积分表147个公式的推导(修正版)

积分表147个公式的推导(修正版)
积分表147个公式的推导(修正版)
目 录
（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有
b
ax +的积分（10~18） (5)
（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)
（四）含有)0( 2
>+a b ax 的积分（22~28） (11)
（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有
)0( 22>+a a x 的积分（31~44）
.........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)
（十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82）
...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)
b
x a x --±
附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)
积分表147个公式的推导(修正版)
- 1 -
（一）含有b ax +的积分（1~9）
C
b ax ln a
b ax dx b ax t C
t ln a
dt
t
a b ax dx dt
a
dx ,adx dt t t b ax a
b
x x b ax )x (f C b ax ln a
b ax dx .++⋅=++=+⋅==+∴=∴=≠=+-≠+=++⋅=+⎰⎰⎰⎰
1
1
1
1 1
)0( }
|{ 1 1
1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：
C b ax μa dx b ax b ax t C t μa dt
t a dx b ax dt
a
dx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμμμμμμ++⋅+=++=+⋅+==+∴=∴==+-≠++⋅+=
++++⎰⎰⎰⎰1
11)()
1( 1)(
)
1( 1
1
)( 1
, 1)
( )()
1( 1
)( 2代入上式得：将则令证明：
()()()()()C b ax ln b b ax a
dx b ax x b ax t C
t ln b t a
C
t ln a b
a t dt
t b
a
dt a dt
t b 1a dt a ·t b t a dx b ax x dt
a
dx ,b t a x ,t t b ax a
b
x |x b ax x )x (f C b ax ln b b ax a
dx b ax x .22222222++⋅-+=++=+⋅-=+⋅-=-=⎪⎭⎫
⎝
⎛-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
1
11 11
1
1
1 )0( }
{ 1
3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：
- 2 -
C
b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln a
b b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln a
b x a b b ax d b ax a
b dx a b ax d b ax b
b ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dx
b
ax b a dx b ax abx a dx b ax a dx
b ax b abx b ax a
dx b ax x C
b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ )( 2)(211 )(11 22 )
(1
22 )(221 )(21
)(1 121)(1 )
2)(1 )( 2)(211 .422323
32
32222
32
3323321
2322
22222222232由以上各式整理得：证明：
C
x
b ax ln b C b ax x
ln b C
b ax ln b x ln b )
b ax (d b ax b dx x b dx
b
ax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b a
b
Ab B Aa b
x a x b ax b ax B
x b ax x a
b
x |x b ax x )x (f C
x
b
ax ln b b ax x dx .++⋅-=++⋅=++⋅-⋅=++-=+-=+⋅-=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅-≠+⋅=++⋅-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1 1 1
1 1
111 1
11]1[)( B 1A 10 A B)(A B )A(1 , A )(1 }
{ )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：
积分表147个公式的推导(修正版)
- 3 -
ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a b
x x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ⋅+-=++⋅+-⋅-=++++-=+++-=+⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴=++++++++=+++=+⋅-≠+⋅=++⋅+-=+⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
1 1 )(1111 1111)( 1B A 100 1B )( C)(A )B()( A 1 , A )(1 }|{ )
(1)( 1)( .62222222
22222
2
222
22222于是有即则设的定义域为被积函数证明：
C
b ax b b ax ln a C
b ax a b
b ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a b
B a
B Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax B
b ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f b ax b b ax ln a dx b ax x .+⎪⎭⎫
⎝
⎛+++=
++++⋅=++-++=+-+=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==⇒⎩⎨⎧=+=∴=++⋅++=+++=+-≠+= ⎝⎛+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1 )( 1 )( )(1
)(11
)(1
11)( 1A 01 )(A
B )A( ,)( )( }{ )( 1)( 72222
2222
2
22
22于是有即则设的定义域为被积函数证明：
- 4 -
()C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b t ln b t a C t ln a b t a t a b dt t
