2023-2024学年上海实验高三下学期数学周测及答案(2024.05)

1
上实验2023-2024学年第二学期高三年级数学周考
2024.05
一、填空题（本题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．在复数集中，若复数z 满足21z =−，则z = ． 2．双曲线2
2
12
y x −=的离心率是 ．
3．若全集为R ，集合103x A x x
−=< −
，{}
22B y y x ==−+
，则A B ∩=
． 4．若函数2
21
x y a =−
+是奇函数，则实数a = ． 5．若n
x + 的展开式中共有7项，则常数项为 ．
（用数字作答） 6．从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ． 7．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时．加入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率是 ．
8．关于x 的不等式220≥ax x a −+的解集是(),−∞+∞，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知()sin 202y x π =−ϕ<ϕ< 在0,3π 上是严格增函数，且该函数在70,8π
上有最小
值，那么ϕ的取值范围是 ．
10．在△ABC 中，已知2ABC BAC ∠=∠，32BC AB =，BD AC ⊥，D 为垂足，CD =BD = ．
11．已知圆()
2
2
1:11C x y ++=在椭圆()2
2
222:10x y C a b a b
+=>>的内部，A 为C 2上的一
个动点，过A 作C 1的一条切线，交C 2于另一点B ，切点为D ，若当D 为AB 的中点时，
2
直线C 1D 的倾斜角恰好为
23
π
，则椭圆2C 的离心率为 ． 12．已知0,0a b >>，且满足22ln 2ln 202
b
a a
b −+−
+≥，则ab = ． 二、选择题（本题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．“11x −<<”是“112≤x x −++”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高(单位：cm)近似服从正态分布N (172，σ2)，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（ ）.
A ．150人
B ．300人
C ．600人
D ．900人 15．莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC 的三个顶点A ，B ，C 作它的外接圆的切线，分别和BC ，CA ，AB 所在直线交于点P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线．在平而直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemoine 线的方程为（ ）. A ．2x －3y －2＝0 B ．2x ＋3y －8＝0 C ．3x ＋2y －22＝0 D ．2x －3y －32＝0 16．已知向量a 与b 的夹角为120°，且2
a b ⋅=− ，向量c 满足()()101c a b =λ+−λ<λ< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记向量c 在向量a 与b
方向上的投影分别为x
､y .现有两个结论：①若1
3
λ=，则2a b = ；②22x y xy ++的最大值为34.则正确的判断
是（ ）. A ．①成立，②成立
B ．①成立，②不成立
3
C ．①不成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 在△ABC
cos cos C A =
，6
B π
=，BC
边中线AM = （1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．
18. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，在三棱锥D ABC −中，侧面DAC ⊥底面ABC ，,AD DC AB BC ==． （1）求证：AC BD ⊥； （2
）已知2,AB
AC AD
==，F 是线段BD 上一点，当AF BD ⊥时，求二面角
F AC B −−的余弦值．
4
19. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）
第22届世界杯在卡塔尔举办，某校“足球社”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k N ∈人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的
35，女生中喜欢足球的人数占女生的1
3
．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关． （1）请完成下面的2×2列联表，并求出k 的值；
喜欢足球
不喜欢足球
合计 男生 女生 合计
40k
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布及期望． 附：()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d −χ=
++++，其中n a b c d =+++．
()20≥P k χ
0.10 0.05 0.01 0.001 0k
2.706
3.841
6.635
10.828
5
20、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，
N 两点，点()1,1B −，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .
（1）求C 的方程：
（2）求()121232k k k k −+的值；
（3）设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.
