无线通信工程—无线通信的信道编码总结

奇偶校验码 汉明码 BCH码
信
卷积码
非系统卷积码
道 编
正交码
码
系统卷积码
W-A码
正
m序列
交 编
岩垂码
码
L序列
扩散码
RS码
线性分组码
概述
– 基本概念 – 基本性质 – 伴随式译码 – 纠错能力和码限
举例
– 循环码 – BCH码和RS码
线性分组码----概述
基本概念
– 生成矩阵和校验矩阵
满足 v mG 的G矩阵称为生成矩阵；
位发生一个错误，即 e (0, ,0,eni ,0, ,0) 时，有
ST

T
Hv

HeT

(hnri1
,
hr2 ni
,
, hn0i )T
这就是说，当 v 的第i位发生一个错误时，S T 等于H矩阵的第i列。 反之，如果收到码字的伴随式 S T 等于H矩阵的第i列，我们就说
码字的第i位有错。
循环码的监督多项式或校验多项式。
线性分组码----循环码
循环码的伴随式译码
– 原理
设 s (sr1, sr2, s0 ) 对应的伴随多项式为
s(x) sr1xr1 sr2 xr2 s1x s0
则由 sT HrT HeT 知
k
sr1
h r k i r 1 ni

rnk 1,
i 1
将上式分别代入s(x)，得
k
s0 h0kirni r0 i 1
s(x) (rn1xn1 rn2xn2 r0 )g(x) (r(x))g(x) (e(x))g(x)
线性分组码----循环码
循环码的伴随式译码
– 结论
满足 dmin 2t 1
– 辛格尔顿（Singleton）限：任一个( n , k )线性码的最小距离 dmin
– 满汉足明（dHmaimn minng）k 限1：任何能纠t个错误的( n , k )码满足 t qnk (q 1)i Cni
– 普洛特金（Pilo0 tkin）限：GF(q)上的( n , k )码的最小距离 dmin
0
0

Gm

G0 kLnL
卷积码原理----基本概念
序列长度为L的（n,k,m）卷积码等效为 （(L+m)n,Lk）的线性码，码速率为
R Lk /(L m)n k / wnhen L m
自由距
~
df
min ~
wt(xL )
u LI
where I is the set of message sequences having a
解：
的最小多项式为 x4 x 1 ，它也以 , 2, 4, 8 为根，因此以 , 2, 4, 8 为根的循环码生成多 项式g(x)= x4 x 1。g(x)的周期为15（即g(x)可被
x15 1 整除），最高次数为4，因此可生成
(15,11)循环码。
由g(x)可得到生成矩阵G，进一步即可求得各码字。
vn1)
，它对应的码多项式
，这相当于用x乘以v1(x)，然
后取模 xn-1，即
xv1(x) vn1(xn 1) vn2 xn1 v0 x vn1 v2 (x) mod( xn 1)
线性分组码----循环码
几个基本概念和定理
– 设V是GF(q)上的( n , k )循环码，若令码多项式集合 I (V ) {vn1xn1 v1x v0 | (vn1, , v0 ) V }

g
(0) 0

(1,
1,
1) ,
g
(1) 0

(1,
0,
1)
2

x j u jiGi
i0
with
G0 [1 1] G1 [1 0] G2 [1 1]
卷积码原理----基本概念
进一步的，设输入为长度为L的序列，即 ~ u L (u0 , u1, uL1)
则输出向量
由此可对错误图样分类：把任一错误图样及其所有n-1次的
循环移位归成一类。t从而使得循环码译码t 器识别错误图样
数目由原来的 N1
Cnj 减少至 N2
C j1 n1
j 1
j 1
线性分组码----循环码
以生成多项式的根定义循环码
将校验矩阵H的列向量看作是GF(2p)中的元素，并设
量或全部为偶数，或奇数重量码字的个数与偶数重 量码字的个数相等 – 一个( n , k )线性分组码的最小距离为d的充分必要条 件是它的校验矩阵H的任意d-1列线性无关，而有d 列线性相关
线性分组码----概述
伴随式译码
定义 S vH T (m e)H T eH T为伴随式
则S仅由差错向量决定，而与发送码字无关。由此，当码字的第i
卷积码原理----基本概念
（n,k,m）卷积码
– 约束长度：K=m+1（或K=n(m+1)） m
– 生成矩阵：Gi 满足 x j u jiGi
写成矩阵形式如下： i0
Gi


g (0) 0,i
g (0) 1,i

g (0) k 1,i
g (1) 0,i

g (1) 1,i
– 定义2：设 k GF (2m )，k是任意整数， 是GF(qm )的
本原元，若V是码元取自GF(2)上码长为n的循环码，它的生成
多项式g(x)含有以下2t个根： , 2 , , 2t 则由g(x)生成的循环码称为二元BCH码，若 , 2 , , 2t
中有一个是本原元，则生成的码称为本原BCH码。