a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x t a bt t b t a t b b ax x dt a dx ,b t a x ,t t b ax a b x |x b ax x )x (f C
b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x .+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-+⋅-+=++=+-⋅-=+⋅-⋅+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⋅-+=+⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
23222333323
32322322222222222222
2
232221)( )2(1 21 1
2112)( 2)()( 11 )0( }{)( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数
证明：C
|x
b
ax |ln ·b b ax b C
b ax ·b b||ax ln b
|x|ln b dx b ax b a dx b ax b
a dx x
b b ax x dx b a D b a B b A 1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa Dx
b ax Bx b ax A 1 b ax D
b ax B x A b ax x a b
x |x )x (f b ax b b ax x dx .2
222
2222222++-+=++++⋅-⋅=+-+-=+⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=+∴+++++=+++++=++++=++
++=+-≠=
-+=+⎰⎰⎰⎰⎰2222
2222221)(11
111)(1
111)( 1 )()( )()( )()(1 }{ )(1)
( 9于是有则设：证明：被积函数
- 5 -
（二）含有
b
ax +的积分（10~18）
C
b ax a C b ax a b ax d b ax a dx b ax C b ax a dx b ax ++⋅=++⋅+⋅=++=+++⋅=++⎰
⎰⎰
312
1
213)(32
)(2
1111)()(1
)(32 .10证明：C b ax b
C b ax b b ax dx b ax x b ax t C b t a t C t a b t a dt a b dt a dt
bt t a dt a t t a b t dx b ax x t a
b
t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++⋅-++⋅-+=++=+-=+⋅-⋅=-=-=⋅⋅-=+∴⋅-=+=-=≥=+++⋅-⋅=+⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
33
22233252325224222232)()2 )(]5)(3[2 )53(152 ******** )(2
2 , 2 , , )0(
)()23(152 .11代入上式得：将则令证明：[]
C b ax b abx x a a
b ax b b abx b x a b ax a dx b ax x b ax t C bt b t a
t C t a b t a b t a C t a b t a b t a dt t a b dt t a b dt t a dt
bt t b t t a dx b ax x a bt t b t t a b t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C x a a dx b ax x ++⋅+-⋅=
+⋅-++++⋅=++=+-+⋅=+⋅-⋅+⋅=+⋅+⋅-⋅+⋅+⋅+⋅=--=-+⋅=+∴-+=⋅-=+=-=≥=++-⋅=+⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+++32223
22223322243
3533327314321321
6343232
63325322
3252
22222232)()81215(1052
)(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2
2)( , 2 , , )0( 1215(1052 .12代入上式得：
将则令证明：
- 6 -
C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t C
t a b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a t
at b t dx b ax x dt a
t dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++⋅-⋅=++⋅-+⋅+⋅=++=+⋅-⋅=+⋅-⋅+⋅=-=⋅-=+∴=-=>=+++⋅-⋅=+⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2
, 2 , , )0( )()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令
证明：[]
C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx b
ax x b ax t C bt b t a
t C
t b t b t a dt t a b dt b a dt t a dt
bt b t a a t a b t dx b
ax x x t t b ax C abx x a a dx b
ax x ++⋅+-⋅=++⋅+⋅-+++⋅+⋅=++=+-+⋅=
+-+=-+=-+=⋅-=+∴=>=+-⋅=+⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
)()843(152 )()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2
)(
, , )0( 43(152 .142
223
2
2223
2
2
243
32532323432243222223
2代入上式得：将则令证明：
- 7 -
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧>+-+⋅->+++-+⋅=++-++=-=-+=-<+++-+⋅=++=++-⋅=
-=->-=⋅⋅-=+∴=-=>=+⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧<+-+⋅->+++-+⋅=+⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)0(
2)
0(
1 2 , 1
2 )
(1
22 0 .2
1
1 )(1
22 0b .1 2
21
, 2 , , )0( )0(
2
)
0(
1 .152
22222222b C b
b
ax arctan b
b C b
b ax b b ax ln b b ax x dx C b
b
ax arctan b ax t b dt b t dt b t b C
b
b ax b b ax ln b b
ax x dx b ax t C b t b t ln b dt b t dt b t dt
b t dt
a t
t a b t b
ax x dx dt a
t
