对口单招数学知识梳理篇(一轮)答案(上)

数学复习——知识梳理篇参考答案
第一章 集合
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.确定的对象所组成的整体 元素 a A ∈ a A ∉；
2.确定性 互异性 无序性；
3.有限集 无限集 空集；
4.空集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集；
5.描述法，列举法，图形法；
6.（1）子集 A B ⊆； （2）存在,x B x A ∈∉ A ÜB ；
（3）=（或等于）； （4）子集 真子集；
7.{}A B x x A x B ⋂=∈∈且，{}A B x x A x B ⋃=∈∈或，
{}U C A x x U x A =∈∉且；
8．①A ，∅；②A ，A ；
③∅，U ；④)(B A C U ⋃，)(B A C U ⋂ 9.（1）2n 2-1n 2-2n （2）A B
10.充分 必要 充要 （二）基础过关 1.D
2.A B ={}25x x ≤≤，
{}-310A B x x ⋃=<<，
{}-35U C A x x x =≤>或；
3.0或4
1
-1；4.7；
5.{})1,3(；
6.必要不充分； 【课堂典例探究】 [变式训练一]
{}34A B x x ⋂=<≤，
{}-2A B x x ⋃=≥，
{}-24u C A x x x =<>或； [变式训练二]
A B A ⋂=，A B B ⋃=； [变式训练三] {}0,2,3； [变式训练四]
1a ≥-;2a ≥ [变式训练五] A
（二）经典考题 1.B 2.C 3.C （三）演练反馈 1.A ÜB 2.1a ≥- 3.8或2 4.-1 5.A
课后拓展训练
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.B
5.D
6.D
7.B
8.D
9.A 10.B 11.C 12.C 二、解答题
13．（1）{}210x x <<,{}23x x <<; （2）3a >；
14．（1）9
8
a >； （2）20,;3a A ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭94,;83a A ⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
（3）0a =或98
a ≥
； 15.32,,2
a b =-=-3111,,,2222A B ⎧⎫⎧⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭
⎩⎭
，
311,,222A B ⎧⎫
=--⎨⎬⎩⎭
；
16.1a ≤-或1a =
第二章 不等式 第一节 不等式性质和区间
【课前自主梳理】 （一）知识回顾 1.0a b ->
0a b -= 0a b -<；
3．①a b b a >⇒<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+；
④a b >，0c >时，ac bc >；0c <时，ac bc <； ⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,00a b c d ac bd >>>>⇒>>；
⑦00n n
a b a b >>⇒>>；⑧00
a b >>； 4.
2
a
b
+算术平均数 几何平均数 均值 一正数二定值三相等 a b +≥
2
(
)2
a b ab +≤ 5.(),a b
[],a b (],a b [),a b (),b -∞ (],b -∞ (),a +∞ [),a +∞
（二）基础过关
1.B
2.A
3.（1）[)2,-+∞ （2）13,32⎛⎫- ⎪⎝⎭
4. ＞ ≥
5.（1）3 （2）D 【课堂典例探究】 [变式训练一]
1
2
x >
[变式训练二]
ππ,26⎛⎫- ⎪⎝⎭
[变式训练三]
01m <≤ [变式训练四]
（1）3；（2）()2,4；（3）15
（二）经典考题 1.D 2.6 （三）演练反馈
1.B
2.B
3.,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
4.(]0,10
5.1
课后拓展训练
一、选择题
1.D
2.D
3.B
4.B
5.D
6.C
7.A
8.D
9.D 10.B 二、填空题
11.()1,7- 12.⎪⎭
⎫
⎝⎛π4,0
三、解答题
13.(1)(3)(2)2(4)x x x +->- (2) 略
14.x =
时最小值为1+15.（1）1
8 （2
）3+
16.x =200时最低10万元
第二节 一元二次不等式
【课前自主梳理】 （一）知识回顾 3.
}2<（2）{}23m m ≤<
195⎫<⎬⎭
2180)2500x -+ 1365,N x x ≤≤∈ 340天盈利.
（三）演练反馈 1.[)2,3 2.24 3.1
2
a >
4.a ≤-2
5.60/km h > 课后拓展训练 一、选择题
1．A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 二、填空题
7. 122x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭ 8.{}
2x a x a << 9. 4p ≥ 三、解答题
10.（1）{}42x x x <->或 （2）{}51x x -≤≤
（3）{}1 （4）R 11.2a > 12.30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
13. 2m <- 14.{}24x x -<<
15.（1）3,6a b ==-（2）{}12x x <<
第三节 绝对值不等式
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
2.a
a a
⎧=⎨-⎩ (0)(0)a a ≥< 数轴上表示实数a 的点到原点的距离
3.（1）a x a -<< x a x a <->或
（2）法一：c ax b c -<+< ax b c ax b c +<-+>或
法二：0ax b ax b c +≥⎧⎨+<⎩或0
-()ax b ax b c +<⎧⎨+<⎩
0ax b ax b c +≥⎧⎨
+>⎩或0
-()ax b ax b c +<⎧⎨+>⎩ （二）基础过关
1.①{}31x x x <->-或②{}62x x -<<
③113x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 2.5 3.A 4.24
,33a b ==-
【课堂典例探究】 [变式训练一] （1）()()2,05,7-（2）{}21x x x ≤-≥或
[变式训练二]
10a =，25b =- [变式训练三]
（1）{}21x x x <->或 （2）{}55x x -<<
（3）{}
12≥-≤x x x 或 （二）经典考题 1.{}12x x << 2.3 （三）演练反馈
1.A
2.[)(]3,21,2--⋃
3.（1）{}69x x -≤≤
（2）(][)2,11,2--⋃ （3） {}12x x x ≤-≥或 4.A
课后拓展训练 一、选择题 1.A 2.A 二、填空题
3.-2
4.0a ≤
5.10 三、解答题
6.（1）113x x x ⎧⎫
≤≥⎨⎬⎩⎭
或（2）{}
20><x x x 或
（3）()0,3-（4）⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-25,23
7．（1）(][)13,82,7⋃--（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛2,34（3）{}
2<x x
*8.（1）{}22≥-≤x x x 或 （2）{}
55≤≤-x x
第四节 线性规划初步
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.线性规划问题 决策变量 目标函数 约束条件
2.目标函数 1122max(min)n n z c x c x c x =++
+
约束条件 11112211
21122222112212(,)(,)(,),,,0
n n n n m m mn n m
n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
x x x +++≤=≥⎧⎪
+++≤=≥⎪⎪
