三棱锥外接球问题的一类通用解法

三棱锥外接球问题是立体几何教学中的一大难点，也是历年高考的常考题型，其抽象性和综合性较强，是学生学习立体几何的一大瓶颈。其常见解法无外乎两大类：一是利用垂直条件将三棱锥拓展为直棱柱或长方体，一般称之为“补形法”；二是利用“球心与小圆圆心的连线垂直于小圆面”的性质或几何体的对称性找到外接球球心，一般称之为“找心法”；又或者是两者的结合。显然这两类方法对学生的空间想象和建构能力要求较高，且都有条件限制，对于一般三棱锥的外接球问题，还需要寻求一个更为通用的解法。
笔者将这种解法称为“大小圆法”。大小圆法绕开了“补形”和“找心”所需要的空间建构过程，将立体图形转化为平面图形，实现空间问题到平面问题的“降维”求解，直观易懂，操作方便。虽然题目条件有一定特殊性，但其解法仍具有一般性。
例2（2016太原一模理）在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为________．
三棱锥外接球问题的一类通用解法
摘要：三棱锥外接球问题是高中数学立体几何模块中的一大难点，也是历年高考的常考题型。本文通过对比“补形法”和“找心法”两种常规解题思路，提出一种通用性更高、可操作性更强的“大小圆法”，将空间问题“降维”为平面问题来解决，突破三棱锥外接球问题的解题瓶颈。
关键字：高中数学，三棱锥，外接球，大小圆法
例3已知三棱锥的高为，底面是腰长为1，底长为的等腰三角形，点均在半径为的同一球面上，求长度的最小值．
解析：如图，小圆为底面三角形的外接圆，易求得其直径长为2；大圆为平面截球所得的圆面，记它与小圆的交线为（如图），点到的距离即为三棱锥的高（定值），故底面可绕圆心旋转，当且仅当点与（或）重合时，取得最小值，可计算得最小值为．
该例由于顶点的位置不确定，且没有配图，常规方法较难求解。“大小圆法”则是回避了根据文字条件建构空间图形的过程，从平面入手，两步解决问题。
当然，在一些特殊的条件下，“补形法”和“找心法”仍较简单快捷，比如存在三条棱两两垂直的情形，补全为长方体仍是最简单的方法。另外，对于一些缺少垂直条件的三棱锥的外接球，无论用何种方法，分析和计算都会相当困难，不过这样的题目在历年高考和各地模拟题中均未发现。
例1三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中为等边三角形，平面，，则该球的体积是__________．
解析：本题为典型的“一条侧棱垂直于底面”的情形，一般的做法是将三棱锥拓展为直三棱柱，再根据三棱柱的对称性确定球心就是上下底外心连线的中点，从而求出球心到顶点的距离即为所求外接球的半径（如图）。
事实上，根据“球心与小圆圆心的连线垂直于小圆面”这一性质，我们知道，故四点共面，以侧棱与底面的外接圆直径为两直角边的直角三角形内接于一个大圆，于是即为大圆的直径，同时也是球的直径。因此解决问题的关键落在了两个互相垂直的圆面上，一个是底面三角形的外接圆（小圆），另一个是三角形的外接圆（大圆）。通过底面三角形求得外接小圆的直径为，再通过勾股定理求得大圆即球的直径为，故可得外接球的体积为。
总体来说，针对三棱锥外接球问题的“大小圆法”较常规方法而言具有更的适用范围和更强的可操作性，同时也体现了“将空间问题转化为平面问题求解”的核心思想和化繁为简的数学思维。
参考文献：
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[2]周瑜芽.对一道三棱锥外接球高考题的解法探究[J].中学数学研究. 2020(02): 57-58.
本题为“正三棱锥”模型，常规解法也是在高线上寻找球心，使其到距离相等；或证明其为正四面体，再补全为正方体求解。而用大小圆法求解，则十分简洁明了。
解析：如图，小圆为底面正三角形的外接圆，直径长为；大圆为等腰三角形的外接圆，易知，，故由正弦定理可求得大圆直径，从而球的表面积为．
如果说上述两例均可用“补形法”或“找心法”求解，那么接下来这一例则更能突显“大小圆法”相对广泛的适用性。
[3]陈凌燕.用双圆模型求解三棱锥外接球的有关问题[J].高中数学教与学, 2018(21): 4-6.
[4]李洪波.巧用小圆解决棱锥外接球问题[J].中学数学研究(华南师范大学版), 2018(5): 43-45.