dx a b t x t t b ax b C b
b
ax arctan b
b C b
b ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C a
x a
x ln a a x dx
++-⋅=
-⎰ 21 21 22：公式C a x
arctan a a x dx +⋅=+⎰
1 19 2
2：公式
- 8 -
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰+-+-=+++-+-=+⋅++-+-=+++-+-=+-+-=+++-=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+∴++=+++=+⋅+-+-=+-b ax x dx b a bx b ax dx
b ax x b a bx b ax dx b ax x b a dx b ax a
x b bx b ax dx b ax x b a b ax d x b bx b ax dx b ax x b a x
d b ax b dx b ax x b a dx x b ax b dx b ax x b a b
ax x dx b b a Bb Ba A b ax x x b ax B b ax x b ax x b ax x dx b a bx b ax b
ax x dx 2 1
21 )(2111 111 1
11 11 1
B A 10 )B( A 1 , A 1 2 .162122
2
22于是有则设证明：
2 212 )(2 2122 1
22 1
, 1
22 1
22 2 2 2
2 , , )0( 2 .1722222222222
22⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+++=+⋅-+++=++=⋅-+=-+=+∴-∴-+=-+=-+-=-=⋅-=+∴=-=≥=++++=+b
ax x dx
b b ax dx b
ax a
b b ax b b ax dx x b ax b ax t dx
t a
b t b t dt
b
t b t dx x b ax dt b
t R b dt
b
t b t dt b
t b dt dt b t b b t dt
b
t t dt a t b t at dx x b ax dt a
t
dx a b t x t t b ax b
ax x
dx b b ax dx x
b ax 代入上式得：将不能明确积分
符号可正可负取值为则令证明：
- 9 -
（三）含有22a x ±的积分（19~21）
2 2)(1 1
1 2
.18212
2
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
+++-
=⋅+⋅++-=+++-=+-=+++
+-=+-b
ax x dx
a x
b ax dx a
b ax x x b ax b ax d x
x b ax x
d
b ax dx x b ax b ax x dx
a x b
ax dx x b ax
证明：C a x arctan a a x dx a x arctan t a x
arctan
t tant a x C t a
dt a
a t
sec a a x dx t tan a dx a x t dt sec a tant a d dx πt πtant a x C a x arctan a a x dx 2222+⋅=+==∴⋅=+⋅==⋅=+∴=+⋅=+⋅=⋅=<<-⋅=+⋅=+⎰
⎰
⎰
⎰⎰
1 1
1
1 )1(1 )( , )22( 1 .19222222222代入上式得：将则令证明：
- 10 -
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰----+++++----+⋅--++⋅⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅-=+=+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-++=+∴+-+=+-+-+++=+-+++=+++=⋅+⋅-⋅-+=+-+=++⋅--++⋅⋅-=+122212221221222222222212212222221
22222221
222
22221
222
221
22222222221
222122222)()1(232)()1(2 )()32()()1(21)( , 1 )()12()(21)(1 )(1)()( )21( )(12)(12)( )(2)( )(2)( 2)()()( )(1 )()( )()1(232)()1(2)(
.20n n n n n n n n n 2n n n n n n n n n n n n n n n n n a x dx a n n a x a n x a x dx n a x x a n a x dx n n a x dx
n a x x na dx a x dx a x 2na a x x a x dx n dx a x na dx a x n a x x dx a x a a x n a x x dx a x x n a x x dx x a x n x a x x a x d x a x x a x dx a x dx
a n n a x a n x a x dx 则令移项并整理得：证明：C
a
x a
x ln a C
a x ln a a x ln a dx a
x a dx a x a dx
a
x a x a a x dx C
a x a
x ln a
a x dx ++-⋅=++⋅--⋅=+--=+--=-++-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰
21 21
21 1
21121 ]1
1[21 21 .212222证明：
- 11 -
（四）含有)0( 2
>+a b ax 的积分（22~28）
)
0( 21)0( 1 2 , 1 21 1
)(11)(11 0 .2 1 C 1 )(11 1
)(1111 0b .1 )( )
0( 21)0( 1 .222
222222
2222222⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=++-+⋅--⋅⋅-==+∴⋅
--=⋅--=+<+⋅⋅=+⋅⋅⋅=+=+∴⋅+=⋅+=+>>⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=+⎰
⎰⎰⎰⎰b C b x a b
x a ln ab b C x b a
arctan ab b ax dx C b x a b x a ln ab b ax dx a a b x a a b x b ax b C x b a
arctan ab
x b a
arctan b a a dx a b x a b ax dx a a
b x a a b x b ax 0a b C b x a b
x a ln ab
b C x b a
arctan ab
b ax dx 得：综合讨论，时当，时当证明：C b ax ln a b ax d b ax a dx b ax dx b
ax x a C b ax ln a dx b
ax x 22++⋅=++=+=+>++⋅=+⎰
⎰
⎰⎰
21 )(121 1
21 )0( 21
.232
2
22
22
证明：
- 12 -
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰+-
=+-=+-=⋅+=+>+-=+b ax dx a b a x dx b ax a b dx b a b dx
b ax b a b dx b b ax ax a b dx b