⎨⎪+++≤=≥⎪⎪≥⎩
3.图解法 表格法 Excel 法
4.可行解 可行域 最优解 6. 1122max n n z c x c x c x =++
+
11112211
21122222112212
,,,0n n n n m m mn n m
n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
x x x +++=⎧⎪
+++=⎪⎪
⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩
其中0i b ≥ （1,2,,i m =）
7．
/z z =- /1122max ()n n z c x c x c x =-++
+ 同乘
以“-1” 加上一个变量 减去一个变量 约束方程 人工变量 为0
8．“工具” “规划求解” 输出区域
（二）基础过关 1. 3
52
a -<<
2.B
3. 12max 2z x x =+
1231241234
243412,,,0x x x x x x x x x x ++=⎧⎪
+-=⎨⎪≥⎩ 4.图略 5.A
【课堂典例探究】 [变式训练一]图略
直线过点（0,1）时，3z x y =+的最小值为1. [变式训练二]
由y x z +=得z x y +-=,作出⎩⎨⎧≤-≥+00
2y x y x 的区域BCD,平
移直线z x y +-=,由图象可知当直线经过C 时,直线的截距
最大,此时6=z ,由⎩⎨⎧+-==6x y x y 解得⎩⎨
⎧==3
3
y x ,所以3=k ,
解得)3,6(-B 代入y x z +=的最小值为336-=+-=z ,选A.
[变式训练三]
设：需租赁甲设备x 天，乙设备y 天，每天总租赁费z 元. 由题意：y x z 300200+=
⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,014020105065y x y x y x 即⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≥+≥+0,01425065y x y x y x 如图，画出可行域，并求出交点)5,4(A
作直线x y l 3
2
:0-
=，并将0l 平移。

当0l 经过点)5,4(A 时，目标函数y x z 300200+=有最小值2300元。

答：租赁甲设备4天，乙设备5天，每天总租赁费最少2300元.
[变式训练四]
0,1x y ==时，3z x y =+的最小值为1.
（二）经典考题
1. 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨，
由题意得⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0018
3213
3y x y x y x ，获利润ω＝5x ＋3y ，
画出可行域如下图，
由⎩⎨⎧
3x ＋y ＝13
2x ＋3y ＝18
，解得A(3,4)． ∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27. ∴甲3吨，乙4吨，利润最大27万元； 2.()3,8 （三）演练反馈 1.10
3
m <
2. 9
3.11
4.设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，
目标函数y x s 22m ax += ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,0921432y x y x y x
作出可行域如上图，
由⎩⎨⎧=+=+9
21432y x y x 解得交点为)25,413(A 平移直线y ＝－32x ＋
S 2，当它经过点)2
5
,413(A 时，直线y ＝－32x ＋S
2
在y 轴上截
距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×5
2
＝14.75. 因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为14.75百万元． 课后拓展训练 一、选择题
1.C
2.B
3.D
4.B
5.D 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨，
由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y≤132x ＋3y≤18
x≥0y≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，
画出可行域如下图，
由⎩⎨⎧
3x ＋y ＝13
2x ＋3y ＝18，解得A(3,4)． ∵－3<－53<－2
3，
∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27. 6.C 二、解答题 7.8 8.（1）
4
121
（2）3,3-==y x 时6min -=z 9.设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：
min 36z x y =+
0.50.7 1.90.52,0x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
当直线经过(1,2)点时
36z x y =+取得最小值，
min 36316215z x y =+=⨯+⨯=.
10.设公司在A 和B 做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟,总
收益为z 元,
由题意得⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,90000
200500,300y x y x y x 目标函数z =3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,90025,
300y x y x y x
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴
影部分
.
作直线l :3000x +2000y =0,即3x +2y =0,
平移直线l ,从图中可知,当直线l 过M 点时,目标函数取得最
大值.
联立⎩⎨⎧=+=+90025300y x y x ,解得⎩⎨⎧==.200,100y x
∴点M 的坐标为(100,200),
∴z max =3000×100+2000×200=700000,
即该公司在A 电视台做100分钟广告,在B 电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
第三章 函数
第一节 函数及其表示
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.非空 任意一个数 对应法则 唯一 y =f (x ) 自变量 因变量
2.定义域 对应法则 值域 定义域 对应法则 同一函数
3.列表法 解析法 图象法
4.解析式
5.定义域 值域
6. f (a ) （二）基础过关 1. 6； 2.略 ； 3. 2； 4. 2 【课堂典例探究】 [变式训练一]
解：由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1
2
x x >⎧⎨
≠⎩，所以定义域为
()(1,2)
2,+∞.
[变式训练二]
解：函数1
1y ⎧=⎨-⎩
(0)
(0)
x x ><的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.对应法则是在(0,)+∞上，x →1y =；在(,0)-∞，x
→1y =- [变式训练三]
解 ：由210x +=解得1
2
x =-
所以21()21021x f x x x +⎧⎪⎪⎪
=+=⎨⎪
⎪
⎪--⎩ 121212x x x >-
=-<-，
因为11(,)2
-∈-∞-，所以(1)1f -= [变式训练四]
解 ： y x =的定义域为R
2
x y x
=
的定义域为(,0)(0,)-∞+∞
2
y =的定义域为[0,)+∞
lg10x y ==x 的定义域为R ，且对应法则相同
1
1
y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,故选C （二）经典考题
1. 2
3
2. C
（三）演练反馈 1.略； 2.
