道错综复杂，通过雨水井来承担和接收来自地面的水，通过泵、闸或淹没出流管道来实现管道水的排出。

对于地下排水管网内的水流，一般选用一维非恒定流方程进行计算。

地面单元与地下排水管网的水量交换，一般可以通过连续方程源汇项来进行控制，即可将源汇项分成单元排水强度和有效降雨强度两部分。

单元的排水量可依据单元的最大排水能力、单元积水深度，以及降雨强度来确定：当单元最大排水能力大于降雨强度并且单元积水相对较浅时，降雨量将全部转化成排水量流入到地下管网，故单元排水强度则为降雨强度；反之，当单元最大排水能力小于降雨强度且单元的积水相对较深时，单元排水强度可达到最大的排水强度，单元最大排水强度与降雨强度之差则转化成地表径流。

对于计算管道内的流量选用一维非恒定流方程的离散形式： dt R A Q Q n g dt dL Z Z gA Q pi
pi dt
T pi dt T pi i T i T i pi dt
T pi
3
/421
2dt
T pi
22Q ---+---= （6） 式中Q pi ——计算管道的断面流量；
dL i ——相临的两网格的形心到通道中点的距离之和； R pi ——水力半径；
计算管道内的水深一般选用连续方程的离散形式:
dt A A q Q A dt H pi
dt T N k dt T pk pi T pi
dt T pi
,11,222H
+=++++=∑ (7) 式中H pi ——管道水深； q 1——管道排水强度；
N ——单元中有排水管道通过的通道数； ,
pi A ——计算单元内管道的等效底面积。

降雨的过程当中，地面积水会向管道汇集，然后管道沿着管网系统汇合直至出口，再在出口处经泵站或闸门向河道泄水。

抽排水的管道内水量控制着泵站的排水量，当管道内水量小于排水能力时，泵的排水量可以自动调节。

闸门的排水量同样按自流口门的设计流量和管道内水量为条件进行调节。

河道与管道的水位差调节着淹没出流管道的排水量，当河道水位低于管道水位时，管道水将流向河道。

反之，将会出现倒流。

4 武汉市面雨量计算
一般必须采取有效的插值法来获得降雨量，进而转换为无结构且不规则网格的面雨量，此处选用二次曲面法来计算面雨量。

假设有N 个雨量观测站。

对计算范围内任意一位置(x ，y)，可选取与其最接近的n （n ≤N ）个观测点进行观测，获得这n 个观测点实测的降雨量，记为p 1，p 2，…，p n 。

通过最小二乘法拟合成一个二次曲面，由此二次曲面可确定点（x ，y ）的降雨量。

假设二次曲面的方程为
()65432221,a y a x a xy a y a x a y x p +++++= (8) n 点误差之和为
()
∑=-=
n
i i
p R 1
2
p (9)
根据最小二乘法，要使n 点误差之和R 达到最小，则有
0=∂∂i
a R
i=1，2，…，n (10) 由(10)式可求出a i (i=1，2，…，n)，并代入(8)式中，即可求出(x ，y)点的插值降雨量p 。

5 数学模型的验证
一般情况下，暴雨所造成的内涝灾害用最大积水深度来衡量。

因此，验证此数学模型的的方法是选择暴雨个例，代入该数学模型中来计算，比较该模型的实测结果和计算结果，并分析两者的绝对误差和误差的分布特征。

该数学模型的计算范围选取为武汉市三环线以内，由武汉市的地形等特征，将长江等划分为河道型网络，城区东湖、南湖等水体划分为湖泊型网格，其余的则划分为面积各异的不规则的陆地型网格。

