2015-2019高考数学立体几何分类汇编(理)

2015-2019新课标(理科)立体几何分类汇编
一、选填题
【2015新课标2】（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为
该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A ．36π B.64π C.144π D.256π
【2016新课标1】(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角
的正弦值为（ ）
(D)13
【2016新课标2】14. α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下
列四个命题：
①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥。

②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥,m α⊂,那么m β∥。

④如果m n ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
【2016新课标3】10. 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 13，则V 的最大值是（ ）
(A )4π
(B )9π2
(C )6π
(D )32π3
【2017新课标1】16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，
AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为____。

【2017新课标2】10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，
1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A C
【2017新课标3】8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A ．π
B ．3π4
C ．π２
D ．π
4
【2017新课标3】16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与
a ，
b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；
④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是_______（填写所有正确结论的编号）
【2018新课标1】12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A B C D
【2018新课标2】9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）
A ．15
B C D ．
2
【2018新课标2】16．
已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA
与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【2018新课标3】10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆
为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【2019新课标1】12. 已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A = PB
= PC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，E 、F 分别是P A 、AB 的中点，︒=∠90CEF ，则球O 的体积为
A. π68
B. π64
C. π62
D. π6
【2019新课标2】16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.
印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）
【2019新课标3】8. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为
正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段 ED 的中点，则
A. EN BM =，且直线BM 、EN 是相交直线
B. EN BM ≠，且直线BM 、EN 是相交直线
C. EN BM =，且直线BM 、EN 是异面直线
D. EN BM ≠，且直线BM 、EN 是异面直线
【2019新课标3】16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型。

如图，该模型为长方体
ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的
中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB = BC = 6 cm，AA1 = 4 cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3。

不考虑打印损耗，制作该模型所需原料
的质量为_________ g。

二、解答题
【2015新课标1】（18）如图，四边形ABCD为菱形，
∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，
BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
【2015新课标2】如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

【2016新课标1】18. 如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，
90
AFD
∠=，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．
（I）证明平面ABEF⊥EFDC；
（II）求二面角E-BC-A的余弦值．
D
D1C1 A1 E
F
A B
C
B1
【2016新课标2】19. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，
点E ，F 分别在AD ，CD 上，5
4
AE CF ==，EF 交BD 于点
H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '
的位置OD '（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
【2016新课标3】(19)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，
M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点。

（1）证明：MN ∥平面P AB
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
【2017新课标1】18. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且
90BAP CDP ∠=∠=.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.
【2017新课标2】19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于
底面ABCD ，o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值
【2017新课标3】19. 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．，AB BD =．
（1）证明：平面平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD
分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．
【2018新课标1】18. 如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
D
B
C E
O
【2018新课标2】20. 如图，在三棱锥P ABC
-
中，AB BC
==，
4
PA PB PC AC
====，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C
--为30︒，求PC与
平面PAM所成角的正弦值．
【2018新课标3】19. 如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ABC
-体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
【2019新课标1】
18.
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1 = 4，AB= 2，BAD，E、M、N分别
∠60
︒
=
是BC、BB1、A1D的中点。

（1）证明：MN //平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

【2019新课标2】17．
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的值.
11
【2019新课标3】
19.
图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB = 1，BE = BF = 2， ︒=∠60FBC 。

将其沿AB 、BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2。

（1）证明：图2中的A 、C 、G 、D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）求图2中的二面角B -CG -A 的大小。