83
3.314
4
y x =-- 4.[]5,30-
课后拓展训练 一、选择题 1.C
二、填空题 2.
13，3，17
三、解答题
3.(,3][2,)-∞+∞ ；
4.7
4
-
； 5.100米,甲,8米/秒
第二节 函数的解析式
【课前自主梳理】
（一）知识回顾 解析式
（二）基础过关
1. 5；
2.4x + ；
3.223x x ++；
4. 1 【课堂典例探究】 [变式训练一]
解：由题意可知(1)3
(2)23
f a b f a b -=-+=-⎧⎨-=-+=⎩ 323a b a b -+=-⎧⎨-+=⎩，
解得:69
a b =-⎧⎨=-⎩()69f x x ∴=--
(0)9f ∴=-
[变式训练二]
解：将多项式配方224()()24
b
b c
f x x +=--+
有二次函数的顶点式可知222
47
4
b b
c ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得43b c =⎧⎨=⎩
2()43f x x x ∴=-++
[变式训练三]
解：令1,x t +=则1x t =- 代入已知解析式得
2()(1)6(1)5f t t t =---+
2()812f t t t =-+ 2()812f x x x ∴=-+
[变式训练四]
解：令20x t =>将2x 用t 代入已知解析式，则2()1f t t =-
(0,)t ∈+∞
2()1f x x ∴=- (0,)x ∈+∞
（二）经典考题 1.解：由题意得：c =0， 1,2b
a
-
=ax 2+(b -1)x =0有相等实根，所以2(1)0b ∆=-=，从而11,,2
b a ==-
所以21
().2
f x x x =-+
2. 由题意可知212424423b a ac b a a b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩则123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
（三）演练反馈 1.A ； 2.B ；
3.43y x =- ；
4. ()2f x x =+ 课后拓展训练 一、选择题 1.B
二、填空题
2.3
3. 1517
三、解答题 4.1()2f x x x
=+
第三节 函数的定义域和值域
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.自变量x 因变量y
2.自然定义域 限定定义域
3.自然
4.限定
5.①不为零 ②非负数
③大于零，且不为1 大于零 大于零，且不为1 ④不为零 （二）基础过关
1. B ；
2.D ；
3. [1,3]；
4. [1,2)
(2,)-+∞ 5.1
[,)
4
-+∞
【课堂典例探究】 [变式训练一]
解：由题意得⎩⎨⎧≠->-08,14x x ，解得⎩⎨⎧≠>85
x x ，
所以定义域为()),8(8,5+∞⋃. [变式训练二]
解:由题意,f (x +1)的定义域为[0,1],则
01x <<,就有112x <+<
令1t x =+则12t <<, f (t )的定义域为[1,2] ∴f (x )的定义域为[1,2]
[变式训练三]
解 ：令t =-x 2+5x -4则1y t
=(t ≠0)
22599
54()244t x x x =-+-=--+≤
9004t t ∴<≤<或4
09
y y ∴≥<或
∴函数2
154y x x =
-+-的值域为4
(,0)[,)9
-∞+∞
[变式训练四] 解: 21x y x +=
+1
11
x =+
+ 1
1001
x x +≠≠+由可知
1
111
y x ∴=+
≠+ ∴函数2
1
x y x +=
+的值域为(,1)(1,)-∞+∞ （二）经典考题 1.A
2. 解：由题意得：2
2820,x
x
+-≥2
2322,x x +≤2230,x x +-≤
31,x -≤≤ 所以函数的定义域为[-3，1].
（三）演练反馈 1.[1,3]-
2.55
(,3)
(1,)(,)44
-∞-+∞
3.1(,](0,)9
-∞-+∞ 4.(,1)(3,)-∞-+∞
课后拓展训练
一、选择题 1.D 2.A 二、填空题 3.[2,3)(3,4) 三、解答题 4.
1[0,)2
；
5.(判别法)(,1[122,)-∞---++∞;
6.4
[,2]3
-
第四节 函数的单调性
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.f (x 1)＜f (x 2)
2. f (x 1)＞f (x 2)
3.单调
4.增 减 （二）基础过关
1. （1）在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调减, （2）在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增, （3）在R 上单调减
（4）在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减； 2.减
3.B ；
4. C;
5. {1}x x >
【课堂典例探究】
[变式训练一] 解:当12x ≥-
时21y x =+；当1
2
x <-时21y x =--； 故2121x y x +⎧⎪=⎨⎪--⎩
1()
21()2
x x ≥-<-，作出图形如下： y
x
由图可以看出，在1(,]2-∞-上是减函数，在1
[,)2
-+∞上
是增函数. [变式训练二]
解:令210u x =+≠,则12
x ≠-
∴u (x )在1
1(,)(22
-∞--+∞和，）
上为单调增函数 1
-0(0,)y u
=∞+∞在（，）和上为单调减函数 ∴函数121y x =
+的单调减区间为11(,)-22
-∞-+∞和（，） [变式训练三]
解：∵函数f (x )是定义在[-1,1]上的减函数 ∴f (x )在定义域[-1,1]随自变量的增加而减小
∴
2
2
111
11111
x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪->-⎩ ∴ 01x <<,∴x 的取值范围为(0,1)
[变式训练四]
解: 令220u x x =->则12
()log f u u
=,20x x ><或
()u x 在(,0)-∞上为单调减函数,()u x 在(2,)+∞上为单
调增函数
又
12
()log f u u =在(0,)+∞上为单调减函数,
∴函数212
()log (2)f x x x =-在(,0)-∞上为单调增函数；在
(2,)+∞上为单调减函数
2224(1)33a a a ++=++≥,224(2,)a a ++∈+∞，
3(2,)∈+∞ (3)f ∴2(24)f a a ≥++