6
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知()246ln f x x x x =−−，
（1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程以及()f x 的单调性；
（2）对()1,x ∀∈+∞，有()()21'6112xf x f x x k x −>+−−
恒成立，求k 的最大整数解；
（3）令()()46n ()l g x f x x a x =+−−，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x （12x x <）且0
x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>．
7
上实验2023学年第二学期高三年级数学周考
2024.05
一、填空题（本题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．在复数集中，若复数z
满足21z =−，则z = ． 【答案】i ±
2．双曲线2
2
12
y x −=的离心率是 ．
3．若全集为R ，集合103x A x x
−=< −
，{}
22B y y x ==−+，则A B ∩=
．
【答案】()23， 4．若函数2
21
x y a =−+是奇函数，则实数a = ． 【答案】1
5．若n
x +
的展开式中共有7项，则常数项为 ．
（用数字作答） 【答案】240
6．从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ． 【答案】124
7．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时．加入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率是 ． 【答案】
4
9
8
8．关于x 的不等式220≥ax x a −+的解集是(),−∞+∞，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】4
+∞
9．已知()sin 202y x π =−ϕ<ϕ< 在0,3π 上是严格增函数，且该函数在70,8π
上有最小
值，那么ϕ的取值范围是 ． 【答案】64ππ
，
10．在△ABC 中，已知2ABC BAC ∠=∠，32BC AB =，BD AC ⊥，D
为垂足，CD =BD = ．
【答案】【详解】令BAC ∠=
α, 则2,3ABC C ∠=α=π−α，3223BC AB BC m AB m === ，令，，
ABC ∆中，32m m sinC sinA =，即323343432sinC sin sin sin sin sinA sin sin α−α+α
====−α+αα 22
35,88
sin cos ∴α=α=，
(
)3234343sinC sin sin sin sin sin v =α=−α+α=α−+==
(
)33343cosC cos cos cos cos =π−α=−α=−α+α=
tanC BD ∴
11．已知圆()
2
2
1:11C x y ++=在椭圆()2
2
222:10x y C a b a b
+=>>的内部，A 为C 2上的一
个动点，过A 作C 1的一条切线，交C 2于另一点B ，切点为D ，若当D 为AB 的中点时，直线C 1D 的倾斜角恰好为
23
π
，则椭圆2C 的离心率为 ．
9
【答案】
【详解】
法一)11::1C D C D k l y x +联立与圆()2
211x y ++=的方程,
得113,2
x y =−
或111,2
x y =−;
不妨设32
D −
, 且为AB 的中点,
不妨设33,22A n B n −++−−
, 均在2C 上,
代入方程得(
)()2
2
22
222222
2233,1,222b m a n a b b m a n a b −++−−+
(2)减(1)
得2
2
6mb =,
再由AB n k m
==
2213b a =,
故c e a =.
又
)1
1C D D D k y x +, 代入圆1C 得
, 2
2
22
221112a b c c
−+=⇒= ,222222132,223a c c a c e ∴−=⇒=∴=,
故e =. 法二: 由11AB C D k k ⋅=
−, 及222
,22
21C D D AB OD OD D K x b a a k k k x a b b ⋅=−⇒=⇒=+, 故2
2D
a x c =− 12．已知0,0a
b >>，且满足22ln 2ln 202
b
a a
b −+−+≥，则ab = ．
【详解】方法1:设()1f x lnx x =−+, 则()11'1x f x x x
−=−= 当01x <<时,()'0f x >, 当1x >时,()'0f x <
,
10
()f x ∴在()01,上单调递增, 在()1,+∞上单调递减,()()10,10,
max f x f lnx x ∴==∴−+…
2222222212b lna a lnb ln a a ∴−+−
+=−+10,22b b
ln +−+… (当且仅当221a =且12b =,
即a b = 2 时等号成立)
又22220,2b lna a lnb −+−
+…22220,2b lna a lnb ∴−+−+
=2,a b ab ∴==∴=
方法2：令t ab =, 则0,t
t b a
>=,
由222202b lna a lnb −+−+…得2lna −2220,2t t a ln a a +−+…2220,2t
lnt lna a a ∴−+−+… 设()2222t f t lnt lna a a =−+−+, 则()0f t ≥∴()112',22a t f t t a at −=−=
当02t a <<时,()'0f t >, 当2t a >时,()'0,
f t <
()f t ∴在()02,a 上单调递增, 在()2a,+∞上单调递减,
()()222122max f t f a ln a lna a ∴==−+−+222210,ln a a =−+…
(当且仅当221a =,
即a =
时等号成立) 又()()0,0f t f t ∴=…
,2a t a ab ∴===∴=
二、选择题（本题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．“11x −<<”是“112≤x x −++”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】A
14．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高(单位：cm)近似服从正态分布N (172，σ2)，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的
11
约有（ ）.
