高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数

3.1.2复数的几何意义
一、教学目标：
1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.
2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用.
3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系.
二、教学重点：
重点：理解并掌握复数的几何意义.
难点：复平面内的点
(,),,z a b OZ z a bi =+u u u r 的关系；复数模的问题. 三、教学难点：复数模的问题。

四、教学过程
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1. 复平面?
2.复数的几何意义？
3.复数的模？
4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?
【合作探究】
问题1：复数与复平面内点的关系
1.复数2z i =+对应的点在复平面的（ B ）
A. 第一象限内
B. 实轴上
C. 虚轴上
D. 第四象限内
2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 .
4.已知复数()
()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围. 解：23x <<
问题2：复数与复平面内向量的关系 1.向量1OZ u u u u v 对应的复数是54i -，向量2OZ u u u u v 对应的复数是54i -+，则1OZ u u u u v +2OZ u u u u v 对应的复数是 0 .
2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA u u u v 与OB uuu v ，则向量AB u u u v 表示的复数是68i --.
3.在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为B ，求向
量OB uuu v 对应的复数.
解：向量OB uuu v
对应的复数为：2i -+
问题3：复数模的计算与几何意义的应用
1.复数()()12,z x y i x y R =++-∈，且3z =，则点Z ()x,y 的轨迹是 以()1,2-为圆心，3为半径的圆 .
2.已知()0,z x yi x y R =+∈，且02z =， ()()32z x i y =++-，求复数z 对应的点的轨迹.
解：设z a bi
=+(),a b R ∈，则 3,2,a x b y =+⎧⎨=-⎩即3,2,x a y b =-⎧⎨=+⎩又Q ()0,z x yi x y R =+∈且02z =,()()2232 4.a b ∴-++=
∴复数z 对应的点的轨迹是以()3,2-为圆心，2为半径的圆.
2. 设z C ∈，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)4z = ;(2)24z <<
解：(1)以原点O 为圆心，4为半径的圆.
(2)以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
【深化提高】
1.若OA u u u v ,OB uuu v 对应的复数分别是7i +，32i -，则AB =u u u v 5 .
2. 虚数cos z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点()()0,1,0,1P Q -，但除去原点 .
3. 复数sin z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点 ()()0,1,0,1P Q - .
4.设复数z 满足||5z =且(34)i z +在复平面上对应的点在第二,四象限的角平分线
上,||)m m R -=∈,求z 和m 的值.
解：22z =+或22
z i =--， 2m =±
【学习评价】
【小结与反思】。