（二）经典考题 1.D
2. 解：（1）由题意得
221
1,2
a a --≤ 解得13,a -≤≤ 所以a 的的取值范围是[-1，3]
（2）22(1)1(21)2f a a a a a =-----=-+
2(0)2(2)24,f a a =--=--
所以2(1)2(0)34f f a a -=-++=-(4)(1),a a -+
因为13,a -≤≤所以40,10,a a -<+≥ 从而(4)(1)0,
a a --+≥
于是(1)2(0)0,f f -≥即(1)2(0).f f ≥ （三）演练反馈
1.C ；
2.A ；
3.[1,)+∞ ；
4.(,0)-∞ 课后拓展训练 一、选择题 1. A 二、填空题 2. 1(,)2
-+∞ 三、解答题
3.略 ；
4.5{}2x x >；
5.[5,1]--
第五节 函数的奇偶性
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1. f (-x )= -f (x ) 原点
2. f (-x )= f (x ) y 轴
3.必要
4.0 （二）基础过关 1. B 2.A 3. D 4. D
【课堂典例探究】 [变式训练一]
解: (1) ∵定义域(,0)
(0,)D =-∞+∞关于原点对称
2
211
()()()f x f x x x
-=
==- ∴函数是偶函数. (2) ∵定义域(,2)(2,)D =-∞--+∞不关于原点对称
∴函数是非奇非偶函数. [变式训练二]
解: 设0x <，则0x -> ∵0
x ->,
∴22()()2()2f x x x x x -=---=+ ∵()f x 的为偶函数 ∴2()()2f x f x x x
-==+
∴0x <时， ()f x 的解析式为2()2f x x x =+，(0)x < [变式训练三]
解：令 53()g x ax bx cx =++，则
()()5f x g x =+，
()g x 的定义域为R 关于原点对称，
53()()g x ax bx cx g x -=---=-
()g x ∴为奇函数
由题意可知：
(5)(5)5352g f =-=-=-,(5)(5)2g g -=-= (5)(5)5257f g ∴-=-+=+=(5)7f ∴-=
[变式训练四] 解:
()f x 为偶函数且(2)0f =(2)0f ∴-=则可借助图
形分析
由图形可知，选D （二）经典考题 1.0 ；2.D （三）演练反馈
1.A ；
2.D ；
3.B ；
4.2
1()2x
f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
课后拓展训练
一、选择题 1.C 2.D
二、填空题 3.0, b =0
三、解答题 4.43
(,]32； 5.2
()1x
f x x =
+
第六节 函数的应用
【课前自主梳理】 （一）知识回顾 2. 2y ax bx c =++(a ≠0)
2
24()(0)24b ac b y a x a a a -=++
≠ y =a (x -x 1)( x -x 2) 3.数学模型
（二）基础过关
1. C
2.C ；
3. 3,-3；
4. 2 m/s 【课堂典例探究】 [变式训练一]
解：设()f x ()g x x b =+,在同一坐标系中作出两个函数的图像,如图
由图可知,AB 纵截距为1，CD
当1b ≤直线与半圆有两个交点，
x b +有两解∴b
的范围为⎡⎣ [变式训练二]
解：由题意,22()23f x x ax a x =++=即
22(23)0x a x a +-+=有两相等实根,则
22(23)40a a ∆=--=,得3
4
a =
, 方程可写为2390216x x -
+=,得34
x = ∴当34a =
时,有实根34
x = [变式训练三]
（1）依据题意，当0≤x ≤150时，y =0.6x 当150＜x ≤260时，y =0.6×150+0.7(x -150)=0.7x -15 当x ＞260时，y =0.6×150+0.7×110+0.9(x -260)=0.9x -67
综上可得y 与x 之间的函数关系式为
0.6 01500.715 1502600.967 260x x y x x x x ≤≤⎧⎪
=-≤⎨⎪-⎩
＜＞
（2）因为230∈(150,260],所以当月用电量为230度时，应缴电费y =0.7×230-15=146 即刘伟家该月应缴电费146元 （3）当x =150时，y =0.6×150=90 当x =260时，y =0.7×260-15=167
张明家4月份缴费75＜90,由75=0.6x ，得x =125
张明家5月份缴费90＜139＜167,由139=0.7x -15，得x =220 张明家6月份缴费186＞167,由139=0.9x -67，得x =280 故张明家第二季度共用电125+220+280=625度 [变式训练四]
(1)依题意设 y=kx+b ，则有3602030
21025960k b k k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩所
以 y =-30x +960(16≤x ≤32)．
(2)每月获得利润P =(-30x +960)(x -16) =30(-x +32)(x -16) =30(-x 2+48x -512) =-30(x 2-48x +512)= -30(x -24)2+1920． 所以当 x =24 时，P 有最大值，最大值为 1920． 答：当价格为 24 元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为 1920 元．
（二）经典考题 1.A ；
2.解：（1）由题意得 c =0,1,2b
a
-
=ax 2+(b -1)x =0有相等实根， 所以2(1)0b ∆=-=,得11,,2
b a ==-所以2
1().2
f x x x =-
+ （2）因为221
11()(1),222
f x x x x =-+=--+ 所以f （x ）在区间[-1，2]上的最大值为1
(1)2
f =
，最小值为3(1)2
f -=-
. （三）演练反馈 1.C ； 2.20
3.8(,)3-∞- ；
4. 2
L
，212L
课后拓展训练
一、选择题 1.A
二、填空题 2.12
-
三、解答题
3.[2,2]- ；
4.；
5. 解：设投入甲商品经营的资金为x 万元，则投入乙商品的资金为6-x 万元，设能获得的利润为y 万元，则
15y x =
令t t ≤则26x t =-
22131333
(6)()(0555220y t t t t ∴=-+=--+≤
当32t =即154
x =时，y 取最大值为1.65万元
答：甲、乙两种商品的资金投入应分别为 3.75万元，2.25万元时最大利润是1.65万元.