ax x a b ax dx a b a x dx b
ax x 2222
2222
22 11 )1
1( 1
)0( .24证明：
C 21 21
21 )(12112112121])
(1[21)( 11 )()(1 )(1
)(121 )()( )
( C 21)
( .2522
222
222
222
222
222
2
++=++-=++-=+-=+-=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++
=++=+=+>++⋅=
+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
b
ax x ln ·b C
b ax ln ·b x ln ·b b ax d b
ax b dx x b dx
b ax b a dx x b dx
b ax b a bx b ax x dx b a
B b
A Ab 0
B Aa Ab
B Aa x Bx b ax A b
ax B
x A b ax x dx
b ax x dx b ax x x
b ax x dx 0a b
ax x ln
b
b ax x dx 22222222222222
于是有则设：证明：
积分表147个公式的推导(修正版)
- 13 -
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰+--=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+>+--=+b
ax dx
b a bx dx b ax b a dx x b dx b ax b a bx b ax x dx b a B b
A Ab 0
B Aa Ab B Aa x Bx b ax A b
ax B x A b ax x a b ax dx b a bx b ax x dx 222
22
222222
21 111 ])(1[)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：
证明：C bx
x b ax ln b
a C
b ax ln ·b a bx x ln ·b a dx b
ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b a A b B Bb Ba Ab C Aa Bb x Ba Ab x C Aa Cx b ax B b ax Ax b ax C x B x A b ax x dx b ax x b ax x dx 0a C b ax ln b a b ax x dx 2
22222222
22+-
+=+++--=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴++++=++++=+++=++==+>+-+=+⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
2
2
22
22
2222222
422232
22
442444322321
2
221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1 )(21 )( )( 12)( .27于是有则设：证明：
积分表147个公式的推导(修正版) - 14 -
（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）
[⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
>+-++--+⋅-<+-+⋅-=+++-++--+⋅-=+--+=--+=-++=++>+-+⋅-=+-++=-++=++<-++=++∴=++>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⋅-<+-+⋅-=++⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
)
4( 44 41)
4(
42 2 , 1 44 41 )2()4()(124 )4()(1
4 )
()(14 4 .2 42 )2()()(124 )()(14 4 .1 )()(14 (41 )0( )4( 41)4( 42 .29222222222222222222222222222ac b C ac b b 2ax ac
b b 2ax ln a
c b ac b C b 4ac b 2ax arctan b ac c bx ax dx C
ac b b 2ax ac
b b 2ax ln a
c b b ax
d ac b b 2ax a a dx ac b b 2ax a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b C
b
4ac b 2ax arctan b ac b ax d b 4ac b 2ax a a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx a
c bx ax a ac b C ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan b
ac c bx ax dx 222
2222
222222
得：综合讨论，时当，时当证明： C a x arctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式C 21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a
x dx ：公式 21)(2 )
(21
21
)(2)(2121
21)(21 )(21
21121)(21 )
(21
21()(21 21
1102 2 2)(1 2)(21 21
1121 21
1121 121)( )( 21)(2)( 28222
22⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+++=++
+-+=++
++-
=++-+-=+--+-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅+-+⋅-=+++⋅-=+-=+>+++=+b
ax dx b b ax b x dx
b ax b b
b ax abx b b ax dx b ax b b
abx b ax ax dx
b ax b b dx x ab b ax ax dx b ax b abx b ax ax b B b
A Ab Ba Aa Ab
x )Ba Aa (Bax b ax A b ax B ax A b ax ax dx
ax b ax b ax ax ax d b ax b ax ax b ax d ax b ax dx 0a b
ax dx
b b ax b x b ax dx .222222222
222
222222222222222
上式于是有，则设：证明：
- 15 -
（六）含有
)0( 22>+a a x 的积分（31~44）
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰++-++⋅=++-++++=++-++++=++-+⋅=++>++-++⋅=++c
bx ax dx
a b c bx ax ln a dx c
bx ax a b c bx ax d c bx ax a dx c bx ax b a dx c bx ax b ax a dx c bx ax b b ax a dx c bx ax x a c bx ax dx a b c bx ax ln a dx c bx ax x 222
