第二章第1节

复变函数论数学与信息科学学院罗仕乐
第二章解析函数
§1 解析函数的概念与C-R方程§2 初等解析函数
§3 初等多值函数
§1. 解析函数的概念与柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件
一 复变函数的导数与微分
(形式上与数学分析一元函数的导数定义一致)
定义2.1 设函数w=f(z)在点z 0的邻域内
或包含z 0的区域D 内有定义.考虑比值
)0()()()()(000≠∆∆-∆+=--=∆∆z z
z f z z f z z z f z f z w z ∆如果z 按任意方式趋于z 0时,即当 按任意方式趋于0 时,上述比值的极限都存在,且其值有限(为同一个数),
则称此极限为函数f(z)在点z 0的导数,记为
).('0z f 0000)()(lim lim )('0z z z f z f z w z f z z z --=∆∆=→→∆即 (2.1)
此时,称函数f(z)在点 z 0可导. 0
lim ,)('0=+=∆∆→∆ηηz z f z w ε
+∆=∆z z f w )('||||z ∆⋅=ηε||z ∆设w=f(z)在z 可导,由极限与无穷小的关系及(2.1),可得
.
其中, 为比 高阶的无穷小.
z z f ∆)('dz z f z z f dw )(')('=∆=称 为w=f(z)在点z 的微分,记为dw 或df(z). (2.2)
也称f(z)在点z 可微.即
可见: f(z)在点z 可导与f(z)在点z 可微是等价的.
如果函数f(z)在区域D 内处处可微,则称f(z)在区域D 内可微. 显然,f(z)在点z 可微,则f(z)在点z 连续;反之不然. 甚至即使f(z)处处连续,但f(z)可以处处不可微.
如函数 z z f =)(但在z 平面处处不可微.
在z 平面处处连续,
例1 证明:f(z)=z n (n 为正整数)在z 平面上处处可微,且
.1-=n n nz z dz
d (与数分的形式一样) z z z z z w n
n z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00.
])()([lim 112210----→∆=∆++∆+=n n n n n z nz z z z C nz .1-=n n nz z dz
d 证明: 设z 为复平面上任意一点.有
所以, f(z)=z n (n 为正整数)在z 平面上处处可微,且
二解析函数及其简单性质
定义2.2如果函数w=f(z)在区域D内可微,
则称f(z)为区域D内的解析函数,或称f(z)在区域D内解析.
解析,
注: 说函数f(z)在某点z
的某一邻域内解析;
是指f(z)在点z
D D
说f(z)在闭域上解析,是指f(z)在包含
的某区域内解析.
这是复变函数的可微性与解析性的不同之处.
(即复变函数在某区域内可微与在某区域解析是等价的, 但在某点可微,不能推得在该点解析).
区域D 内的解析函数也称为D 内的全纯函数或正则函数. 定义2.3 若f(z)在点z 0不解析,但在z 0的任一邻域内 总有f(z)的解析点,则称z 0为f(z)的奇点.
如 z z f 1)( 在z 平面上以z=0为奇点.
数学分析中的一元函数的求导(微)法则可以推广 到复变函数中来.如和,差,积,商的解析性,以及复合
函数的求导法则等.(列出)
三 柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann)(简称C.-R.方程) 设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy 可微,且设
)(')()(lim 0z f z z f z z f z =∆-∆+→∆ (2.3)
v
i u z f z z f y i x z ∆+∆=-∆+∆+∆=∆)()(,
),(),(),,(),(y x v y y x x v v y x u y y x x u u -∆+∆+=∆-∆+∆+=∆)('lim 00z f y i x v i u y x =∆+∆∆+∆→∆→∆又设 其中 则(2.3)变为 (2.4)
y
i x z ∆+∆=∆0,0→∆=∆x y 0,0→∆=∆y x )('z f x v i x u =∂∂+∂∂)('z f y v y u i =∂∂+∂∂-注意到(2.4)式中 无论按什么方式趋于零时,总是成立的,可以设 及设 分别得到 (2.5)
(2.6)
由(2.5)与(2.6)可得Cauchy-Riemann 方程.即有
定理2.1(可微的必要条件)设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 区域D 内有定义,且在D 内一点z=x+iy 可微,
则必有(1)偏导数u x ,u y ,v x ,v y 在点(x,y)存在;
(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足C.-R.方程.
.,x
v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂即 但定理中的条件不是充分的.如,函数 ||)(xy z f =(按定义证它在z=0不可微).
在z=0满足定理条件,但在z=0不可微.
.
0),(,||),(==y x v xy y x u )0,0(0)0,0()0,(lim )0,0(0y x x v x
u x u u ==∆-∆=→∆).0,0(0)0,0(),0(lim )0,0(0x x y v y
u y u u -==∆-∆=→∆||)(xy z f =.
||||y x w ∆∆=∆.01||)()(||||lim ||||lim 22200)(≠+=∆+∆∆∆=∆∆→∆=∆→∆=∆k
k y x y x z w x k y x k y ||)(xy z f =证明： 所以，函数 但, 所以, 函数 在z=0不可微.
在z=0满足定理条件.
定理2.2(可微的充要条件)设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域D 内有定义.
则f(z)在D 内一点z=x+iy 可微的充要条件是
(1)二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微;
(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足C.-R.条件.(证明) 上述条件成立时,f(z)在点z=x+iy 的导数可以表成 下列形式之一:
x v i y v y u i x u y u i y v x v i x u z f ∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=)('(2.7)
证明： )(z f ).