第四章 指数函数与对数函数
第一节 实数指数幂
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.n
无；
2.a ，a ；a ，a -
，m
n
a
3.a αβ+，a αβ-，a αβ，a b αα，a b α
α
. （二）基础过关 1.1，1，
1
3
，6； 2.10，
1
4
，7，1，72； 3.4
3a ，3；
4.（1）ab 4；（2）32-y x 【课堂典例探究】
[变式训练一] 过程：原式=()
334
4
4
4
332
2
2
11414
125593+
+=+
+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝
⎭
33
14153=+
+⎛⎫ ⎪⎝⎭
16512527
=+
8152
125=
（2）原式=()21
33
3
3
3
4
0.381
-
-
-
⎡⎤
⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
(
)1233
3
3
3
4
11
181
0.3=
++
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
()()
2
344
11
1
0.3
3=
++
31111003332710
=
++=.
[变式训练二]
解：原式
=1
1
32
⎫⋅ ()()()()1
1
1
1
13235222511352a a b b a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
112352
3
5
22
3152a a b a b ⎛⎫⎛⎫
⋅ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
1
2135352
22311522a b a b ⋅+⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
1141413353512
3111153454a b a b a a a b b ⋅⋅
=⋅=⋅==[变式训练三] 解：
2233
112112
x y x y x y x x y y ------------++++
()()()()2
2
3
3
111111
2
1
1
2
x y x y x y x x y y
------------=
+
+++
()()1
11111
x y x y x y ------+⋅-=
+()()1
121122112
x y x x y y x x y y -----------⋅+++
++
()()1111x y x y ----=-+-1122t
x y ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
（二）演练反馈
1.B
2. D
3.A
4.416b 5
.50+ 6.（1）14；（2）194
课后拓展训练
一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.A 二、填空题
5.1
6.114
4
a b -
-， 12
32b c
a
； 7.33
22a b -- 8.18
三、解答题 9.5000，
169
6
10.21x x ++；11.4,a 1
3
62a b -；12.–6.
第二节 幂函数
【课前自主梳理】
（一）知识回顾 1.x α（α∈R ，且α≠0） x 常数 2.
O
3.（
4.0
5.
1.D ５.{
[解：(2) {x
(3)
(4)
即1 (5) (-(6) 在( (6)
[解：所以(2)
(f
当x (f
（3
2
2x
-
所以原方程有四个实数根
（二）演练反馈
1.B，
2.C，
3.C，
4.-1，
6.＞，＞
9.α；10.[)()0,,0,+∞+∞； 11.1,0,1,2-；
12.⎛ ⎝⎭
第三节 指数函数
【课前自主梳理】
（一）知识回顾 1.x y a =(a ＞0，且a ≠1) x ； 2.
3.4.5.6.[13()m =-或舍
，所以3x y a =， 328x x y == 2051250x
⋅-=
，55525()x x
==-或舍，
，32x
=
33
1
22652212--+==-. 本题
.结合指数函. 2＞1，它是定义域上的单调增加，则2227x mx m x x +++>+ 0>，()()2
147m m ∆=--+
70m ++>恒
成立，所以：()()2
1470m m --+<，即：26270m m --<， 解得m 的取值范围为：39m -<<. [变式训练五]
分析：指数函数与二次函数的复合函数，解此题时要结合看二次函数的定义域、值域，以及指数函数的单调性. 解：(1)令223t x x =-++，
因为22,23t y t x x ==-++的定义域均为R ，所以所求的定义域为R ，又()
2
223144
t x x x =-++=--+≤，所以422t ≤，
又因为：20t >，所以所求函数的值域为：(]0,16； (2)令()2
225140t x x x =++=++>恒 成立，所以定义域为R ， 因为2254x x ++≥
2
又因为23t
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是其定义域上的单调减小
函数，且203t
⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以409y <≤即所求值域为： 40,9⎛⎤
⎥⎝⎦
[变式训练六]
分析：(1)与二次函数有关的函数的单调性，要先分析好
2
2
23
x x ++的单调区间；(2)不光要考虑到223x x --的单调区间，还要考虑到函数的定义域问题.
解：(1)令()2
22312t x x x =++=++， t 显然不为0.
当(],1x ∈-∞-时，t 为单调减小函数，2
t 为单调增加函数， 当[)1,x ∈-+∞时，t 为单调增加函数，2
t
为单调减小函数.
又因为2t y =是其定义域上的单调增加函数， 所以所求函数的单调增加区间为： (],1-∞- 单调减小区间为： [)1,-+∞
(2)令223t x x =--,当1x ≤-或3x ≥时，0t ≥， 即该函数的定义域为：(]
[),13,-∞-+∞，
又因为()2
22314t x x x =--=--， 当1x ≤时，t 为单调减小函数，
当1x ≥时，t 为单调增加函数，
又因为23t
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭是其定义域上的单调减小函数，
所以所求函数的单调增加区间为：(],1-∞-； 单调减小区间为：[)3,+∞.
（二）经典考题
1.1b ≤
2.[]3,1-
3. 6
4.D
5.(-1，3) （三）演练反馈
1.A ，
2.D ，
3.(]0,1，
4.B ，
5.
2
1
5±， 6.(1)2
1
-
=a ;(2){}0|≠x x 7.2log 7x =；
8.(1)1，(2)7，(3)18，
(4) 9.3
,574
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
课后拓展训练 一、选择题
1. D
2.C
3.B
4.A 二、填空题
5.9
8
-
6. [)1,+∞
7.(],2-∞-
8.()1,5- 三、解答题
9.x =11-或；
10.1x =-时，min 3
4
y =
，2x =时，max 13y =； 11.413x x ==-或；11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；应为41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
12.R ，奇，在(),-∞+∞上单调增加.