A ．150人
B ．300人
C ．600人
D ．900人 【答案】A
【详解】(
)2
172,,(168176)0.75,(172176)0.375X N P X P X ∼σ
<<=
∴<<=，
(176)0.50.3750.1250.1251200150.P X A ∴>=−=×=，，选
15．莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC 的三个顶点A ，B ，C 作它的外接圆的切线，分别和BC ，CA ，AB 所在直线交于点P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线．在平而直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemoine 线的方程为（ ）. A ．2x －3y －2＝0 B ．2x ＋3y －8＝0 C ．3x ＋2y －22＝0 D ．2x －3y －32＝0 【答案】B
【详解】ABC ∆的外接圆设为220,x y Dx Ey F ++++=
104201640E F D F E F ++=
∴++= −+= ，034
D E F = =∴ =− 外接圆:22340x y y ++−=，即2
2
32524x y
++=
，
在A 处切线 :3
1,:1,1,,242x y y BC P ,C D
=
+=∴ −
排除. 在C 处切线()4,:1,1042
x
y AB y R ,=
−+=∴−，选 B. 16．已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=−
，向量c 满足
()()101c a b =λ+−λ<λ< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记向量c 在向量a 与b
方向上的投影分别为x
､y .现有两个结论：①若13λ=，则2a b = ；②22x y xy ++的最大值为3
4
.则正确的判断
是（ ）.
12
A ．①成立，②成立
B ．①成立，②不成立
C ．①不成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
【答案】C
【详解】由cos1202a b a b ⋅=⋅°=− ，解得：4a b ⋅= ，当1
3λ=时，1233
c a b =+ ，
由a c b c ⋅=⋅ 得：1212333
3a a b b a b ⋅+=⋅+ ，即22
12123333a a b a b b +⋅=⋅+ ， 由2
a b ⋅=− 得：22
122333
a b =+ ，因为4a b ⋅= ，假设2a b =
，则可求出b =
，a = 22122333
a b =+ 中，等号不成立，故①错误；
设OA a = ，OB a =
，OC c = ，因为()()101c a b =λ+−λ<λ< ，由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设,a c =α
，则,120b c =°−α ， 因为a c b c ⋅=⋅ ，
所以()cos cos 120a c b c ⋅α=⋅°−α ， 即()cos cos 120a b ⋅α=⋅°−α ，
故a 在c 方向的投影等于b 在c
方向的投影相
等，
故点C 满足OC AB ⊥，又cos x c =α
，()cos 120y c =°−α ， 所以 ()()222222
223cos cos 120cos cos 1204
x y xy c c c c ++=α+°−α+α°−α= ，
其中1sin12042ABO
S a b =⋅°== ，而要想保证c 最大，只需AB 最小， 由余弦定理可得：222222cos12042412AB a b a b a b a b =+−°=++≥+=
，
当且仅当a b = 时，等号成立，所以AB
最小值为，所以c 最大值为21ABO S
AB = ，
故22234x y xy c ++= 的最大值为3
4
，②正确. 故选：
C
13
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 在△ABC
cos cos C A =
，6
B π
=，BC
边中线AM = （1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．
【答案】（1）6
A π
∴=
（2
）ABC S ∆=
【解析】（1
cosC
cosA
=
可得，
)
20b cosA −+=,
由正弦定得:2a b c
R
sinA sinB sinC ===
2,sinBcosA +
=()2,C A sinBcosA +=
因为在ABC ∆中,()sin C A sinB +=
,
2sinBcosA =, 因为()0,0B ,sinB ∈π≠,
所以()0cosA C ,=∈π,6A π∴=.