0(0),()('→∆→∆+∆=∆z z z z f f ηη.
,,)('v i u f y i x z i z f ∆+∆=∆∆+∆=∆+=βα).
())((z y i x i v i u ∆+∆+∆+=∆+∆ηβα),
Re()()(z y x u ∆+∆-∆=∆ηβα).
Im()()(z x y v ∆+∆+∆=∆ηβα|).(|)Im(
|),(|)Re(z o z z o z ∆=∆∆=∆ηη),(),,(y x v y x u ),(y x .,x
v y u y v x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂βα (必要性) 设 在D 内一点z 可微,则 令 则 所以, 显然, 所以,
在点 可微,且 即满足C-R 方程.
),(),,(y x v y x u )
,(y x ,)()(1η+∆+∆=∆y u x u u y x .
)()(2η+∆+∆=∆y v x v v y x |).
(||),(|21z o z o ∆=∆=ηη.,ββα-=∂∂-=-=∂∂∂∂=∂∂=x v y u y v x u v i u f ∆+∆=∆2
1)()()()(ηαβηβαi y i x i y x +∆+∆++∆-∆=.)())((2121ηηβαηηβαi z i i y i x i ++∆+=++∆+∆+=).0(,0|
|||||||||||2121→∆→∆+∆≤∆+z z z z i ηηηη)(z f x v i x u i z f ∂∂+∂∂=+=βα)('.x v i y v y u i x
u y u i y v ∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=(充分性)由 在点 可微,有 其中, 结合C-R 方程 有 且 所以, 在D 内一点z(x,y)可微,且
推论2.3 (可微的充分条件)设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
在区域D内有定义.若(1)u
,u y ,v x ,v y在点(x,y)连续;
x
(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处满足C.-R.方程.
则f(z)在点z=x+iy可微.(由(1)u,v可微,由定理2.2的充分性) 由解析的定义及定理2.2,即可得函数解析的充要条件:
定理2.4函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的
充要条件是:(1)二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微;
(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.方程.
结合推论2.3可得:
定理2.5 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D 内解析的充分条件是:
(1)u x ,u y ,v x ,v y 在D 内连续; (2)u(x,y),v(x,y)在D 内满足C.-R.方程.
并且其导数可由公式(2.7)给出.
(2.7)式是求复变函数的导数的方法.
例2 讨论f(z)=|z|2的解析性.
,
0),(,),(22=+=y x v y x y x u 0
,0,2,2====y x y x v v y u x u 2
||)(z z f =解: 在z 平面连续,但仅在点z=0处满足C-R 方程,所以 只在z=0可微,在z 平面上处处不解析.
例3 讨论f(z)=x 2-iy 的可微性和解析性. ,),(,),(2y y x v x y x u -==1,0,0,2-====y x y x v v u x u 2
1-=x iy x z f -=2)(2
1-=x 解:
在z 平面连续,
上满足C-R 方程, 仅在直线 上可微, 但仅在直线 所以, 但在z 平面上处处不解析.
)
sin (cos )(y i y e z f x +=).()('z f z f =例4 试证 在z 平面上解析,且 ,
sin ),(,cos ),(y e y x v y e y x u x x ==y e v y e v y e u y e u x
y x x x y x x cos ,sin ,sin ,cos ==-==.,x y y x v u v u -==)sin (cos )(y i y e z f x
+=).(sin cos )('z f y ie y e iv u z f x
x x x =+=+=证明: 在z 平面上连续,且满足C-R 方程:
所以, 在z 平面上解析,且
)
,(),()(,θθθr iv r u z f re z i +==)0(.1,1>∂∂-=∂∂∂∂=∂∂r u r r v v r r u θ
θ推导极坐标下的C.-R.方程: 设
则其C.-R.条件为 .
sin ,cos θθr y r x ==,sin 1cos 1θθθθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r r u x u x r r u x u ,cos 1sin 1θθθθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r r u y u y r r u y u ,sin 1cos 1θθθθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v r r v x v x r r v x v ,cos 1sin 1θθθθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v r r v y v y r r v y v 证明：
=∂∂-∂∂θθθu r r u sin 1cos 1,cos 1sin 1θ
θθ∂∂+∂∂v r r v θ
θθ∂∂+∂∂u r r u cos 1sin 1,sin 1cos 1θθθ∂∂+∂∂-=v r r v .1,1θ
θ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂u r r v v r r u 由C-R 方程,有
解得 即为极坐标下的C.-R.方程.
作业：P.90.Ex5.
练习题
1.(1)试述函数f(z)在z 0解析的定义,并叙述函数在一点z 0 的解析性,可微性,连续性之间的联系与区别.
(2)讨论下列函数的连续性,可微性,解析性: ;Re );arg ,arg )2
z z b z z a ππ≤<-.
Im );)|;|)2
z z e z d z c 2.(1)设f(z)=u+iv 在z=x+iy 可微, 试写出用u,v 偏导数表示的导数f'(z)公式.
)10()(5)();515)()2
2y xy i x y x z f b yi x z f a -+--=++=).3(3)()3
223y y x i xy x z f c -+-=(2)求下列函数的导数:
3.设f(z)=u+iv,试将下列条件叙述出来:
(1)关于u,v 的C.-R.条件是: (2) f(z)在D 内解析的必要非充分条件是:
(3) f(z)在D 内解析的第一充要条件是:
数学与信息科学学院罗仕乐。