第四节 对数的概念及计算
【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1. log a b N =
2.10 lg N e ln N
3.（1）没有 （0，+∞）（2）0 0 （3）1 1
4.对数
5.b
6.（1）同一底数的这两个数的对数的和 log log a a M N +
（2）同一底数的被除数的对数减去除数的对数 log log a a M N -
（3）幂指数乘以这个数的对数 log a b N
7.（1）
lg lg b a ，ln ln b
a
，22log log b a （其他常数也可以）
（2）1
1
log b a （3）1log a b m （4）log a n b m
（二）基础过关
1.（1）2（2）-2（3）-2（4）2（5）1
2
（6）0 （7）1（8）3（9）-3（10）12（11）1（12）1
2
2.27,243
3.12,
5
2 4. 12a
【课堂典例探究】 [变式训练一]
解：(1)由32log a = ，则13
2log 3a =，
221log 33log 313
a a ==，，所以2log 33a =； (2) 由210a
=，可得2log 10a =， 由510b =，可得5log 10b =，
所以251111
log 10log 10a b +=+lg2lg5lg101=+==.
[变式训练二]
解：原式lg2lg(510)lg2lg(210)lg8=⨯+⨯-
()()lg2lg5lg10lg2lg2lg10lg8=+++- ()()lg2lg51lg2lg21lg8=+++- ()lg2lg51lg21lg8=+++- ()lg2111lg8=++-
3lg2lg80=-=.
[变式训练三]
解法一：由37b
=，则3log 7b =， 所以2232log 7log 7
log 7log 3b a
===，所以2log 7ab =， 所以22212222log 56log 7log 8log 56log 12log 3log 4+=
=+3
2
ab a +=
+. 解法二：由37b =，则3log 7b =，
由2log 3a =，则31
log 2a
=
， 所以33312333log 56log 7log 8
log 56log 12log 3log 4
+==+
33333
log 73log 232log 32log 22
1b ab a a a
+
++==
=+++. [变式训练四]
分析：可用根与系数的关系，将lg lg a b 和 的关系用方程每一项的系数来表示. 解：由题意，7lg lg 2lg lg 2
a b a b ⎧
+=-
⎪⎨
⎪⋅=⎩
所以()()2
2
lg lg lg lg 4lg lg a b a b a b -=+-⋅4917
844
=-=
.
故lg lg a b -=[变式训练五]
（1）;log 22（2）7
.0337.0log 7.03>>
（二）经典考题 1.2 2.A （三）演练反馈 1. 281
916 3.2a - 4.13 ５.125
6.a
a a 33
13.0log log log >> 7.c a b >>
8.（1）x =3log 4或0或1；（2）x =45
4
或5 课后拓展训练 一、选择题
1.B
2.D
3.A
4.B 二、填空题
5.
275
,6,,3163
- 6.
12()a b + 7.1,1 8.322
a b
+ 三、解答题
9.2；-2； 10.
2a
a b
-+； 11.（1）100010x x ==或；（2）x =1或x =7 12. （1）4x = （2）2log 11.
第五节 对数函数
【课前自主梳理】
（一）知识回顾： 1. log a y x =(a ＞0，且a ≠1) x (0,+∞) 2.
3.x 轴
4.（1）f (x )＞0 ()0()0()1f x g x g x ⎧⎪
⎨⎪≠⎩
＞
＞
（2）f (x ) y =log ()a f x y =log ()a f x y =log ()a f x
（二）基础过关
1.C ；
2.D ；
3.C ；
4.12a <<. 【课堂典例探究】 [变式训练一]
(1)
当()2
122log 440440
x x x x ⎧--≠⎪⎨⎪-->⎩时函数表达式有意义，
由()
2
12
log 440x x --≠，则2441x x --≠,51x x ≠≠-且，
由2
440x x -->，解得：22x x <>， 所以函数的定义域为：
{}
2215x x x x x <>≠-≠且
(2)原函数即为y 由23180x x +-≥，可得63x x <->或， 所以函数的定义域为：{}63x x x <->或；
(3)当()12log 2020
x x +≥⎧⎪⎨⎪+>⎩时表达式有意义，
由()12
log 20x +≥，则021x <+≤，可得21x -<≤-，
所以函数的定义域为：(]2,1--.
[变式训练二]
分析：(1)2222log 1log log 2log 2x x x +=+=； (2)221
2222
1
log log log x x x
-=-=. 解：(1)原不等式即：
222log (2)log 2log x x +
<+， 22
log (2)log 2x x +<， 由22200x x x x +<⎧⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得：2x > 所以原不等式的解集为：(
)2,+∞； (2)原不等式即：
1222log (1)log x x --+<， 即：222log (1)log x x +<，
由22
1100
x x x x ⎧+<⎪
+>⎨⎪>⎩， 解得：10x x x x ⎧⎪⎪⎪
>-⎨⎪≠⎪⎪⎩
取交集可得原不等式的解集为：
1x x x ⎧⎪-<⎨⎪⎪⎩⎭
[变式训练三]
分析：函数由log a y u =，234u x x =--复合而成.
解：记2
23253424u x x x ⎛
⎫=--=--
⎪⎝⎭，
则u 的单调增加区间为：3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
， 它的单调减小区间为：
3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
. 由2340x x -
->，可得()f
x 的定义域为：
()()
,14,-∞-+∞，
因为()4,x ∈+∞时，函数单调减小，
所以log a y u =为单调减小， 所以01
a <<. [变式训练四]
解：显然函数(
)f x 的定义域为R 因为
())
2
3
log f x x -=
)
2
3
log x =
x x
=
2
2
x -=
)
)
1
2
2
3
3
log log x
x -==-()f x =-，
所以函数())
2
3
log f x x =是奇函数.
