《数字信号处理》信号的抽取与插值—多抽样率数字信号处理基础精讲

NCEPUBD
8.1
• 研究背景 • 研究目的 • 研究内容
引
言
NCEPUBD
8.1
8.1.1
引
言
研究背景
至今，我们讨论的数字系统中只有一个 抽样率。
但是，在实际应用中，各系统之间的采 样率往往是不同的
NCEPUBD
8.1
8.1.2
引
言
研究目的
要求一个数字系统能工作在“多抽样率 （multirate）”状态，以适应不同抽样 信号的需要。 对一个数字信号，能在一个系统中以不 同的抽样频率出现。
NCEPUBD
8.2.1 抽取对信号频谱的影响
x (t )
x(n)
抽样
x(n) y ( n)
保证 f s 2 f c 不会发生频谱的混迭
M倍抽取
保证 f s 2Mfc 不会发生频谱的混迭
若M是可变的，为防止抽取后在Y (e j )出现混迭，应对 x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带。
NCEPUBD
h( Mn M 1 l ) z
n 0
M
1
n
插值多 相滤波 器
NCEPUBD
8.7.2 插值的滤波器实现
直接多相实现
高效多相实现
NCEPUBD
8.7.3 抽取和插值相结合的滤 波器实现
一般框图
直接多相实现 高效多相实现
NCEPUBD
8.8
抽取与插值的编程实现
N
Ei ( z )
NCEPUBD
8.1
8.1.3
引
言
研究内容
核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。
信号的“抽取(decimatiom) ” ：减少抽样率以 去掉过多数据 信号的“插值(interpolation) ” :增加抽样率以 增加数据 滤波器组:分析滤波器组和综合滤波器组
NCEPUBD
8.2
信号的抽取
x (n )
↑L
v(n)
NCEPUBD
8.3.2
V (e j )
即
n
插零后的信号及其频谱
n
j n ( n ) e


x(n L)e jn
jL
k


x(k )e jkL
V (e ) X (e
j
)
插零后信号的频谱V(ejω)在(-π/L~π/L)内等于X(ejω),相 当于将X(ejω)作了周期压缩。换句话说，就是V(ejω)在 (-π~π)内包含了L个X(ejω)的压缩样本。
Rl ( z )
M
式中 Rl ( z ) E M 1l ( z ) h( Mn M 1 l ) z n
n 0
NCEPUBD

类 型 II 多 相 表 示
8.5
信号的多相表示
用-l代替类型I中的l，则有
Ql ( z ) h( Mn l ) z n
n 0
l M z E ( z l )
el (n) h( Mn l )
E l ( z ) el ( n ) z
n 0 n
类 型 -I 多 相 表 示
NCEPUBD
8.5
信号的多相表示
用M-1-l代替类型I中的l，则有
H ( z)
M 1 l 0
z
( M 1l )
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )

y(n)正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合 因为h(n)是因果滤波器，所以 Mn Lk 0 k ( M L) n
记
k [Mn L] m
取整
Mn [Mn L]L Mn mod L Mn
L
则
y(n) x([ Mn L] m)h(mL Mn L )
8.3
• 插值的概念
信号的插值
• 插零后的信号及其频谱
• 先插值再滤波
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8.3.1
插值的概念
设 x(n) x(t ) |t nTs ，将x(n)中每两个点之中补
L-1个0，组成一个新的序列v(n)，即
x(n L) n 0, L,2 L, (n) 其它 0
所以g(n,m)是变量m的周期函数，周期为L。
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8.4.2 频域上x(n)和y(n)的关系
L M 1 1 j j ( 2 k ) M Y (e ) U (e ) M M k 0
M 1
j ( L 2 k ) M X ( e ) | | min( , ) k 0 M L 其它 0
m0

Mn对模L求余
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8.4.1 时域上x(n)和y(n)的关系
y(n)可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所 得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为
g (n, m) h(nL Mm L )
因为
n, m
g (n, m kL) h(nL Mm kML L ) h(nL Mm L )
8.7.1 抽取的滤波器实现
抽取的多相结构实现
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8.7.2 插值的滤波器实现
H ( z ) z ( M 1l ) Rl ( z M ) z 2 R0 ( z 3 ) z 1R1 ( z 3 ) R2 ( z 3 )
l 0
M 1
一般框图
N
Rl ( z)
BD
8.3.2
插零后的信号及其频谱
NCEPUBD
频域
8.3.3
先插值再滤波
实际实现插值的方法是用v(n)和一低通滤波器 作卷积 。 c | | L H (e j ) 其它 0
Y (e j ) H (e j )V (e j ) cV (e j ) cX (e jL ) | | L 1 j j n y ( n) Y ( e ) e d 2 n j c c c n L jL j n j L X (e )e d X (e )e d x ( ) 2 L 2 L L L
先抽取后卷积 NCEPUBD
将 滤 波 器 系 数 分 组 来 实 现 信 号 的 抽 取
8.7.1 抽取的滤波器实现
NCEPUBD
8.7.1 抽取的滤波器实现
可以用多相结构来实现信号的抽取:
H ( z) E0 ( z 3 ) z 1 E1 ( z 3 ) z 2 E2 ( z 3 )
8.4 抽取与插值相结合的抽样率转 换
合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取