222222222 2 21
12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30证明：C )( , 1 |AB | , |AC | B Rt 1 , 01 , 22 || , ) )22( }{1 )0( C )( 31222
2223222222
2222
2222222222222222122+++=+∴>+++++=+-++=+++=++=+∴=+==∴+====∠++==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++=+=+⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
a x x ln a x dx
0x a x C x a x ln C lna x a x ln C a x a x ln C tant sect ln a
x dx a x tant a a x cost sect a x x ,a |BC |,t ABC ΔC tant sect ln dt sect dt t sec a sect a a x dx sect a a x cost sect πt π sect a a x tdt sec a tant a (d dx ,πt πtant a x R x |x a x )x (f a a x x ln C a x
arsh a x dx .22 则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰
|| 87 ：公式
- 16 -
1)( |AB ||AC |sint |AB | , |AC |, || , B Rt
1
cos 1
11 1)( )( , 01 , 22 ||)( , ) ( ,)22( }|{)
(1)( )0( )( .322222322222
22223223223223
222
22322C a x a x C sint a a x dx a x x a x x a BC t ABC ΔC sint a
tdt a dt sect a dt t sec a t sec a a x dx t sec a a x cost sect πt πt sec a a x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x f a C a x a x a x dx 2
3333332++=+⋅=+∴+==∴+====∠+===⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>++=+⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
则中，设在则可令的定义域为被积函数证明： C a x dx a x x a x t C t dt dt
a
t t t a t dx a x x dt a t t
tdt a t dx a t x t t a x C a x dx a x x ++=++=+==-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=>=+>++=+⎰
⎰
⎰
⎰⎰
-2222222222222221
2222222222 2)(21
, )0( )0 .33代入上式得：将则令证明：C
a
x C a x a x d a x dx a x dx a x x dx a x x a C a
x dx a x x ++-
=++⋅-⨯=++=+=+⋅=+>++-=+----⎰
⎰
⎰⎰⎰
2
2
2312
222232
22232
223223222
23221 )(2
3112
1 )()(2
1 )(21)()( )0( 1)( .34证明：
- 17 -
C )( 22 C )( )( 22
31)
( C )( 1 39)( C )( 22 1 )
0( C )( 22 .35222222222222
22
22222222222222
22
2222222222222
2
2222+++⋅-+⋅=+++⋅-++++⋅=+∴+++=++++⋅++⋅=++-+=+-+=+>+++-+⋅=+⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
a x x ln a a x x a x x ln a a x x ln a a x x dx a x x a x x ln x d a
x a x x ln a a x x dx a x x d a x a dx a x dx
a
x a a x dx a x x a a x x ln a a x x dx a x x 公式公式证明：
C )( )( )
( 1, |AB | , |AC |, || , B Rt
cos 1 1 )( )( , 01 , 22 )
( ) ( ,)22( }|{)()(
)
0( C )( )( .36222
23
22222222222223
222
2222223222322232223222
22223222+++++-
=+∴>+++-+-++=++-++=+-+=+∴+===+=∴+====∠+-+=-=-=-==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++++-=+⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
a x x ln a x x dx a x x 0x a x C lna a x x
x a x ln C a
x x a x a x ln C sint tant sect ln dx a x x a a x cost sect ,a x tant a
x x sint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dt t dt sect dt sect dt sect dt sect t sec dt sect t tan tdt sec a t sec a t tan dx a x x t sec a t tan a x x cost sect πt π|t sec a |t tan a a x x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x x f a a x x ln a
x x dx a x x 1
1
1
1222
3232
33
222 则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式
- 18 -
1 )( 21 )( 21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1
.372
22
222222222222
22
22
222
22222222
1
2222222222C x a a x ln a C x a a x ln a C a a x a a x ln a a x x dx a x t C a t a t ln a C a t a t ln a dt a
t dt a t t a t t a x x dx dt a t t tdt a t dx a t x t t a x a C x a
a x ln a a x x dx +-+⋅=+-+⋅=+-+-+⋅=+⋅+=+--⋅=++-⋅=-=-⋅-⋅=+⋅∴-=⋅-=∴-=>=+>+-+⋅=+⋅⎰
⎰
⎰
⎰⎰
-代入上式得：将则令证明：C 21 2122++-⋅=-⎰a x a
x ln a a x dx ：公式b nlog b log a n
a = 提示： 1 11
)1(2
111
21