（二）经典考题 1.D 2.1a > 3.A 4.B （三）演练反馈
1.C ，
2.A ，
3.＜，
4.{}1x x ≠-，
5.5,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
， 6.定义域()
(),13,-∞-+∞，单增区间(),1-∞-，
单减区间()3,+∞；
7.()22,45,3⎛⎫
-
-+∞ ⎪⎝⎭
;
8.(1)x
x x f 92310)(+-=，定义域（0,3）
(2)⎥⎥⎦
⎤ ⎝
⎛427
10,0
课后拓展训练 一、选择题
1.B
2.B
3.A
4.B 二、填空题
5.＜,＞ ；
6.[)1,+∞；
7. 3,15⎛⎫
⎪⎝⎭ 8.()2,+∞； 三、解答题
9.[)5,+∞；1,33⎛⎤
- ⎥⎝⎦
10. ()
()5,27,--+∞ 11.[)1,5
第六节 指数函数、对数函数的实际应用
[变式训练]
1. 1(16%)0.94x
x
y =⨯-=，当x =8时8
0.940.6y =≈ 2.至少过滤x 次才能使产品达到市场要求,则根据题意得：
12
2%(1)0.1%()0.0533x x ⨯-≤⇔≤⇔
2
lg()lg0.05()3
x ≤两边同时取以10 为底的对数 210
lg lg(0.015)(lg 2lg3)lg 0.01lg 32x x ⇔≤⨯⇔-≤+
2lg10lg 27.388lg 2lg3
x -+-⇔≥≈-
所以至少要经过8次才能使产品达到市场要求. （三）演练反馈
1.A
2.90万吨
3.300只 课后拓展训练 解答题 1.1.27．
2. 46小时.过程：1小时后，细胞总数为：
113
1001002100222
⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为：
13139
100100210022224
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 3小时后，细胞总数为：
191927
100100210024248
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为：
12712781
1001002100282816
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 可见细胞总数y 与时间x 的关系为：31002x
y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
3.()1x
y a r =+；11176.8. 4.7.18%；26296元.
5.8231.9万；()805010.56%x
y =⋅+
第五章 三角函数
第一节 角的概念的推广和三角函数的定义
【课前自主梳理】
（一）知识回顾 1. 正角；负角；零角 2. {β|β=α+k ·360°，Z k ∈} 3. 长度等于半径长的弧所对的圆心角
4.212r α
y
x
45;34- 6. 二或四 7.413+
] =360°+60°,与60°角终边相同,是第一象限角.
(2) 5π19π2π1212-
=-+
,与角19π
12终边相同,为第四象限角. [变式训练二] 解: 111
(π2)1π1222
S l r =
⋅=-⋅=-,选B [变式训练三]
解
: 5(0)r k k >
3422sin cos 2555
k k k k αα+=⨯
-= (二)经典考题 1.29
15-
2.5
3- (三)演练反馈
1.B
2.-1
3.二
4.-1 ,
5. 2；2
6.锐角三角形 课后拓展训练 一、选择题:
1.D
2.B
3.D
4.D
5.C
6.B 二、填空题
7.240;
8.52
15
;
;
10. 11.5
2-; 12.22-,-1 三、解答题:
13．解:sin5760=sin(3600+2160)=sin2160<0
14π4π4π
cos
cos(2π)cos 0555=+=< 19π5π5πtan()tan(2π)tan 0777
-=-+=->
14．自行车5秒内转过8圈,则转过的弧度数为 |α|=2π816π,⨯=
对应的弧长为||16π0.3517.58l r α=⋅=⨯≈(米) 答:自行车5秒内走过了约17.58米.
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 【课前自主梳理】 （一）知识回顾
1.1 tan α
2.-sin α -cos α - tan α -cos α sin α (二)基础过关 1.C 2.C
3.
9
4
4. 5.1，︒-100cos 6.0 7.2
3
【课堂典例探究】 （一）典例精析 [变式训练一] 解(1)因为4
tan 3
α=
,设sin 4,cos 3,m m αα== 2
2
sin cos 1αα+=,得25m 2
=1, 又因为α在第三象限,所以
m<0,得15m =-43
sin ,cos 55
αα=-=-
[变式训练二]
解:
4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+=10, 4tan 2
53tan αα-+=10
得tan 2α=-
[变式训练三] 5
5
2sin -
=α [变式训练四] 解:
23
sin()cos()tan ()cos ()αππαπααπ+++--=23
2sin cos sin (cos )cos αα
ααα
- =2
sin cos sin cos αααα-
=1
sin α
- [变式训练五] 证明: 左边
=222sin 1tan 1cos ααα+=+=222
cos sin cos ααα+=21
cos α
右边=tan sin cos ααα=sin cos sin cos α
ααα=21
cos α
左边=右边,原式成立. (二)经典考题 1.
1
2
2.A
3.A
4.(1) -2 (2)3 (三)演练反馈
1．C; 2.B; 3.B; 4.cos α; 5.4
3
-; 6.1;
57 7.5
4
;34-
课后拓展训练
一、选择题
1.B
2.C
3.D
4.D
5.C
6.A 二、填空题
7.; 8.1613; 9.-1; 10.75
- 三、解答题 11.解
:
5πππcos cos πcos 666ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
12.解: 按题意,8sin cos 6k αα+=-
, 1
sin cos 8
αα= 2
229sin cos 2sin cos 16
k αααα++=
, 2
191416
k +
= ,
k = . 13.由题意知，2tan -=α，
∴原式=
4
3
tan 25tan sin cos 2cos 5sin -=α+-+α=α+α-α+α
第三节 正弦函数和余弦函数的图象和性质
【课前自主梳理】 （一）知识回顾 1.定义域：R R
值域：[-1,1] [-1,1] 周期性：2π 2π
奇偶性：奇函数 偶函数 2.A -A
2πω 3.(0,0)、π,12⎛⎫
⎪⎝⎭
、(π,0)、3π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、
()2π,0；(0,1)、π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
、(π,-1)、3π,02⎛⎫
⎪⎝⎭、()2π,1；
(二)基础过关
1.D
2.D
3.B
4.B
5. 3ππ,Z 4k k +
∈, 3,π
π,Z 4
k k +∈, -1 6.
