抽象代数一习题答案

抽象代数一习题答案
在抽象代数中，习题通常涉及群、环、域等代数结构的定义、性质和
例子。

以下是一些抽象代数习题的答案示例。

习题1：证明如果一个群G是阿贝尔群，那么它的每个子群也是阿贝尔群。

答案：
设H是群G的一个子群。

由于G是阿贝尔群，对于任意的a, b属于G，我们有ab = ba。

现在考虑任意的h1, h2属于H。

由于H是G的子群，h1和h2也属于G。

因此，我们有h1h2 = h2h1（因为h1h2和h2h1都
是G中的元素，并且G是阿贝尔的）。

这表明H中的元素满足交换律，所以H也是阿贝尔群。

习题2：证明如果一个环R有单位元，那么它的每个理想都是主理想。

答案：
设I是环R的一个理想，我们需要证明I是一个主理想，即存在一个
元素r∈R使得I = (r)，其中(r)表示由r生成的理想。

由于R有单位元1，考虑元素1 - r。

由于I是理想，1 - r也属于I。

因此，我们
有1 - r = a(r) + b，其中a, b属于R。

将等式两边乘以r，我们得
到1 = ar + rb。

这意味着r(1 - ar) = rb。

由于1 - ar属于I（因
为I是理想），我们有r属于I。

现在，对于I中的任意元素x，我们
可以写x = (1 - ar)x + arx。

由于ar属于I，(1 - ar)x也属于I。

因此，x = r(1 - ar)x，表明x可以由r生成。

所以I = (r)，证明完成。

习题3：证明如果一个域F的元素a不是单位元，那么a的阶是有限数。

答案：
设a是域F中的一个非单位元。

我们需要证明存在一个正整数n使得
a^n = 1。

考虑集合{1, a, a^2, a^3, ...}。

由于F是域，它没有零
除数，因此a^n ≠ 1对于所有n。

这意味着集合中的元素都是不同的。

然而，域F是有限的，因此不可能有无限多不同的元素。

因此，必须
存在最小的正整数n > 1，使得a^n = a^1。

这意味着a^(n-1) = 1，
所以a的阶是有限的。

习题4：证明如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。

答案：
设G的阶是素数p。

考虑G中的任意非单位元a。

由于G的阶是p，a^p = e（其中e是单位元）。

这意味着a^(p-1) = a^(-1)，即a的逆元素。

现在，考虑由a生成的子群H = {e, a, a^2, ..., a^(p-1)}。

由于H
包含G的所有元素，H = G。

因此，G是循环群，由元素a生成。

请注意，这些答案仅是示例，实际的习题答案可能会有所不同，取决
于具体的题目和所给的定理或定义。

在解决抽象代数的习题时，重要
的是理解基本概念并能够应用它们来证明或反驳给定的陈述。