)1(1121 1221 11111 1 , )0( 1 11 )0( .3822
2222222211222222
22222
2222
2
222222222
2222C x a a x a
x x dx x t C t a a
C t a a
t a d t a a dt
t a t a a dt t a t dt a t x d a x t x t x t x d
a x a x x dx a C x a a x a x x dx ++-=+⋅=++⋅-=++-⋅-=++-=+-=+-=+-=+-∴=≠=+-=+⋅>++-=+⋅⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
-代入上式得：将则令证明：
- 19 -
C a x x ln 2a a x 2x dx a x a x x ln a a x x dx a x C a x x ln a dx a x a dx a x x dx a x a x x dx a
x x dx a x dx a x x a x x a x d x a x x dx a x a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .222222222222222222222222
2222
22222
2222222222222
2222+++⋅++=+++⋅++=+++++⋅=+=+-++=+++∴+-+=+-+=+>+++⋅++=+⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
)( )( 2 )( 1 )0( )( 391即②得，由①②
又①：证法
C a x x ln 2
a a x 2x dx a x lna
2a a x x ln 2a a x 2x |a a x x |ln 2a a x 2x |tant sect |ln a tant sect a a
x
tant ,a x a cost sect x a |AB |x,tant a |AC |a |BC |,t B ABC Δ ,tant a x C |tant sect |ln a 2
tant sect a 2dtant sect a C |tant sect |ln sectdt sectdt a tant sect a 2dtant sect a sectdt dtant sect dt cost dt t cos cost dt t
cos t cos dt t
cos t
sin tantdt sect tant tantdsect tantdsect a tant sect a dtant sect a tant a sectd a dx a x sect a a x t
cos t sec ,2πt 2π,
sect a t tan a a x 2πt 2πtant a x 0a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .2222
22222
22222
2222222222222212222
32322
2222222222222
222+++⋅++⋅=+⋅-++⋅++⋅=++⋅++⋅=++∴=+==∴+=====∠∴⋅=+++⋅=++=+=-=-⋅=-==⋅⋅=-⋅===+∴=+∴>=<<-=+=+<<-⋅=>+++⋅++⋅=+⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
)( )( 21·21 1·
Rt 1
1
87 )·(1 1
111 )·(· · , 01 ·1 )( 2 )
()( 39综合①②③④⑤得则，中，可设在⑤联立③④有④）（公式又③联立①②有②又①，则令：证法 t
sec t tan 221 =+提示：)0( )(131>+++=+⎰a C a x x ln dx a
x 2222：公式
- 20 -
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
+++⋅⋅+++⋅=
+∴+++⋅+
+⋅⋅+
++=
+++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅=∴+===∴+====∠++⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅=+⋅⋅==+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=-⋅=+=+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=-⋅==⋅=+∴⋅=+∴>=<<-=+<<-=∈+=>+++⋅⋅+++⋅=+C a x x ln a a x a x x dx a x C
x a x ln 8
3a a x 8
x a 3a x a x x C a x a x ln a 83a x a a x 8a 3a x a a x a x a tant d t sec a a a x t sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC tant sect ln a 8
3
tant sect a 83tant t sec a tant d t sec a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect tant d t sec a dt t sec tant d sect dt sect dt t sec tant sect sectdt t sec tant sect sectdt t tan tant sect sect d tant tant sect tant d sect tant d sect a tant t sec a tant d t sec a tant d sect a tant d t sec a tant t sec a tant d sect t sec a tant t sec a tant d sect t tan a tant t sec a dt t sec t tan a tant t sec a dt tant sect t sec tant a tant t sec a t sec d tant a tant t sec a tant d t sec a tant a d t sec a dx a x t sec a a x cost
sect πt πt sec a a x π
t πtant a x R x x a x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x 4
333333223333232332323333333333)( 8
3
)52(8 )( )(4
4 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 41
2
1
21 2
1 21 )1( ) 3 (4
1
3 3 )1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01
, 22
||)( ,)2
2( }|{)()( )
0( )( 83)52(8 )( .4022422223222222222221
2
24
224223
22442
2221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立①④得④联立②③得：③又②①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式
- 21 -
C
a x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a x x ++=
