《量子力学》课程6

i ( p p )r ห้องสมุดไป่ตู้


2 p ( r ) p ( r ) d c e
* 2
d dxdydz
c





i

e
[( p x p x ) ( p y p y ) y ( p z p ) z ] x z
3 2
p (r )
1
e
i p r
量子力学
函数为

(x) px
1 ( 2 )
1/ 2
i
e
pxx
3、箱归一化
如果我们仍然要求按通常的归一化方式 对动量本征函数归一化，就必须放弃无穷空 间的积分，采用箱归一化方法。以一维为例 [ L , L ] 中运 讨论。设粒子只能在有限空间 2 2 动。由
(x) pn
1 L
i 2 n x
e
L
则满足归一化条件



* pn

pn
dx 1
讨论： h L , p n p n 1 p n L 0 1）当 h 则本征谱由分立谱变成了连续谱 L dp 2）三维情况：粒子被限制的边长为 L 的一个 正方形箱中，取箱的中心为坐标原点，波函 数满足的周期性边界条件为：在两个相对的
L

i L

dx

L 2
i
*

dx
2
L 2
) (
L 2
)
所以对于任意的 ,
(L) 2
*
都有
const 1
( L ) 2
*

( L ) 2 (L) 2
量子力学
( L ) ( L ) 2 2
上式称为周期性边界条件。 设动量的本征函数为
i ( pxx py y pzz)
p ( r ) ce 可解得 C 为归一化常数。本征值 构成连续谱。
ce
i p r
p
可以连续取值，
量子力学
由于积分
所以 p ( r )


2 2 | p (r ) | d c d

不能归一化。但由于
此方程为球函数方程，其满足在 [ 0 , ] 内有限的解为： l 0 ,1, 2 , 3 l ( l 1)
Y lm ( , ) N lm Pl
m
m
(cos ) e
im
m 0 , 1, 2 l
Pl (cos ) 为缔合勒让德多项式， Y lm ( , )
ˆ p x i x
的厄密性可得

L 2 L 2

( i
*

x
) dx

L 2 L 2

( i
x
) dx
*
量子力学


L 2 2
L 2 L 2

i
x
*
*
dx

*
2 x x L 2 * i L ( ) dx 0 2 x L * L * 2 L 0 ( 2 ) ( 2 ) ( L
dx 2 ( p x p ) x
量子力学
所以，若取 c ( 2 ) 归一化为 函数，即
3 2
，则 p ( r ) 可


p ( r ) p ( r ) d ( p p )
*
( 2 ) 事实上，对任何连续谱的本征函数都不 能归一化为1，可归一化为 函数，上式称 为连续谱本征函数的可归一化条件。对一维 ˆ ˆ 情况，p p x 本征值为 p x ，归一化的本征
）
ˆ 2 Y ( , ) l ( l 1) 2 Y ( , ) L lm lm
ˆ 讨论：1） L2 的本征值是量子化的， l 称为 轨道角动量量子数， 称为磁量子数。 m
量子力学
ˆ 2） L2 本征值的简并度：对于一个确定的本征 值 l ， m 可取 ( 2 l 1) 个值，即对应于
px
nz
量子力学


L 2
L 2
L 2
L 2 L 2

L 2

p p dxdydz 1
*
当 L 时，分立谱变成连续谱的对应关系为
h L
3 3
d p dp x dp y dp z
3）在处理具体问题时，如要避免计算过程中出 现的平面波的“归一化”困难，则可以用箱 归一化波函数代替不能归一化的波函数，在 L 计算最后的结果中才让 。
ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 L Lx Ly Lz
ˆ2 ˆ ˆ L LL
在球坐标中： x r sin cos , y r sin sin , z r cos
ˆ L x i sin ctg cos ˆ L y i cos ctg sin
量子力学
ˆ L z i

2
1 1 ˆ2 2 L sin sin sin 2 2
2、角动量平方算符的本征值和本征函数
ˆ 2 的本征值为 2 ，本征函数为 设L
Y ( , ) ，则本征方程为： ˆ 2 Y ( , ) 2 Y ( , ) L
根据公式
c ( 2 ) ( p x p ) ( p y p y ) ( p z p z ) x 2 3 c ( 2 ) ( p p )
2 3


e * p ( r ) p ( r ) d

i
( px p ) x x
i
p ( x ) ce
ipL ipL

px
ipL
ce 2 ce 2 ce 1 pL 2 n ( n 0 , 1, 2 , ) p p n 2 Ln 因此本征值分立取值，构成分立谱。取对应
量子力学
的本征函数为

L 2 L 2
有 ( 2 l 1) 个不 同的（线性无关的）本征函数 Y l l ( , ), ，
2
ˆ L 的一个本征值 l ( l 1)
2
Y l 0 ( , ), Y ll ( , ) ，故 L 2 ˆ
的本征值是简
并的，简并度为 ( 2 l 1) 。
3、角动量算符的 z 分量的本征值和本征 函数
z
2、本征值和本征函数
本征方程：
p
（矢量）为动量算符的本征值， p ( r )
i p ( r ) p p ( r )
量子力学
为对应这个本征值的本征函数，分量形式为
i i i p (r ) x p (r ) y p (r ) z p x p ( r ) p y p ( r ) p z p ( r )
ˆ 2 Y ( , ) l ( l 1) 2 Y ( , ) L lm lm ˆ L z Y lm ( , ) m Y lm ( , )
l 0 ,1, 2 , 3
m 0 , 1, 2 l
量子力学
量子力学
箱壁上对应点具有相同的值，即：
p ( x , y , L / 2 ) p ( x , y , L / 2 ) p ( x , L / 2, z ) p ( x , L / 2, z )
p ( L / 2, y , z ) p ( L / 2, y , z )
为球谐函数， N lm 为归一化常数。由归一
量子力学
化条件

0

2
Y
* lm
0
( , ) Y lm ( , ) sin d d 1
( l m )! ( 2 l 1) 4 ( l m )!
0,1, 2, 3
N lm
ˆ 所以 L2 的本征值为 l ( l 1) 2 （ l 对应的本征函数为 Y lm ( , )
p (r ) i exp ( p x x p y y p z z 3 2 L 1 i 3 2 exp p r L 2 2 2 1
nx , p y ny, pz L
L L n x , n y , n z 0 , 1, 2 ,
ˆ Y ( , ) i N P | m | (cos ) e im L z lm lm l |m | im i N lm Pl (cos )( im ) e m Y lm ( , )
量子力学
所以角动量算符的 z 分量的本征值与相应的 本征函数分别为 m 和 Y lm ( , ) ，即 ˆ ˆ 为 L 2 与 L z 的共同本征态。 Y lm ( , )
量子力学
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课程六
主讲教师:冉扬强
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第三章 量子力学中的力学量
§3.2 动量算符和角动量算符
量子力学
§3.2 动量算符和角动量算符 一、动量算符 ˆ 1、定义 （矢量算符） p i
ˆ p x i x
ˆ p y i
y
ˆ p z i
二、角动量算符
1、定义：
ˆ ˆ p r ( i )（矢量算符） ˆ 角动量算符 L r
量子力学
角动量平方算符 （标量算符） 在直角坐标中它们的表达式为：
ˆ ˆ ˆ L x yp z zp y
ˆ ˆ ˆ L z xp y yp x
ˆ ˆ ˆ L y zp x xp z
2 1 1 2 2 Y ( , ) Y ( , ) sin 2 2 sin sin
量子力学
2 1 1 Y ( , ) 0 sin 2 2 sin sin