(2)2,,63
A B a b C A B ππ
==
∴==π−−= , 在ABC ∆中利用余弦定理得:22222233
c a b abcos
b π
=+−=,
即c =, 因为边BC 上的中线AM , 所以
()12AM AB AC =+ 则()
2
21||4
AM AB AC =+
即(
)
22222
1177||22444b AB AC AB AC cosA c b bc =++×=++ 解得2b =,
故
c =,
则
1
2
ABC S bcsinA ∆==.
18. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，在三棱锥D ABC −中，侧面DAC ⊥底面ABC ，,AD DC AB BC ==．
14
（1）求证：AC BD ⊥； （2
）已知2,AB
AC AD
==，F 是线段BD 上一点，当AF BD ⊥时，求二面角
F AC B −−的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2
【解析】（1）取AC 中点E ，连接,DE BE ．因为AD DC =，所以DE AC ⊥． 又因为AB BC =，所以BE AC ⊥．又因为BE DE E = ，所以AC ⊥平面BED ． 又BD ⊂平面BED ，所以AC BD ⊥．
（Ⅱ）因为侧面DAC ⊥底面ABC ，且DE AC ⊥，DE ⊂平面DAC ， 平面DAC 平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC ．
又EB ⊂平面ABC ，所以DE EB ⊥．又因为BE AC ⊥，如图，建立空间直角坐标系E xyz −．
因为2,AB
AC AD
==1,2DE EB ==． 则(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)A B C D −． 所以(2,0,0),(1,0,1),(0,2,1)AC AD DB =−=−=− ．
因为F 是线段BD 上一点，设([0,1])DF DB =λλ∈
． 所以(1,2,1)AF AD DF AD DB =+=+λ=−λ−λ ．
15
因为AF BD ⊥，所以(1)04AF DB ⋅λ−−λ ，解得15λ=．所以24
(1,,)55
AF − ．
设平面FAC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AF n AC ⋅= ⋅= 即240,55
20,x y z x −++= −=
令1z =，则0,2x y ==−．于是(0,2,1)n =−．
因为ED ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)ED =
．
所以cos ,||||
n ED n ED n ED ⋅<>
===
由题知，二面角F AC B −−
19. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）
第22届世界杯在卡塔尔举办，某校“足球社”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k N ∈人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的
35，女生中喜欢足球的人数占女生的1
3
．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关． （1）请完成下面的2×2列联表，并求出k 的值；
喜欢足球
不喜欢足球
合计 男生 女生 合计
40k
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布及期望． 附：()
()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d −χ=
++++，其中n a b c d =+++．
()20≥P k χ
0.10
0.05 0.01 0.001
16
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）见解析
（2）2k =, 数学期望为9
5
.
【解析】（1）由已知, 完成列联表,
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
15k
10k 25k
女生 5k 10k 15k 合计
20k
20k
40k
将数值代入公式可得2
χ的观测值:()2
22
240150508202025153
k k k k k k k k ×−χ==×××,
根据条件, 可得83.841 6.6353
k
≤
<, 解得1.440 2.488k ≤<,因为*k N ∈, 所以2k =; （2）由（1）知, 样本的男生中喜欢足球的频率为3
5
, 用样本估计总体, 从全校男生中随
机抽取一人, 喜欢足球的概率为35, 则335X B ,
∼
, ()()0312
13
332832360,155********P X C P X C ======
,()()2130
2333325432272,35512555125
P X C P X C ====== , 则X
的分布为:0
1238
365427125
125
125
125
,[]39355E X =×=综上,2k =, 数学期望为95. 20、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，
N 两点，点()1,1B −，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .
（1）求C 的方程：
17
（2）求()121232k k k k −+的值；
（3）设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值. 【答案】（1）24y x
=
（2）-1
（3
）【解析】（1）因为焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()22x t y =−+， 由()222,4,x t y y x =−+ = 得24880y ty t −+−=，所以1212
0,4,88.
y y t y y t > +=
=− △ 因为121212
12121111
112323
y y y y k k x x ty t ty t −−−−+=+=+
++−+−+ ()()()()()212122
22212122334646
81292323ty y t y y t t t t t y y t t y y t +−+++−−=−++−+++−， 121212
12121111112323
y y y y k k x x ty t ty t −−−−⋅=⋅=⋅
++−+−+ ()()()()
121222*********
81292323y y y y t t t t y y t t y y t −++−=−++−+++−， 所以，()()()2212122222463478129
321812981298129
t t t t k k k k t t t t t t −−−+−−+=−==−−+−+−+.
