21.2.6一元二次方程解法---因式分解法
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方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2)个(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1、方程右边化为 零 。
2、将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积。
3、至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。
4、两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
解题步骤演示
2、 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
x 3 9. 2
x1=0, x2=3
这个数是0或3.
有同学是这样解的:
解 :由方程x2 3x, 两边都除以x,得 x 3
这个数是3.
这种做法对吗?
小亮是这样想的:
如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0.
即,如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
例1、解方程：9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3 , x2
5. 3
练习 (3x 1)2 5 0
例2、解下列方程
(1)3x(x 2) 5(x 2)
例3、解下列方程
1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解：设这个数为x,根据题意得
直接开平方法
x2 3x.
新的方法？
配方法
公式法
配方法
解 : x2 3x 0.
x2
3x
3 2
2
3 2
2
，
x
3 2
2
3 2
2
,
x 3 3,
2
2
x 3 3, 22
x1 3, x2 0.
公式法
解 : x2 3x 0. 其中a=1，b=-3，c=0. b2 4ac 9 0.
(4).2(x 3)2 x2 9 .
(5)(x2 x) x 1 0
(6).x2 2x 1 (3x 1)2
(7).(x 3)(x 2) 6
2.请与出分别以下列两数为两根的一元二 次方程：
⑴以2，5为两根的一元二次方程是:
______x_2-_7_x_+__1_0_=_0___
2.关键说是熟说练你掌握的因收式分获解吧的知识;
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
4.目的是“降次”
右化零
左分解
两因式 各求解
1.用分解因式法解下列
(1). 3x(x 2) 5(x 2);
(2) .2(y 3)2 yy 3;
(3).(3x 1)2 5 0;
小亮解方程的过 程中对方程作了
怎样子的变换
什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形 式叫做分解因式.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方 法求解.
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两 个一元一次方程来求解的方法称为因式分解法.
解:由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
如果两个因式的积等于0，
那么这两个因式中至少有
一个等于0；反之成立。
即：若AB=0〈=〉A=0或B=0 （ A、B表示两个因式）
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
1. 一元二次方程的解法：
直接开平方法 （mx+n)2=P (P≥0)
配方法
(x+h)2=k (k≥0)
公式法 x b b2 4ac . a 0,b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
情景引入 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍 相等,这个数是几?
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
Hale Waihona Puke 0x12 3
,
x2
1 2
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
⑵以－2，1为两根的一元二次方程是：
＿＿＿x2＿-x＿－＿2=＿0＿＿
⑶与出有一个根为零的三个一元二次方程： ＿＿＿x＿2-x＿=0＿，＿x＿2-3＿x=＿0，＿＿x2＿＋4x=0，等.
3、解方程：x3-2x2-3x=0
4、已知m是关于x的方程mx2-2x+m=0 的一个根，试确定m的值。
5、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4， 求代数式2x+y的值。
在 ①直接开平方法、 ②配方法、
③公式法、
④因式分解法.
这四种解一元二次方程方法中，那些方法适
合于所有的一元二次方程，那些方法适合于
形式特殊的一元二次方程.
3.请选择适当的方法解一元二次方程 （1）x2-2x=8 （2）x2-3x+1=0 （3）(x-2)(x+3)=(x+3) （4）(2y-3)2=5
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
分享收获
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零;
如何选用解一元二次方程的方法？
首选因式分解法和直接开平方，
其次选公式法，
最后选配方法（题目要求时）
结束寄语
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1、方程右边化为 零 。
2、将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积。
3、至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。
4、两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
解题步骤演示
2、 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
x 3 9. 2
x1=0, x2=3
这个数是0或3.
有同学是这样解的:
解 :由方程x2 3x, 两边都除以x,得 x 3
这个数是3.
这种做法对吗?
小亮是这样想的:
如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0.
即,如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
例1、解方程：9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3 , x2
5. 3
练习 (3x 1)2 5 0
例2、解下列方程
(1)3x(x 2) 5(x 2)
例3、解下列方程
1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解：设这个数为x,根据题意得
直接开平方法
x2 3x.
新的方法？
配方法
公式法
配方法
解 : x2 3x 0.
x2
3x
3 2
2
3 2
2
，
x
3 2
2
3 2
2
,
x 3 3,
2
2
x 3 3, 22
x1 3, x2 0.
公式法
解 : x2 3x 0. 其中a=1，b=-3，c=0. b2 4ac 9 0.
(4).2(x 3)2 x2 9 .
(5)(x2 x) x 1 0
(6).x2 2x 1 (3x 1)2
(7).(x 3)(x 2) 6
2.请与出分别以下列两数为两根的一元二 次方程：
⑴以2，5为两根的一元二次方程是:
______x_2-_7_x_+__1_0_=_0___
2.关键说是熟说练你掌握的因收式分获解吧的知识;
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
4.目的是“降次”
右化零
左分解
两因式 各求解
1.用分解因式法解下列
(1). 3x(x 2) 5(x 2);
(2) .2(y 3)2 yy 3;
(3).(3x 1)2 5 0;
小亮解方程的过 程中对方程作了
怎样子的变换
什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形 式叫做分解因式.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方 法求解.
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两 个一元一次方程来求解的方法称为因式分解法.
解:由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
如果两个因式的积等于0，
那么这两个因式中至少有
一个等于0；反之成立。
即：若AB=0〈=〉A=0或B=0 （ A、B表示两个因式）
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
1. 一元二次方程的解法：
直接开平方法 （mx+n)2=P (P≥0)
配方法
(x+h)2=k (k≥0)
公式法 x b b2 4ac . a 0,b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
情景引入 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍 相等,这个数是几?
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
Hale Waihona Puke 0x12 3
,
x2
1 2
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
⑵以－2，1为两根的一元二次方程是：
＿＿＿x2＿-x＿－＿2=＿0＿＿
⑶与出有一个根为零的三个一元二次方程： ＿＿＿x＿2-x＿=0＿，＿x＿2-3＿x=＿0，＿＿x2＿＋4x=0，等.
3、解方程：x3-2x2-3x=0
4、已知m是关于x的方程mx2-2x+m=0 的一个根，试确定m的值。
5、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4， 求代数式2x+y的值。
在 ①直接开平方法、 ②配方法、
③公式法、
④因式分解法.
这四种解一元二次方程方法中，那些方法适
合于所有的一元二次方程，那些方法适合于
形式特殊的一元二次方程.
3.请选择适当的方法解一元二次方程 （1）x2-2x=8 （2）x2-3x+1=0 （3）(x-2)(x+3)=(x+3) （4）(2y-3)2=5
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
分享收获
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零;
如何选用解一元二次方程的方法？
首选因式分解法和直接开平方，
其次选公式法，
最后选配方法（题目要求时）
结束寄语
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！