初二第一学期数学期中复习提纲

初二第一学期数学期中复习提纲
一、二次根式
1.概念：代数式a (a ≥0)叫做二次根式。

当a ≥0时，a 有意义；当0<a 时，a 无意义。

2.二次根式的性质
2
(a a =≥0) ；
⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a
a =≥0，
b ≥0）；
a =≥0，
b >0） 3.最简二次根式
①被开方数中的因数分解素因数后，各因数指数都为1；被开方数中的因式分解后，各因式的指数都为1。

②被开方数不含分母。

4.同类二次根式的判断方法：
①将几个二次根式化成最简二次根式；
②在最简二次根式中，找被开方数相同的根式即为同类二次根式。

5.分母有理化：把分母中的根号化去。

a == ； (
)(
)
b
a b
a b
a b
a b a b
a -=
±±=
± 1
6.有理化因式：
两个含二次根式的非零代数式相乘，若积不含根式，则称这两个含二次根式的非零代数式互为有理化因式。

①常见的有理化因式有：y x +与y x - ；a 与a
②注意：有理化因式不唯一。

7.二次根式的运算：（1）注意运算性质的运用；（2）结果化为最简形式。

二、一元二次方程
1.一元二次方程的概念
①方程中只含一个未知数； ②方程中未知数的最高次数为2； ③方程是整式方程。

2.一元二次方程的一般式：)0(02
≠=++a c bx ax
①二次项为2
ax ，二次项系数为a ；一次项为bx ，一次项系数为b ；常数项为c 。

②注意0a ≠的条件（当0a =时，2
0ax bx c ++=，方程变为0bx c +=，就不是一元二次方程）。

3.一元二次方程的解法
①开平方法：形如2
ax b =或()2
a x m
b +=（0a ≠）；
②因式分解法：对于方程中的2
ax bx c ++部分主要采用因式分解的方法来处理，即提公因式法、套公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等。

③配方法： 将形如2
0x px q ++=的方程化成2
224p p x q ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭；
④公式法：对一般式)0(02
≠=++a c bx ax 有a
ac
b b x 242-±-=（求根公式）。

4.一元二次方程根的判别式：ac b 42
-=∆
∆≥0，方程有两个实数根00∆>∆=⎧⎨
⎩，方程有两个不等的实数根
，方程有两个相等的实数根。

0<∆，方程没有实数根。

注意：实系数的一元二次方程有实数根的必备条件是：（1）0a ≠；（2）∆≥0，两者缺一不可。

5.二次三项式因式分解：
（1）))((212
x x x x a c bx ax --=++，其中21,x x 为02
=++c bx ax 的两根。

（2）))((212
2y x x y x x a cy bxy ax --=++，其中21,x x 为02=++c bx ax 的两
根。

（3）042
2=-=∆⇒++ac b c bx ax 是完全平方式
三、几何部分 1、等腰三角形：
2、等腰三角形：（续）
定义的理解：
（1）由“两边相等”得到“等腰三角形”. ∵△ABC 中，AB ＝AC （已知）
∴△ABC 是等腰三角形（等腰三角形的定义） （2）由“等腰三角形”得到“两边相等”. ∵△ABC 是等腰三角形（已知） ∴AB ＝AC （等腰三角形的定义）
等 腰 三 角 形
等 边 三 角 形
图形
A
B
C
A
B C
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形。

三边都相等的三角形是等边三角形。

性 质
2.等边对等角（两个底角相等） 1.轴对称图形（1条对称轴）
3. 等腰三角形三线合一
1.轴对称图形（3条对称轴）
2.等边对等角（三个内角都相等，都等于60度）
3. 等腰三角形三线合一
判 定
1.根据定义（两边相等的三角形是等腰三角形）
2.等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形）
1.根据定义（三边都相等的三
角形是等边三角形）
2.三个内角都相等的三角形是等边三角形
3.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。

性质（等边对等角）
在△ABC 中，
∵ AB=AC （ ）
∴ ∠B=∠C ( ）
判定（等角对等边）
在△ABC 中，
∵∠B=∠C （ ）
∴AB=AC ( ）
A
B
3、等边三角形：（续）
定义的理解：
（1）由“三边相等”得到“等边三角形”.
∵△ABC中，AB＝AC=BC（已知）
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的定义）
（2）由“等边三角形”得到“三边相等”.
∵△ABC是等边三角形（已知）
∴AB＝AC（等边三角形的定义）
性质（等边三角形的三个内角都等于60°）
∵△ABC是等边三角形（已知）
∴∠A=∠B=∠C =60°(等边三角形的性质）
判定（等角对等边）
（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C =60°（已知）
∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形）
（2）有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。

在△ABC 中，
∵⎩⎨
⎧︒=∠=)
(60)
(已知已知B AC AB
∴△ABC 是等边三角形(有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形）
4、命题
（1）原命题：等角的余（补）角相等(真)
如果两个角相等，那么它们的余（补）角也相等
逆命题：如果两个角的余（补）角相等，那么这两个角相等(真)
（2）原命题：全等三角形面积相等(真)
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 逆命题：面积相等的三角形是全等三角形(假)
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
（3）原命题：三个内角都对应相等的两个三角形全等(假)
如果两个三角形的三个内角都对应相等，那么这两个三角形全等 逆命题：全等三角形的三个内角都对应相等(真)
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三个内角都对应相等
（4）原命题：等腰三角形两腰相等(真)
如果一个三角形是等腰三角形，那么这个等腰三角形的两腰相等 逆命题：有两边相等的三角形是等腰三角形(真)
如果三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形
（5）原命题：等腰三角形两底角相等(真)
如果一个三角形是等腰三角形，那么这个等腰三角形的两个底角相等 逆命题：有两个内角相等的三角形是等腰三角形(真)
如果三角形中有两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形
（6）原命题：等边对等角(真)
如果三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等逆命题：等角对等边(真)
如果三角形中有两个内角相等，那么这两个内角所对的边也相等
（7）原命题：直角三角形两锐角互余(真)
如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
逆命题：有两个内角互余的三角形是直角三角形(真)
如果三角形的两个内角互余，那么这个三角形是直角三角形
（8）原命题：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等(真)逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(真)
（9）原命题：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(真)
逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上(真)
（10）原命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(真)
如果一个三角形是直角三角形，那么它的斜边上的中线等于斜边的一半逆命题：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（真）。