++⋅+⨯=++=+=+⋅>++=+⋅+⎰
⎰
⎰⎰
32221
12
2222
1
22221
22223222
2)(3
1
)(2
1112
1 )()(2
1 )(21 )0( )(3
1 .41证明：
- 22 -
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
+++⋅-++⋅=+⋅∴++⋅=++⋅∴>+++++⋅-++⋅=++⋅+++⋅-+⋅=++⋅⋅+++⋅-+⋅⋅=⋅∴+=
==∴+====∠+⋅++-⋅=⋅++-⋅⋅=-⋅⋅=--⋅=--⋅=⋅+-⋅=-⋅=-⋅=⋅⋅+=⋅⋅+=⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+=-⋅⋅+=+=+⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=+⋅∴⋅=+⋅∴>=<<-=+⋅<<-=∈+⋅=>+++⋅-++⋅=+⋅C
a x x ln a a x a x x dx a x x a x x ln a x a x ln a x a x C
x a x ln a a x a x x C a x x x a x ln a a x x a C a a x a x a a x a x ln a a a x a x a t dsec t sec tant a a
a x t
sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC sect t tan a tant sect ln a tant sect a t dsec t sec tant a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect sect d tant sect d tant dt sect tant sect dt sect t tan dt sect tant sect sectdt t tan tant sect tdt sec tant sect tant d sect tant sect sect d tant t sec t tan a t dsec tant a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t sec tant a dsect tant t sec a t sec t tan a t dsec tant a dt t tan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dtan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t tan a t dsec tant a t dsec t tan tant a t dsec t sec tant a t d t sec t tan a tant d sect t tan a tant a d sect t tan a dx a x x sect t tan a a x x cost sect πt π sect a t tan a a x x πt πtant a x R x x a x x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x x 2
32
223
33232333322
322222)( 8
)2(8 )
( 8
8 0 8
)2(8 4 88 4 88 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 4
88 21 21 21 21 )1( 4
4
) (4
1 3 3 )1( ) ( )( )( , 01 , 2
2 ||)( ,)22( }|{)( )0(
)( 8)2(8 .422242
2222222242
24222242
2222
2232
242241
2
23342242244
2
22
21444414
4444244434444444444443222322222222222
242222222，则中，设在联立①②得：②移项并整理得：①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式
积分表147个公式的推导(修正版)
- 23 -
)( )( 2 )( 2 21 1 2)(21 , )0( }0|{)( )
0( .432222222
222222222222222222
2222222222
222222222
1
222222222
22
22
2C x a a x ln a a x C
x
a a x ln a a x C a a x a a x ln a a x dx x a x a x t C a t a t ln a t C a t a t ln a a t dt a t a dt dt a t a a t dt a t t dt a t t a t t dx x a x dt a t t tdt a t dx a t x a t t t a x x x x a x x f a C x a a x ln
a a x dx x
a x +-+⋅++=+-+⋅++=+-+-+⋅++=++=+--⋅+=++-⋅⋅+=-+=-+-=-=-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=≠≥=+≠+=>+-+⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C )( 2 , 1 C )( , 0 2. C )( 0
1 |AB | , |AC |, || , B Rt 1 1
1
)1( , 01 , 20
, ) ( ,)20( , 0 1. }0|{)( )0( C )( .44222
22
22222
22
222
2222
2222222
222222222
222222222222222
2
2222
22
22+++++-=++++++-=+<+++++-=+∴>+++-++++-=++-++=+∴+=
==+=∴+====∠+-+=+=+=⋅+=⋅+=+⋅=⋅=+∴=+∴>=<<=+==<<=>≠+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x a x ln x a x dx x a x x a x ln x a x dx x
a x x x a x ln x a x dx x a x x a x C lna x a x ln x
a x C x a x a x a x ln dx x a x a a x cost sect ,a x tant ,a x x sint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dsint t sin dt sect dt t
sin cost dt sect dt t sin t
cos cost dt sect dt t
tan sect dt sect dt t tan t
tan sect tdt sec a t tan a sect dx x a x t
tan a sect
x a x cost sect πt t tan a sect a x a x tdt sec a tant a d dx πt tant a x x x x x
a x x f a a x x ln x a x dx x
a x 11
122222222
22222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式C
21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式
