八年级上册一次函数复习讲义

科目： 数学 年级： 八年级 教师： 占老师
一次函数复习讲义
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.
（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
知识点2 函数的图象
把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
知识点 3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k
b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质
（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；
①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；
②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；
①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；
②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四
2
象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
知识点3 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；
（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；
（3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点4 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系
（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；
（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．
例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．
知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
知识点6 待定系数法
知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b ；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
（2）数形结合法．
知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．
②当k ，b 异号时，即-
k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-k
b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k
b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；
当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；
当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；
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育个性化复习讲义
一次函数复习讲
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当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．
（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)
当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．
（3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；
②⎩⎨⎧=≠2
121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=21
21,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2
121,b b k k ⇔y 1与y 2重合. 典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件． 例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-
21x ； （2）y=-x
2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？ 基础知识应用题
例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ﹤O
B ．m ＞0
4
C ．m ﹤21
D ．m ＞M
．
学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求5年后的产值．
例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．
（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；
（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？
例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？
（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，
求m 的值；
（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中
的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且
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S△ABP=4，求P点的坐标．
例14 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .
中考试题预测
例1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？
例3 如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下
（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？
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义第12-5页
例7 某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．
（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
例10 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．
6
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课内课外作业:
一、选择题：
1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限
3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）16
4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）
之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所
挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，
则y1与y2的大小关系为（）
（A）y1>y2（B）y1=y2
（C）y1<y2（D）不能确定
5．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小
（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限
6．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）
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（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
7．要得到y =3
2
x-4的图像，可把直线y =
3
2
x （）．
（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位
（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位
8．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．
（A）k<1
3
（B）
1
3
<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<
1
3
9．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）
（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条
10．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
二、填空题
1．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________． 2．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．
3．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．
4．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 5．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．
6．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．
7．y=2
3
x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．
10．（湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试）设直线kx+（k+1）y-1=0（为
8
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正整数）与两坐标所围成的图形的面积为
S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…
+S2008=_______．
三、解答题
1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．
2．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．
3（2013•衡阳）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；
（1）档用地阿亮是180千瓦时时，电费是元；
（2）第二档的用电量范围是；
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（3）“基本电价”是元/千瓦时；
（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个
月他家用电多少千瓦时？
4（2013•内江）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．
X 50 60 90 120
y 40 38 32 26
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．
5．某省夏天由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．
（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？
（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？
（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？
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义第
6．（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A 、B 两地收割小麦，其中30•台派往A 地，20台派往B 地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：
（1）设派往A 地x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y （元），请用x 表示y ，并注明x 的范围．
（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．
9． （2013•黄石）一辆客车从甲地开)
12 往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、2y 关于x 的函数图像如右图所示：
（1）根据图像，直接写出1y 、2y 关于x 的函数关系式；
（2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A
加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离.
10．A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，•现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10．已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元．
（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值．
（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最大值和最小值．。