其中，对于武汉市的中心地区和易积水区选取较为稠密的网格，其他区域则选取较为稀疏的网格。

综上，武汉市共划分2336个不规则网格，河道、湖泊共占有218个。

模型选择2004年7月17~19日的特大暴雨个例，对模型进行调试，调试结果见表1。

在调试的基础上选择2006年10月15~17日暴雨资料进行验证（表2）。

模型调试、验证结果趋势正确，大部分精度符合要求。

表1 最大水深的调试结果
积水位置实测值/m 计算值/m 绝对误差/m 相对误差/%
竹叶山涵洞0.50 0.45 -0.05 -0.1
姑嫂树铁路桥0.40 0.36 -0.04 -0.1
琴台大道体育馆0.35 0.33 -0.02 0.0 琴台大道红太阳建材市场0.40 0.41 0.01 0.0 晒湖涵洞0.45 0.41 -0.04 -0.1 解放大道下延线铁路桥0.20 0.20 0.00 0.00 长虹桥0.30 0.29 -0.01 0.0 21号公路石化南门0.30 0.29 -0.01 0.0
徐东路汪家墩车站0.40 0.37 -0.03 -0.1 书城路金地格林小城0.15 0.15 0.00 0.0 雄楚大街石牌岭0.20 0.20 0.00 0.0
三环线常青立交—古田立交0.40 0.37 -0.03 -0.1 东湖南路上岭小区0.30 0.29 -0.01 0.0 前进一路0.20 0.20 0.00 0.0 发展大道银墩路0.30 0.29 -0.01 0.0
鹦鹉大道江鹦路0.45 0.41 -0.04 -0.1 九支沟涵洞0.60 0.62 0.02 0.0
五支沟涵洞0.90 0.84 -0.06 -0.1
四支沟南路0.40 0.36 -0.04 -0.1
表2 最大深度的验证结果
积水位置实测值/m计算值/m绝对误差/m相对误差/%
发展大道东方酒店至江汉分局0.60 0.62 0.02 0.0 发展大道银墩路0.50 0.46 -0.04 -0.1
团山路白宫酒店0.30 0.29 -0.01 0.0 四支沟南路0.40 0.38 -0.02 -0.1 常青花园武商量贩0.35 0.33 -0.02 0.0
友谊大道工业路口0.40 0.37 -0.03 -0.1
21号公路石化南门0.50 0.45 -0.05 -0.1 长虹桥0.35 0.31 -0.04 -0.1 姑嫂树兴业路口附近0.20 0.20 0.00 0.0
姑嫂树红旗渠路口0.40 0.37 -0.03 -0.1
姑嫂树常青三路口0.45 0.41 -0.04 -0.1
6误差产生原因
（1）武汉市降雨范围分布不均。

在短时间内，暴雨往往在空间分布上存在差异较大。

武汉市的自动雨量站也仅有17个且分布不均，降雨的空间分布难以准确地反映出来。

（2）数学模型网格的误差。

此数学模型网格的大小主要涉及到市区地形、建筑物和街道，但由于此模型存在计算时间和计算稳定性的要求，网格的尺度不能太小。

网格尺度较大时，通常取地势的平均值为该区域的地形高程，且计算水深值往往不能反映局部低洼点处的实际的积水深度。

（3）排水管网的概化误差。

武汉市的排水管网是非常复杂的树枝状系统构成的，由于此模型中每个网格都含有若干管道，为了便于计算，管道的参数取其概化值，所以会影响其计算精度。

（4）积水的观测误差。

实测积水时往往在最深处测量水深，而局部积水深度往往不能代表整个网格的平均积水的深度。

7结论
本文给出了城市暴雨内涝数学模型的建设思路，并应用该模型验证了武汉市的暴雨过程。

结果表明：武汉市的暴雨内涝数学模型基本可信，并且模型具有较好的适用性。

主要结论如下：
（1）以明渠河道与市内地表的水流运动为主要研究对象，以平面的二维非恒定流基本方程为框架，结合一维明渠非恒定流方程的计算方法，专门对于小于离散网格尺度的河道或
排水渠涌，设计此模型。

（2）通过城市暴雨内涝的数学模型了验证了武汉市的暴雨过程，其结果表明：城市暴雨内涝数学模型所得的结果是可信、可靠的，故而说明了此模型具有较好的适用性。

此数学模型在武汉市经历多场暴雨的考验，从侧面更证明了此模型的适用性。

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