2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训：10-9离散型随机变量的均值、方差和正态分布

5限时规范特训
A 级基础达标
1．[2014 ·黄山模拟 ]已知随机变量X 的散布列为
X123
P
则 E(6X＋8)＝()
A ．B．
C．D．
分析：由题意知， E(X)＝1×＋2×＋3×＝，∴E(6X
＋8)＝6E(X)＋8＝6×＋8＝21.2.
答案： B
2．假如随机变量X～N(2,22)，若 P(X<a)＝，则 P(X<4－a)＝
()
A ．B．
C．D．
分析：依据正态散布密度曲线的对称性，知P(X>4－a)＝P(X<a)＝，依据正态散布密度曲线与x 轴所围成的面积等于 1 和 P(X＝4－a)＝0 得， P(X<4－a)＝1－P(X≥4－a)＝1－P(X>4－a)＝0.8.
答案： D
3．[2014 ·池州联考 ]若 X～B(n，p)，且 E(X)＝6，D(X)＝3，则 P(X ＝1)的值为 ()
A ．3·2－2B．2－4
C．3·2－10D．2－8
1
分析： E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝2，n＝12，则 P(X 11111110
＝1)＝C12·( ) ·( ) ＝3×2－ .
22
答案： C
2 4．在某次数学测试中，学生成绩ξ听从正态散布 N(100，σ)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率
为，则ξ在(0,80)内的概率为 ()
A ．B．
C．D．
分析：依据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为，
因为ξ在(0,100)内的概率为，所以ξ在(0,80)内的概率为，故
选 B.
答案： B
5．某班50 名学生期中考试数学成绩的频次散布直方图如图所示，此中成绩分组区间是： [40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80 分的学生中随机选用 2 人，这 2 人中成绩在 90 分以上 (含 90 分)的人数为ξ，则ξ的数学希望为 ()
11
A.3
B.2
23
C.3
D.4
分析：由频次散布直方图知， 3××10＋×10＋
×10＋10x＝1，解得 x＝，∴成绩不低于 80 分的学生有
＋0.006)×10×50＝ 12 人，成绩在 90 分以上 (含 90 分 )的学生有
C926
×10×50＝3 人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝C122＝11，P(ξC31C919C321
＝1)＝C122＝22，P(ξ＝2)＝C122＝22，
∴ξ的散布列为
ξ 012
P
691 112222
69 1 1
∴E(ξ)＝0×11＋1×22＋2×22＝2.选 B.
答案： B
6．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球
3 次，一旦发球成功，则停止发球，不然向来发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0)，发球次数为 X，若 X 的数学希望
，则 p 的取值范围是 ()
77
A ．(0，12)B．(12，1)
11
C．(0，2)D．(2，1)
分析：由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝
3)＝(1－p)2p ＋(1－p)3＝(1－p)2，
则 E(X)＝P(X ＝1)＋ 2P(X ＝2)＋ 3P(X ＝3)＝p ＋ 2(1－p)p ＋ 3(1－
p) 2＝p 2
－3p ＋，解得 p>
5
2或 p<12，又由 p ∈(0,1)，可得 p ∈(0，1
2)．
答案： C
2
7．在某项丈量中，丈量结果 ξ听从正态散布 N(1，σ)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为，则 ξ在(0,2)内取值的概率为 ________．
2
分析： 因为正态散布 N(1，σ)(σ>0)的图象对于直线 x ＝1 对称，
且 ξ在(0,1)内取值的概率为，所以 ξ在(1,2)内取值的概率也为
，
故 ξ在(0,2)内取值的概率为 0.8.
答案：
8．随机变量 ξ的散布列以下
ξ －1
0 1 P a
b
c
1
此中 a ，b ，c 成等差数列，若 E(ξ)＝3，则 D(ξ)＝________.
a ＋
b ＋
c ＝1，
分析： 依据已知条件得，
2b ＝a ＋c ，
1
－ a ＋c ＝3，
1 1
1
解得 b ＝3，a ＝6，c ＝2.
1 ×(－1－ 1
2 1 1 2 1 1 2 ＝ 5
∴ ξ＝ 3
)
＋ ×(0－ 3
)
＋ ×(1－
3
)
9.
D( )
6
3
2
答案： 5
9
9．[2014 ·太原五中统考 ]袋中有大小、质地均同样的 4 个红球与2 个白球．若从中有放回地挨次拿出一个球，记 6 次取球中拿出红球的次数为ξ，则ξ的希望 E(ξ)＝________.