g (1) k 1,i
g (n1) 0,i
g (n1) 1,i


g
( n 1) k 1,i

i 0, 1, m
卷积码原理----基本概念
例 R=1/2，m=2 code

x
(0) j

uj
u j1
u j2
,
x
(1) j
uj
u j2
满足 mH T 0的H矩阵称为校验矩阵。
易知
GH T 0
对于系统码，可将G写成 H写成
G [Ik , P] H [PT , Ir ]
线性分组码----概述
基本性质
– 线性分组码对于码向量的加法运算是一个交换群 – ( n , k )码的最小重量等于码的最小距离 – 任何一个GF(2)上的( n , k )线性分组码，其码字的重
则I(V)是同余类环Fq[x]/(xn 1) 的一个理想。 – I(V)的生成多项式g(x)称为循环码V的生成多项式。 – 若V是GF(q)上的( n , k )循环码，则g(x)是xn-1的因式，
且 (g(x)) r n k – h(x) (xn 1) / g(x) 称为以g(x)为生成多项式的( n , k )
H n1, n2, , ,1
则由 HvT 0
即 vn1 n1 vn2 n2 v1 v0 0
知，v是码字的充要条件为 是码 多项式v(x)的根，亦 即生成多项式g(x)的根。
下面将以一个例子说明。
线性分组码----循环码
例 设 是扩域GF(24)的元素，它是本原多项式 x4 x 1 的根，求GF(24)上以 , 2, 4, 8 为根的循环码。
nonzero input vector in the first position and with m trailing 0 input vectors
卷积码原理----基本概念
状态转移图和trellis图表示
1；10
11
1；01
0；10
10
1；00
1；11
00
0；01
01
0；11
0/00 00 10 1/11 01 11
0/00 1/11
0/10 1/01
0/00 1/11
0/00 1/11
0/11 1/00 0/11 1/00
0/10
0/10
1/00 1/00
0/01 1/10
0/01 1/10
0；00
卷积码原理----序列译码
原理：在码树图中每向前走一步，在决 定走哪一个分支时根据该分支子码与该 时刻接收子码之间的相似程度来判断。 亦称为逐分支译码。 一般采用对数似然值度量该相似程度 log P(R|C)=logiP(ri|ci)=ilog(p(ri|ci)) 堆栈译码和费诺译码
无线通信工程 —无线通信的信道编码总结
信道编码概论 线性分组码 卷积码 Turbo码
信道编码概论
信道编码的目的
信道编码是为了保证信息传输的可靠性、提高传输质量而设计的 一种编码。它是在信息码中增加一定数量的多余码元，使码字具 有一定的抗干扰能力。
信道编码的实质
信道编码的实质就是在信息码中增加一定数量的多余码元（称为 监督码元），使它们满足一定的约束关系，这样由信息码元和监 督码元共同组成一个由信道传输的码字。 举例而言，欲传输k位信息，经过编码得到长为n(n>k)的码字， 则增加了 n - k = r 位多余码元，我们定义 R = k / n 为编码效率。
– 循环码的多项式表示
一般地，在( n , k
码多项式为 v1(x)
)循vn环1码xn中1 ，v任n2一xn个2 码 字v1v0
(vn1, v0 )的
，v1 循环移
位一次得到 v2 (x) vn2 x
vn21
(vn2, , v0,
v0 x vn1
但是，若 S T与H的哪列都不相同，这时我们只判断接收码字有
错，但不指出哪些位有错，即只检错而不纠错。
线性分组码----概述
纠错能力和码限
–
若线性分组码的最小距离为
为
t


d m in 2
1
d
m
in，则该码可以纠正的差错数t
反之，为了能纠正最多t个差错，则必须使该码的最小距离 d m in
线性分组码----BCH码
基本概念
– 定义1：给定任一个有限域GF(q)及其扩域GF(qm)，若码元符
号取自GF(q)上的一个循环码，它的生成多项式g(x)含有以下
d-1个根： m0 , m0 1, , m0 d 2 m0 i GF (qm )
则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。
线性分组码----RS码
基本概念
– 设q为一素数的幂，且 q 2 ，码元符号和码的生 成多项式g(x)的根同取自GF(q)的BCH码称为ReedSolomon码，简称为RS码。
– RS码是一个极大最小距离码。
卷积码原理
基本概念 序列译码 维特比译码
卷积码原理----基本概念
原理图
uj0 uj1 uj,k-1
设 则 其中
x0 u0G0 ,
x1 u1G0 u0G1,
~
xL (x0 , x1, xL1)
~
~
xL u L GL
G0 G1 G2 Gm

0
G0
G1
Gm1
0
GL


0
0 G0 0 0
G0

0 0 0

0 Gm Gm1 G0 0
信道编码概论
信道编码的分类
– 根据码的规律性可分为：正交编码和检、纠错码 – 根据监督元与信息组之间关系可分为：分组码和卷
积码 – 根据监督元与信息元之间关系可分为：线性码和非
线性码 – 根据码的功能可分为：检错码和纠错码
信道编码概论
恒比码
非线性码
分组码
检 纠 错 码
线性码
群计数码 非循环码
循环码
满足
dm in

n(q 1)qk1 qk 1
线性分组码----举例
循环码
– 数学描述 – 几个基本概念和定理 – 伴随式译码 – 以生成多项式的根定义循环码
BCH码
– 基本概念
RS码
– 基本概念
线性分组码----循环码
循环码的数学描述
– 设V是一个( n , k )线性分组码，如果V中任意一个码 字每次循环移位后得到的n维向量仍是V中的一个码 字，那么就称V为循环码。
...
m stage delay
... ... ...
xj0
uj-m,0
xj1
...
... ...
uj-m,1
映射
uj-m,k-1
xj,n-1Leabharlann 卷积码原理----基本概念
几个例子
uj
uj0 uj1
xj0
+
+
xj1
(1)
+
xj0
+
xj1
+
xj2
(3)
uj uj
xj0
+
xj1
(2)
xj0
xj1
(4)
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求接收多项式的伴随式，只需求接收多项式除以生成多项 式的余式即可。 设伴随多项式 s(x) sr1xr1 s1x s对0 应的错误图样为
e(x) en1xn1 e1x e0 。在无输入情况下，伴随 式计算电路循环移位i-1次后得到伴随多项式 s(i1) (x)必对 应错误图样e(x)的i-1次循环移位。