2020-2021学年高三数学1月月考试题文

2020-2021学年高三数学1月月考试题文
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1．已知集合，则集合（）A．B．C．
D．
2．已知是虚数单位，且，则的共轭复数在复平面内对
应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．
如图反映了我国全面放开二孩政策对我国
人口年龄中位数的影响．据此，对我国人
口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（）
A．②③B．①③C．②D．①②
4．已知为单位向量，其夹角为60，则=( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3，4，5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知,,,则（）
A． B． C． D．
7.已知，且，则
A．B．C．D．
8．的内角的对边分别为，若，则内角（）
A．B．C．D．
9．从区间随机抽取个数，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于4的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）
A．B．C．D．
10．已知等差数列的前项和为，且，则
( )
A．B．C．D．
11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（）A．B．C．D．
12．已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上
任意一点，则的最小值是（）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.
13．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点F，且与C 相交于不同的两点A，B（A在第一象限），则________. 14．已知直线与圆相交于两点，若，则_____．
15.已知函数，，正项等比数列满足，则
等于______．
16．函数的值域为_________．
三、解答题
17．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：
学习积极
性不高
61925
合计242650
（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？
（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？
（III）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．
附：
18．如图，四棱锥中，平面，，
，，为线段上一点，，为
的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
19．各项均为正数的数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知公比为的等比数列满足，且存在
满足，，求数列的通项公式.
20．已知椭圆的两个焦点分别为
,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线
的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.
21.已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范
围；.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，，设直线与交于两点，直线与交于两点.（1）求曲线的普通方程及参数方程；
（2）当时，求面积的取值范围.
23．已知函数．
画出的图像；（2）求不等式的解集．2020-2021学年高三数学1月月考试题文
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位
置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1．已知集合，则集合（）A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，且，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．
如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影
响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以
来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄
型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确
的是（）
A．②③B．①③C．②D．①②
4．已知为单位向量，其夹角为60，则=( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3，4，5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知,,,则（）
A． B． C． D．
7.已知，且，则
A．B．C．D．
8．的内角的对边分别为，若，则内角（）
A．B．C．D．
9．从区间随机抽取个数，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于4的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）
A．B．C．D．
10．已知等差数列的前项和为，且，则( )
A．B．C．D．
11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的
距离为，动点满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．
12．已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.
13．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点F，且与C相交于不同的两点A，B（A 在第一象限），则________.
14．已知直线与圆相交于两点，若，则_____．
15.已知函数，，正项等比数列满足，则
等于______．
16．函数的值域为_________．
三、解答题
17．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：
积极参加班级工作不积极参加班级工作合计
学习积极性高18725
学习积极性不高61925
合计242650
（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？
（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？
（III）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．
附：
18．如图，四棱锥中，平面，，，
，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
19．各项均为正数的数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，，求数列的通项公式.
20．已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问
是否为定值?并证明你的结论.
21.已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，，设直线与交于两点，直线
与交于两点.
（1）求曲线的普通方程及参数方程；
（2）当时，求面积的取值范围.
23．已知函数．
画出的图像；（2）求不等式的解集．。