分析：依题意得，ξ的可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6，且每次取球
拿出红球的概率均是
4
4＋2
22
＝3，故ξ～B(6，3)，所以
2
E(ξ)＝6×3＝4.
答案： 4
10．某示范性高中的校长介绍甲、乙、丙三名学生参加某大学自
主招生查核测试，在本次查核中只有合格和优异两个等级．若查核为合格，授与 10 分降分资格；查核为优异，授与20分降分资格．假
设甲、乙、丙查核为优异的概率分别为2 2 1
3、3、2，他们查核所得的等
级互相独立．
(1)求在此次查核中，甲、乙、丙三名学生起码有一名查核为优
秀的概率；
(2)记在此次查核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变
量ξ，求随机变量ξ的散布列和数学希望．
解：(1)记“甲查核为优异”为事件 A，“乙查核为优异”为事件B，“丙查核为优异”为事件 C，“甲、乙、丙起码有一名查核为优
秀”为事件 E.
则事件 A、B、C 是互相独立事件，事件 A B C 与事件 E 是对立事件，于是
22117
P(E)＝1－P( A B C )＝1－(1－3)(1－
3)(1－2)＝18.
(2)ξ的全部可能取值为 30,40,50,60.
2211
P(ξ＝30)＝P( A B C )＝(1－3)(1－3)(1－2)＝18
，
P(ξ＝40)＝P(A B C)＋P(ABC)＋P(A B C)＝5，
18
8
P(ξ＝50)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝18，
4
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝18.
所以ξ的散布列为
ξ 30405060
P
1584 18181818
1584145
∴E(ξ)＝30×18＋40×18＋50×18＋60×18＝3 .
B 级知能提高
2 1．[2014 ·大连测试 ]已知随机变量x听从正态散布N(μ，σ)，且P(μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝，P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝，若μ＝4，σ
＝1，则 P(5<x<6)＝()
A ．B．
C．D．
分析：由题知 x 听从正态散布 N(4,1)，作出相应的正态曲线，如
图，依题意 P(2<x≤6)＝，P(3<x≤5)＝，即曲边梯形 ABCD
的面积为，曲边梯形 EFGH 的面积为，此中 A、E、F、
B 的横坐标分别是2、3、5、6，由曲线对于直线x＝4 对称，可知曲
－
边梯形FBCG 的面积为＝，即P(5<x<6) ＝
2
，应选 B.
答案： B
2．[2014 ·韶关调研 ]某保险企业新开设了一项保险业务，若在一
年内事件 E 发生，该企业要补偿 a 元．设在一年内 E 发生的概率为 p，为使企业利润的希望值等于 a 的百分之十，企业应要求顾客交保险金
为________元．
分析：设保险企业要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示企业每年的利润额，则ξ是一个随机变量，其散布列为：
ξxx－a
P 1－p p
所以，企业每年利润的希望值为E(ξ)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap.为使企业利润的希望值等于 a 的百分之十，只要E(ξ)＝，即 x－ap＝，解得 x＝＋p)a.
即顾客交的保险金为＋p)a 时，可使企业希望获益10%a.
答案：＋p)a
3．[2014 ·东城区一致检测 ] 为迎接 6 月 6 日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取 16 名学生，经校医用对数视力表检查获得每个学生的视力情况的茎叶图 (以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 )，如图，若视力测试结果不低于，则称为“好视力”．
(1)写出这组数据的众数和中位数；
(2)从这 16 人中随机选用 3 人，求起码有 2 人是“好视力”的概率；
(3)以这 16 人的样本数据来预计整个学校的整体数据，若从该校(人数好多 )任选3人，记 X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的散布列及数学希望．
解： (1)由题意知众数为 4.6 和，中位数为 4.75.
(2)设 A i(i＝0,1,2,3)表示所选 3 人中有 i 个人是“好视力”，起码有 2 人是“好视力”记为事件 A，
C24C112C3419
则 P(A)＝P(A2)＋P(A3)＝C316＋C316＝140.
(3)X 的可能取值为 0,1,2,3.
1因为该校人数好多，故X 近似听从二项散布B(3，4)．
3327113227
P(X＝0)＝( ) ＝，P(X＝1)＝C3× ×() ＝，
4644464
21239131 P(X＝2)＝C3×()×＝，P(X＝3)＝() ＝，
4464464 X的散布列为
X0123
P 272791 64646464
1 3
故 X 的数学希望 E(X)＝3×4＝4.。