- 24 -
（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）
2 1 || || ||1|| || 1 . 2
1 Rt 2
)2
0( . 1 }{ 1 1 )0( 453 C |a x x |ln C a |
x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C a a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C |a x x |ln |
a a x x |ln |t tan t sec |ln a
x dx a a x |BC ||AC |t tan ,a x t cos t sec a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC |tant sect |ln sectdt dt tant a tant
sect a a x dx tant a a x π
t tant a 1t sec a a x tantdt sect a dx π
t sect a x ,a x a x a x |x a
x f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a
x dx .22122522422242
24
2
242222222222222
222222222222
222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=-+=+=-∴-=
===∴-====∠++==⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅=-=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法 C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式
- 25 -
2 1 | |
| ||1
)( || 1 . 2 ||
. 1 }{ 1 2 )
0( 45 C |a x x |ln C a |x |,C C a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C a x x ln C 1a x a x ln C a x arch C t dt dt sht a sht a a x dx shtdt a dx ,sht a a t ch a a x a x arch t 0)(t cht a x ,a x a x a x |x a
x f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a
x dx .22154
2224
2
24224222
2223222
2122222222
222122+-+=++=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==⋅⋅=-∴⋅=⋅=-=-=>⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法
- 26 -
C a x a x a x dx ,C a
x a x a x dx x μC a μa μa μμd a μμd a x dx μx ,x μa x ,a x C a x a x a x dx x a x t sin a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC
t sin a sint d t sin a dt t sin t cos a dt t sin t cos t cos a dt t tan sect a dt t tan a tant sect a a x dx t tan a a x tant πt t tan a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x f(x)a C a
x a x a x dx .22222
2222
222222222222
222222222222
222+-⋅-=-+-⋅-=--=+-⋅=----=-∴-=-=>--<+-⋅-=-∴-=
∴-====∠+-===⋅==⋅⋅⋅=-∴⋅=-><<⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-⋅-=-⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
2323233
3232222222
232333333333323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 }{ )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(2
1112
1 )()(2
1 )(21 )
0( .4721
12222212
21
C a x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a
x x 222
22
22
22222+-=+--⨯=--=-=->+-=----⎰
⎰
⎰⎰
：证明
- 27 -
1)( 2 1 1
)( 1)( 1 )()(
. 2 11)( Rt 11 11 1
)( )( 20 )( )20( . 1 }{ )(
)
0( 1)( 48333333222232332333333 C a
x dx a x x , C a x dx a x x x μC
a
μμd a μμμd a μμ
dx a x x μx ,x μa x ,a x C
a
x C a x a a dx a x x a x a
t cot a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC t cot a tdt csc a dt t sin a dt t tan t sec a dt tant sect a t tan a sect dx a x x t tan a sect a x x πt t tan a sect a a x x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x x
f(x)a C a
x dx a x x .2
2222
222222222222222222222222222222222+--=-+--=--=+--=--=-∴-=-=>--<+--=+-⋅-=-∴-=
∴-====∠+⋅-=--===⋅⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+--=-⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 C a x x ln a a x x dx a
x x C a x x ln a a x dx
a C a x x ln a a x x dx a x dx
a
x a dx a x dx a
x a
a x dx
a
x a a x dx a x x a C a x x ln a a x x dx a x x .222222222
2222
2222
222222222222222+-+⋅+-=
-+∴+-+
⋅=-+-+⋅--⋅=--+-=-+
-=-+-=->+-+⋅+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
2
2 45)( 53)( 22
1
)( )
0( 22 492
2
222
2
22
2
22
222
2②得：由①公式②公式①证明：。