7π11π,
66；5ππ7π11π
,,,6666
--- 7.D
【课堂典例探究】
（一）典例精析 [变式训练一] 解:图略.所求减区间为7π
[,2π]6
[变式训练二] 解:π2π
[,
]63
x ∈, 由2cos y x =的图象可知,在ππ
[,]63
-内, max 2y =,
而π2cos()6-, π
2cos
13
=,所以min 1y = [变式训练三]
解: (1) 由sin y θ=的图象可知,在θ锐角时,满足条件的θ只
有一个,
由πsin 3,所求θπ3
= (2) 由sin y θ=的图象可知,在(0π)θ∈，内函数,满足条件
的θ只有二个,
由πsin 3
,πsin(π)3-, ,所求π3
θ=
或2π
3
θ=
(3)由sin y x =的周期性,所求π2π3
k θ=+
或2π
2π,(Z)3
k k θ=+
∈ [变式训练四]
解:
最高点与最低点横坐标之差为13ππ
2π66
-= 得T =4π,所以12ω=,又A =2, 1
2sin()2
y x ϕ=+
π(,2)6-相当于五点法作图中的第二点,则1ππ262ϕ⨯+=,得5π12ϕ=，所以15π2sin()212
y x =+ [变式训练五]
解: 2()sin 22sin f x x x =-=1cos 2sin 222
x
x --⨯
sin 2cos 21x x =+
-π
)14
x +-
(1)T=π
(2)当π3π22π,42x k +=+
即5π
π,(Z)8x k k =+∈时
, min 1,y =
(二)经典考题 1.
π
4
2.C
3.A
4.B
(三)演练反馈 1.图略,T=2π;
2.(1) 6π, (2) π;
3.C;
4. C ;
5.(1)13, -3; (2) 2,
2
1
6.(1)2π, (2) 65,6ππ ; (3) Z k k ∈π
+π=α,6
52 7.[]1,0
课后拓展训练 一、选择题
1.C
2.C
3.C
4.C
5.B
6.B 二、填空题
7.R , [-2,2], π; 8.3, -1; 9. 3[,3]4
10.12a ≤≤ 三、解答题
11．解:3π{|2π,Z}2x x x k k ∈=+
∈; max 3
.2
y =; 12.(1)单调增区间：Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡π+ππ+π-
,12,125 (2)3
2323,63π
≤
π+≤π-∴π≤≤π-
x x 3
32π
-=π+
∴x 当即233min -
=π-=y x 时， 2
32π=π+∴x 当即1125max =π
=y x 时，
13.π3(0)3sin 62f == (2) π
4,3sin(4)6
y x ω==+
(3) 3()22f α=, 3π3sin(4)26x =+, π1sin(2)62α+=,
π(0,),2α∈ ππ7π666α<+<所以π6α=或5π.6
α=
第四节 两角和差与二倍角
（一）知识回顾
1.和角、差角公式 sin(α+β)= sin αcos β+ cos αsin β； sin(α-β)= sin αcos β- cos αsin β； cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β； cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β；
()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ++=-;
()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+.
2.倍角公式
sin2α= 2sin αcos β；
cos2α= cos 2α-sin 2α =1-2 sin 2α =2 cos 2α-1；
22tan tan 21tan α
αα
=
-.
3.降幂公式 sin 2α=
1cos 22α-；cos 2α=cos 21
2
α-. 4.辅助角公式 a sin α+ b cos α
)αϕ+；tan b a
ϕ=
. （二）基础过关 1.sin x sin 2
α
3. 7
9
4. 5. -sin4-cos4 6.1665
- 【课堂典例探究】 [变式训练一] 1.360,26π<π-α<∴π<α<π
,13
5
)6sin(=
π-α∴ 265
31266cos cos -=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α=α∴ 2.∵cos A =513>0，∴A 为锐角 ∴sin A =12
13
又∵sin A >sin B ,∴A >B ∴cos B =4
5
∴B 也为锐角
sin C =sin 1245363
[π()]sin()13513565
A B A B -+=+=⨯+⨯=
[变式训练二]
sin10°sin30°sin50°sin70°=1cos 20cos 40cos802︒︒︒=1
16
[变式训练三]
∵
，sinθcosθ=2
m ∴sin cos 1cot 1tan θθ
θθ+
--=sin cos cos sin 11sin cos θθθθ
θθ
+-- =22sin cos sin cos cos sin θθ
θθθθ
+--
=
22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ-=+-
[变式训练四]
α=
α,53sin 为锐角，5
4cos =α∴ β=β,7
1
tan 为锐角，102sin ,1027cos β=β∴ 又βα, 为锐角，π<β+α<∴0， ()2
2cos =
β+α∴， 4
π=
β+α∴ （二）经典考题
1.D
2.8
17
3- 3.C
（三）演练反馈 1
3.12-
4.3
4
- 5.B 6.C 7.(1)π=T ;(2)2
1
max =
y 课后拓展训练 一、选择题
1.C
2.B
3.D
4.A
5.A
6.C
7.A
8.B
二、填空题
9．
5
4
10.116
11.x 12.12-
13.6365
14.2
三、解答题
15．57cos sin )1(-
=-x x ;(2)59
16.由题意，知4cos 5β=-，∴7
cos 225
β=
又∵450540β︒<<︒，∴3
sin 5
β=
∴2πsin 3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭17.（1
）sin α=π(,0)2
α∈-
∴cos α ∴1
tan 2
α=- ∴1123tan()1111()()
23
αβ--+=
=---- ∵ππ0,022αβ-
<<-<<∴π0αβ-<+<∴π
4
αβ+=- （2）∵π4αβ+=- ∴π
4βα=--
ππ
sin()cos()44αβ-++
=
ππππ
cos cos sin )cos()4444
ααα-+--
)cos ααα+=2cos sin αα-
第五节 正弦、余弦定理
（一）知识回顾 1．三角形ABC 中：
①A +B +C =π，sin(A +B )=sin C ；cos （B +C ）= -cos C ； ②a +b >c ,a -b <c ；
③a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B . 2.正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
== 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+-
2222cos b c a ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
4.定理的变形： ①正弦定理：
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC 或 sinA : sinB : sinC = a : b : c。