基于ARIMA 与GARCH 模型比较分析

ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model），是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins 模型、博克思-詹金斯法。

其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q 为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。

所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。

ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。

GARCH模型称为广义ARCH模型，是ARCH模型的拓展，由Bollerslev(1986)发展起来的。

它是ARCH模型的一种特例。

本文通过分别建立ARIMA 和GARCH 模型对国际油价进行预测，比较两种模型分别在预测短期和长期油价的效果，试图找出二者中综合预测效果较好的模型。

1、ARIMA 模型的构建
ARIMA 模型是将预测对象随时间推移而形成的数据序列看成一个随机序列，用一定的数据模型近似描述，只要被识别后可用其过去值和现在值来去预测未来值。

模型的一般表达式是：
（1）单位根检验
序列图只能是对序列的平稳性做一个直观的大致判断，时间序列平稳性一般还需要经过严格的统计量检验来做进一步判断。

否则，如果用非平稳的经济时间序列建立经济模型可能出现虚假回归问题。

本文采取了较为常见且较重要的几种检验方法来检验油价收益率序列的平稳性，结果表明，油价收益率序列通过了ADF、PP 以及KPSS 检验，表明油价收益率序列是一个平稳序列，可以进行模型识别。

因此，能够建立石油价格的ARIMA（d=1）模型。

（2）ARIMA 模型的识别及参数估计
根据ARIMA 模型的建模步骤，首先应通过考察经过平稳化处理的收益率序列的自相关与偏相关图，对模型做出最初的判断。

如果自相关函数为指数衰减且偏相关函数图在p步以后截尾，则此时间序列模型为p 阶自回归模型AR（p）；如果自相关函数在q 步以后截尾且偏相关函数为指数衰减，则此时间序列模型为q 阶移动平均模型MA （q）；若时间序列的自相关函数、偏相关函数都是拖尾的，则可判定该序列为ARMA 序列。

模型的阶次p、q 可采用最小AIC 和SC 准则等方法来进行定阶。

通过考察油价收益率序列的自相关和偏相关图可以看出，样本自相关和偏相关系数均是拖尾。

经过多次检验，发现ARIMA（3，1，5）和ARIMA（5，1，3）在统计上显著，通过比较这两个模型的AIC 和SC 值，发现ARIMA（5，1，3）的AIC 和SC 值分别为- 2.2.2.82 和- 2.089320，均小于ARIMA（3，1，5）的AIC 和SC 值。

因此，本
文选用ARIMA（5，1，3）模型。

根据收益率时间序列，模型ARIMA （5，1，3）估计结果如下：
（3）模型的诊断
首先做出估计方程残差序列的自相关图，通过判断模型的残差序列是否为白噪声来对时间序列模型进行检验。

若是白噪声，则接受选择的模型；否则，要重新进行模型识别、定阶、估计和检验。

通过观察ARIMA（5，1，3）模型的残差序列自相关和偏相关图，可以看出模型的残差值较小，残差的自相关和偏相关系数都在置信区间内，残差序列近似于白噪声，显示出符合平稳数据的特征。

同时，对时间序列的残差进行单位根检验，其检验结果如表1 所示：
模型的残差序列通过了ADF、PP 以及KPSS检验，因此，可以判断残差序列是白噪声过程，模型的检验效果较好。

到此，可以诊断该模型是可行的，可用于预测。

2、GARCH模型的构建
（1）均值方程的建立
首先利用一般最小二乘回归做出均值方程，通过多次尝试，发现滞后一期和滞后两期的模型效果较好，再利用AIC和SC 准则进行对比，可以发现滞后两期的AIC 和SC 值分别为- 2.141481 和- 2.116669，优于滞后一期的模型。

因此，建立估计方程：
方程的R2=0.979997，且这个方程的统计量很显著，拟合的程度也较好。

但需要进一步检验这个方程的误差项是否存在ARCH 效应。

（2）GARCH 模型的识别及参数估计
首先做出（2）式的残差图来观察该回归方程的残差，我们可以注意到有波动的“成群”现象，即波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大。

同时，通过观察残差平方2t的自相关图和偏相关图，发现残差平方序列存在显著的自相关性，也说明残差序列存在高阶ARCH 效应。

因此，我们利用GARCH 模型重新估计上述模型。

经过多次尝试，并通过AIC 和AC 准则进行对比，发现GARCH（1，1）模型最为合理。

因此选用GARCH（1，1）模型重新估计。

利用GARCH（1，1）模型重新估计的方程如下所示：
（3）模型的诊断
对上述公式的残差进行条件异方差的ARCH LM检验，取滞后阶数为1。

从检验结果可以看到，F 统计量的值为0.003840，其相伴概率为0.9506。

另外，通过观察残差平方的自相关和偏相关图，也可以发现AC 和PAC 系数都接近于0，而且Q 统计量变得不再显著，P 值变大。

这些都说明利用GARCH 模型消除了原残差序列的ARCH 效应，模型可用于预测。

三、结果
本文运用ARIMA 和GARCH 模型，对国际油价进行预测，并对两种方法的预测效果进行比较分析。

分析发现，在短期预测中，两种模型对油价预测都比较准确，但是如果油价由于受到重大突发事件的影响而有较大波动时，会导致模型的预测精度下降；在长期预测中，GARCH 模型的油价预测效果明显优于ARIMA 模型。

同时，从综合预测效果看，GARCH模型预测误差较小，优于ARIMA 模型。

整体来看，对国际油价进行预测，用GARCH 模型是比较合适的。