6.1 图上距离与实际距离(课件)九年级数学下册(苏科版)

+ +
∵ = ，∴a= b，∴
= = =4。


− −
法二：
“设k法”更
简单明了

+ +
∵ = ，∴设a=3k，b=5k，∴ =
= =4。

− −
03
典例精析
例4、已知a:b:c=9:11:14，且a+b+c=68，则3a-2b+c=________。
∴这四条线段是成比例线段。
03
典例精析
例1、(1)在比例尺是1:10000的地图上，图距25mm，则实距是
________m；如果实距为500m，其图距为________cm。
250
5
【分析】
图上距离
∵比例尺=
，
实际距离
注意：
切换单位



图上距离
∴
=
，
=
，
实际距离

B
情境引入
01
Q3：怎样通过具体数值描述出它们的大小关系呢？
C
C1
a
b
D
A
D1
B
A
B
在琮琮A上取两点C、D，连接CD，测量其长度，记为a；
在琮琮B上取相应的两点C1、D1，连接C1D1，测量其长度，记为b。
情境引入
01
C
C1
a
b
D
A
D1
B
两个琮琮图形大小的比，即CD:C1D1，即a:b，
因此，要研究形状相同、大小不同的图形，
中项，则x的取值是___________________。

【分析】比例中项指代不明，需分类讨论：

2
①设3为比例中项，则6x=3 ，解得：x= ；

②设6为比例中项，则3x=62，解得：x=12；
③设x为比例中项，则3×6=x2，解得：x=± ；

综上，x= 或x=12或x=±

。
比例的性质
B．3:4≠5:8（或3×8≠4×5），∴四条线段不成比例；
C．排序：3cm,5cm,9cm,15cm，3:5=9:15（或3×15=5×9），
∴四条线段成比例；
D．排序：1cm,3cm,4cm,8cm，1:3≠4:8（或1×8≠3×4），
∴四条线段不成比例。
03
典例精析
【总结】
已知四条线段的长，判断这四条线段能否成比例的一般步骤：
5:1
5
(3)“比”与“比值”一样吗？
【分析】
(1)∵AB=1dm=10cm，
求线段的比或比值，
需确保单位长度统一
(2)不一样，
∴AB与CD的比为10:2，即5:1，两数相除叫做两个数的比，

AB与CD的比值为 =5；

两数相除所得的商叫做两个数的比值。
02
知识精讲
两条线段的比
注意：
(1)求两条线段的比，要先统一线段的单位，而比是没有单位的；

− −




【分析】设 = =k(k≠1)，则a=kb，c=kd，
+ + + + + +
∴ =
= ， =
= ，
− − − − − −
+ +
∴ =
。
− −
合分比定理
“设k法”是解决比例
题的一种常用方法
02
知识精讲
(2)区分“比”与“比值”，“比值”是“比”的结果。
03
知识精讲
典例精析
例、如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平
分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，
则线段AP与AB的比是_________。
:2
【分析】如图，连接AC，
设AO=x，则BO=x，CO=x，

大小，再分别计算 和


的值，可得： =


根据比例尺可得：


=2=


02
知识精讲
成比例线段&比例
1、在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
符号语言：在四条线段a、b、c、d中，如果a:b=c:d，
那么a、b、c、d这四条线段叫做成比例线段。
∴实际距离=250000mm=250m，图上距离=0.05m=5cm。
03
典例精析
例1、(2)在比例尺为1:10000的地图上，一块面积为2cm²的区域表
示的实际面积是___________m²
。
20000
【分析】
图上距离
∵比例尺=
=1∶10000，
实际距离
图上面积

∴
=
=
实际面积 实际面积
− −
分比定理：如果 = ，那么 = 。




+ +
(2)合分比定理：如果 = (a-b≠0,c-d≠0)，那么 = 。

− −
比例的其他性质
02
知识精讲
比例的其他性质

±
(3)等比定理：如果 = (b±d≠0)，那么
= = ；

±
d=________；
1.5cm
(2)线段a=6cm，b=2cm，则a、b、a+b的第四比例项是
________cm。


【分析】(1)∵ = ，∴ = ，∴d=1.5cm；





注意：
单位不能漏
+


(2)设第四比例项为d，∵ = ，∴ = ，∴d= cm。
注意：成比例线段是有顺序的，若a、b、c、d这四条线段成比例，
则a:b=c:d。
02
知识精讲
成比例线段&比例
2、两个比相等的式子叫做比例，eg： a:b=c:d。
(1)比例的四个项a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项；
(2)其中，a和d又叫做比例外项，b和c又叫做比例内项；
(3)在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中项⭐。
把b转化成同一个数
，进行连比
03
典例精析


−
例2、已知 = ，那么 =________。






−
【分析】∵ = ，∴1- =1- ，∴ = 。




03
典例精析

+
例3、已知 = ，那么 =________。
4

−
【分析】法一：






±
探究3：已知 = ，判断 与 是否相等。

±

【分析】设 = =k，则a=kb，c=kd

± ±

∴ =
=k= = 。
± ±

等比定理
02
知识精讲
比例的其他性质：

+ +
(1)合比定理：如果 = ，那么 = ；




(1)统一单位——统一四条线段的单位；
(2)排序——将线段的长按照从小到大的顺序排列；
(3)计算——分别计算排序后，前两条线段的比、后两条线段的比
（或分别计算排序后，首末两条线段的积、中间两条线段的积）；
(4)看——看比是否相等（或看积是否相等）。
03
典例精析
例3、(1)线段a=2cm，b=3cm，c=lcm，那么a、b、c的第四比例项
01
比例的基本性质
复习引入
小学里，我们已经学过了比例的基本性质：
(1)如果a:b=c:d，那么ad=bc；
(2)反过来，如果ad=bc(b≠0,d≠0)，那么a:b=c:d。
进一步推广：
(1)特别地，如果a:b=c:d，那么________；
ac=b2




