《怎样判定三角形相似》 知识清单

《怎样判定三角形相似》知识清单三角形相似是初中数学中的重要知识点，在解决几何问题中经常会用到。

下面我们来详细了解一下怎样判定三角形相似。

一、定义
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。

二、判定方法
1、两角分别相等的两个三角形相似
这是判定三角形相似最常用的方法之一。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
当两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等时，这两个三角形相似。

比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

3、三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝AC ／ A'C'，则三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

三、常见的相似三角形模型
1、“A”字型
在图形中，如果有一条直线平行于三角形的一边，与另外两边或其延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例如，在三角形 ABC 中，DE 平行于 BC，交 AB、AC 于 D、E 两点，那么三角形 ADE 相似于三角形 ABC。

2、“8”字型
在图形中，如果两个三角形的对顶角相等，且两组对边分别交叉成比例，那么这两个三角形相似。

比如，在图形中，∠A ＝∠D，AB ／ CD ＝ AC ／ BD，那么三角形 ABC 相似于三角形 DBC。

3、直角三角形中的相似
（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（2）在直角三角形中，被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似。

四、应用实例
例 1：已知在三角形 ABC 中，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 70°，在三角形
A'B'C'中，∠A' ＝ 30°，∠B' ＝ 70°，求证：三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。

证明：因为在三角形 ABC 中，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 70°，所以∠C
＝ 180° 30° 70°＝ 80°。

在三角形 A'B'C'中，∠A' ＝ 30°，∠B' ＝ 70°，所以∠C' ＝ 180° 30°70°＝ 80°。

因为∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'，所以三角形 ABC 相
似于三角形 A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。

例 2：在三角形 ABC 中，AB ＝ 6，AC ＝ 8，在三角形 A'B'C'中，
A'B' ＝ 9，A'C' ＝ 12，且∠A ＝∠A'，求证：三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

证明：因为 AB ／ A'B' ＝ 6 ／ 9 ＝ 2 ／ 3，AC ／ A'C' ＝ 8 ／ 12 ＝2 ／ 3，且∠A ＝∠A'，所以三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'（两边
成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

例 3：已知三角形 ABC 的三边分别为 3、4、5，三角形 A'B'C'的三
边分别为 6、8、10，求证：三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

证明：因为 3 ／ 6 ＝ 4 ／ 8 ＝ 5 ／ 10 ＝ 1 ／ 2，所以三角形 ABC
相似于三角形 A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似）。

五、注意事项
1、在使用判定方法时，要注意对应边和对应角的关系，不能混淆。

2、对于一些复杂的图形，要善于通过作辅助线等方法，构造出相
似三角形。

3、在证明过程中，要逻辑清晰，步骤完整，有理有据。

总之，判定三角形相似需要我们熟练掌握其定义和判定方法，并能
够灵活运用到实际的解题中。

通过不断的练习和总结，我们就能更好
地掌握这一重要的数学知识。