（3）设211,4y M y
，2
22,4y N y ，233,4y Q y
，
则直线MN 的斜率21
2212
21
4
44
y y k y y y y −=+−，
所以直线MN 的方程为2111244y y x y y y
=
−+ +
，即()121240x y y y y y −++=
. 同理，直线MQ 方程为()131340x y y y y y −++=， 直线QN 方程为()232340x y y y y y −++=.
因为直线MN 经过()2,2A ，所以()1212820y y y y −++=，解得21228
2
y y y −=
−，
18
因为直线MQ 经过()1,1B −，所以()131340y y y y −−++=，解得3134
1
y y y +=−， 所以
32234
2821
y y y y +−=−−，整理得()23231660y y y y −++=.
又因为直线QN 的方程为()232340x y y y y y −++=，所以直线QN 经过定点()4,6P ， 所以，当BP QN ⊥时，点B 到直线QN
距离取得最大值为BP =21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知()246ln f x x x x =−−，
（1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程以及()f x 的单调性；
（2）对()1,x ∀∈+∞，有()()21'6112xf x f x x k x −>+−−
恒成立，求k 的最大整数解；
（3）令()()46n ()l g x f x x a x =+−−，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x （12x x <）且0
x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>．
【答案】（1）单调递减区间为()03,, 单调递增区间为()3,+∞.
（2）3 （3）见解析
【解析】(1)()2
46f x x x lnx =−− , 所以定义域为()
0,+∞
()()()6
'24;'18;13,f x x f f x
∴=−−
=−=− 所以切线方程为85y x =−+;()()()2
'13f x x x x
=
+−, 令()'0f x >, 解得3x >, 令()'0f x <, 解得03x << 所以()f x 的单调递减区间为()03,, 单调递增区间为()3,+∞.
(2)()()21'6112xf x f x x k x
−>+−−
等价于min ()1x xlnx k h x x +<
=−； ()()
22',1x lnx h x x −−∴=−记()()1
2,'10m x x lnx m x x =−−=−>,
所以()m x 为()1,+∞上的递增函数,且()()3130,4240m ln m ln =−
<=−>,
19
所以()034x ,∃∈, 使得()00m x =即0020x lnx −−=, 所以()h x 在()01,x 上递减, 在()
0x ,+∞上递增, 且()()
()000
00034;1
min x x lnx h x h x x ,x +===∈−所以k 的最大整数解为3 . （3）()()
2
,'20a
g x x alnx g x x x
=−=−=
=,
得0
x
=
当()(),'0,,'0x g x x g x ∈<∈+∞>
; 所以()g x 在0
上单调递减, +∞ 上单调递增, 而要使()g x 有两个零点, 要满足(
)00g x
<,
即2
02g a e −<⇒>
； 因为120x x <
<>, 令2
1
(1)x t t x =>,由()()
22121122,f x f x x alnx x alnx =∴−=−,
即:222
1111x alnx t x alntx −=−，212
1alnt
x t ∴=−
而要证1203
4x x x +>,只需证()131t x +>,即证:22
1
(31)8t x a +>即:2
2
(31)81
alnt
t a t +>−由0,1a t >>只需证:22(31)880t lnt t +−+>, 令()()22
3188h t t lnt t =+−+, 则()()1'18676h t t lnt t t
=+−++
令()()118676n t t lnt t t =+−++, 则()261
'18110(1)t n t lnt t t −=++>>
故()n t 在()1,+∞上递增,()()10n t n >=
;故()h t 在()1,+∞上递增,()()10h t h >=; 12034.x x x ∴+>。