L 0 | | min( L , M ) j H (e ) 其它 0
该滤波器既去除了 插值后的映像又防 止了抽取后的混迭
使用2个低通滤波器
使用1个低通滤波器
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8.4.1 时域上x(n)和y(n)的关系

h1 z 1 h5 z 5 h9 z 9 h13 z 13 h2 z 2 h6 z 6 h10 z 10 h14 z 14 h3 z 3 h7 z 7 h11 z 11 h15 z 15
z 0 [h0 h4 z 4 h8 z 8 h12 z 12 z 1[h1 h5 z 4 h9 z 8 h13 z 12 z 2 [h2 h6 z 4 h10 z 8 h14 z 12 z 3[h3 h7 z 4 h11 z 8 h15 z 12
第八章 多采样率信号处理
——信号的抽取与插值
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主要内容
• • • • • • • • 引言 信号的抽取 信号的插值 抽取与插值相结合的抽样率转换 信号的多相表示 几个重要的恒等关系 抽取和插值的滤波器实现 抽取与插值的编程实现
学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理， 升、降采样过程中滤波器的设计、特性和作用， 以及插值和抽取前后信号频谱变化。
] ] ]
NCEPUBD
]
8.5
H ( z)
记
M 1 l 0
信号的多相表示
n 0
给定序列h(n)，令 n 0 ~ ，有
l Mn z h ( Mn l ) z
El ( z ) h( Mn l ) z n
n 0

则
若再记 则
H ( z)
M 1 l 0
N
Ei ( z )
h( Mn i) z
n 0
M
1
n
E 0 ( z ) h0 h3 z h6 z
1
2
抽取多 相滤波 器
E1 ( z ) h1 h4 z 1 h7 z 2 E 2 ( z ) h2 h5 z 1 h8 z 2
NCEPUBD
NCEPUBD
8.6
几个重要的恒等关系
在M倍抽取器的前后，滤波器z的幂相差M 倍
NCEPUBD
8.6
几个重要的恒等关系
NCEPUBD
8.7
抽取和插值的滤波器实现
• 抽取的滤波器实现 • 插值的滤波器实现 • 抽取和插值相结合的滤波器实现
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8.7.1 抽取的滤波器实现
一般框图
先卷积后抽取

H ( z)
显然
M 1 l 0
z Q (z
l l
M
)
Ql ( z) z EM l ( z)
NCEPUBD
1
类 型 III 多 相 表 示
8.6
几个重要的恒等关系
两个信号分别定标以后再相加后的抽取 等于它们各自抽取后再定标和相加。
NCEPUBD
8.6
几个重要的恒等关系
信号延迟M个样本后作M倍抽取和先抽 取再延迟一个样本是等效的
NCEPUBD
8.1
8.1.2
应用举例：
引
言
研究目的
既可传输一般的语音信号，也可传输播视频信 号的数字传输系统； 在音频世界，存在着多种抽样频率； 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字 系统之间传递时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造 成数据的冗余；
k
NCEPUBD
8.2.2 先滤波再抽取
NCEPUBD
频域
8.2.2 先滤波再抽取
M 1 k 0
1 j Y (e ) M
X (e
j ( 2k )
M
) H (e
j ( 2k )
M
)
在(-π/M～π/M)内, 抽取后信号的频谱与原信号频 谱只是幅度相差M倍。
NCEPUBD
所以应取c=L以保证y(n)=x(n/L)
NCEPUBD
时域
8.3.3
先插值再滤波
y(n) (n)* h(n) (k )h(n k ) x ( k L ) h( n k )
k k
即
y (n)
k
x(k )h(n kL)
NCEPUBD

插值时补进来的零，不再是零。
• 抽取对信号频谱的影响
• 先滤波再抽取
NCEPUBD
8.2.1 抽取对信号频谱的影响
依次组成一个新的序列y(n)，即
设 x(n) x(t ) |t nTs ，将x(n)中每M个点中抽取一个，
y (n) x( Mn)
x( n )
n=-+
↓M
y(n)
NCEPUBD
8.2.1 抽取对信号频谱的影响
NCEPUBD
8.5
意义：
信号的多相表示
使用多相表示可在抽样率转换的过 程中去掉许多不必要的计算，因而大大 提高运算速度。
NCEPUBD
8.5
H ( z ) h(n) z
n 0 n
信号的多相表示
h0 h4 z h8 z h12 z
4 8 12
给定序列h(n)，令 n 0 ~ ，假定M=4
N
n h ( Mn i ) z n 0
M
1
抽取多相滤波器
Rl ( z)
定义
h( Mn M 1 l ) z
y(n)和x(n)的DTFT有如下关系：
1 Y (e ) M
j
M 1 k 0
X (e
j ( 2k ) / M
)
含意：将信号x(n)作M倍的抽取后，所得信号y(n) 的频谱等于原信号x(n)的频谱先作M倍的扩展， 再在ω轴上每隔 2 作移位后再迭加 。
M
NCEPUBD
P412 图9.1.2
时域
8.2.2 先滤波再抽取
1 H (e ) 0
j
h(n)为一理想低通滤波器:
| | M else

滤波后的输出为
(n)

k
h( k ) x( n k )

对v(n)抽取后的序列为y(n) :
y(n) (Mn)
k
h(k ) x(Mn k ) x(k )h(Mn k )