(2)如果ad=bc(a、b、c、d均不为0)，那么____，____，____，____。
比例尺也是两条
线段的比的一种
01
情境引入
(1)比例尺1:8000000与比例尺1:16000000的含义是什么？
图上距离
【分析】(1)∵比例尺=
，
实际距离
图上距离

图上距离

=
，图2：
=
；


实际距离
实际距离
∴图1：
01
情境引入
(2)a:b与c:d的比值是否相等？
先度量出a、b、c、d的
注意：(1)两条线段的比具有顺序性，要明确前项与后项；
(2)求两条线段的比，要先统一线段的单位，而比是没有单位的；
(3)区分“比”与“比值”，“比值”是“比”的结果。
在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
符号语言：在四条线段a、b、c、d中，如果a:b=c:d，那么a、b、c、d这四条线段叫做成比例线段。
注意：
面积比要平方


，

∴实际面积=200000000cm2=20000m2。
03
典例精析
例2、下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ C ）
A．4cm,5cm,6cm,7cm
B．3cm,4cm,5cm,8cm
C．5cm,15cm,3cm,9cm
D．8cm,4cm,1cm,3cm
【分析】A．4:5≠6:7（或4×7≠5×6），∴四条线段不成比例；


++⋯

进一步推广：如果 = =⋯= (分母和≠0)，那么
=__=__。


++⋯
03
典例精析
例1、若a:b=3:4，b:c=1:2，则a:c=________。
3:8
【分析】
∵a:b=3:4，b:c=1:2=4:8
，
∴a:b:c=3:4:8，
∴a:c=3:8。


++
【分析】

∵ = = = ，且b+d+f≠0，

++
∴由等比定理可得：
= = = = 。
++
可以直接用设“k”法
推导出的等比定理
课后总结
两条线段长度的比，叫做两条线段的比，
若两条线段的比为a:b，那么a叫做比的前项，b叫做比的后项。
要先研究对应线段（长度）的比。
02
知识精讲
两条线段的比
两条线段长度的比，叫做两条线段的比，
若两条线段的比为a:b，那么a叫做比的前项，b叫做比的后项。
注意：两条线段的比具有顺序性，要明确前项与后项。
02
知识精讲
探究：已知AB长为1dm，CD长为2cm，则：
(1)AB与CD的比为________，AB与CD的比值为________；
38
【分析】
∵a:b:c=9:11k，c=14k，
∴9k+11k+14k=68，解得：k=2，
∴a=18，b=22，c=28，
∴3a-2b+c=38。
03
典例精析


++
例5、已知 = = = ，且b+d+f≠0，则
=________.
1的小正方形的顶点上，问：这四条线段是成比例线段吗？
【分析】由题意可得：
B2
A1
B1
A1B1=2 ，B1C1=2 ，
A2
C2
C1
A2B2= ，B2C2= ，
∵A1B1:B1C1=2 :2 =1: ，
A2B2:B2C2= : =1: ，
∴A1B1:B1C1=A2B2:B2C2，
教学目标
01
02
03
了解两条线段的比的概念
理解成比例线段与比例的概念
掌握比例的基本性质以及比例的其他性质
两条线段的比
01
情境引入
Q1：两组图中A、B之间有何关系？
A
B
A
B
A、B之间形状相同（图案相同）、大小相等——全等
01
情境引入
Q2：两组图中A、B之间有何关系？
A
B
A
A、B之间形状相同（图形相同）、但是大小不等
知识精讲
02
探究1：下图中，哪两个矩形的长和宽是成比例线段？
9
8
6
4
4
(1)
6
(2)
(3)
【分析】∵(1)长:宽=9:6=3:2；(2)长:宽=8:4=2:1；(3)长:宽=6:4=3:2；
∴第1个矩形和第3个矩形的长和宽是成比例线段。
02
知识精讲
探究2：如下图，线段A1B1、B1C1、A2B2、B2C2的端点都在边长为



03
典例精析
例4、(1)若a=4cm，b=9cm，则线段a,b的比例中项是________cm。
6
【分析】设比例中项为c，
∵ab=c2，
∴(4cm)×(9cm)=c2，
∵c>0，
∴c=6cm。
03
典例精析
例4、(2)已知三个数3、6、x，要使其中一个数是其他两数的比例

x= 或x=12或x=±
=
=
=
=




02
知识精讲

± ±
探究1：已知 = ，判断 与 是否相等。






± ±
【分析】∵ = ，∴ ±1= ±1，∴ = 。





+ +
=


− −
与分比定理： =


合比定理：
02
知识精讲

+ +
探究2：已知 = ，判断 与 是否相等。
∴AC=AP= x，
∴线段AP与AB的比是：( x):(2x)= :2。
成比例线段&比例
01
情境引入
在上面两幅比例尺不同的江苏省地图中，设连接南京与徐州的线段长分别为
a、b，连接南京与连云港的线段长分别为c、d，问：
(1)比例尺1:8000000与比例尺1:16000000的含义是什么？
(2)a:b与c:d的比值是否相等？
注意：成比例线段是有顺序的，若a、b、c、d这四条线段成比例，则a:b=c:d。
课后总结
【总结】已知四条线段的长，判断这四条线段能否成比例的一般步骤：
(1)统一单位——统一四条线段的单位；
(2)排序——将线段的长按照从小到大的顺序排列；
(3)计算——分别计算排序后，前两条线段的比、后两条线段的比