海原县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

海原县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
2． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 3． 两个随机变量x ，y 的取值表为
若x ，y 具有线性相关关系，且y ^
＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A ．x 与y 是正相关
B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝
6 C ．随机误差e 的均值为0
D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65 4． i 是虚数单位，i 2015等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
5． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
6． 已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1
D ．﹣1
7． 若关于的不等式
2
043
x a
x x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）
A．B．1
2
C．
1
2
-D．2-
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（）
A．11？ B．12？ C．13？ D．14？
9．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）
10．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数
y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）
A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真 D．p∧q为假
11．已知e为自然对数的底数，若对任意的
1
[,1]
x
e
∈，总存在唯一的[1,1]
y∈-，使得2
ln1y
x x a y e
-++=
成立，则实数a的取值范围是（）
A.
1
[,]e
e
B.
2
(,]e
e
C.
2
(,)
e
+∞ D.
21
(,)
e
e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
12．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A
B1
C D
二、填空题
13．S n =
++…+= ．
14．抛物线2
4x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
15．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ． 16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
17．若函数y=ln （
﹣2x ）为奇函数，则a= ．
18．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
三、解答题
19．在△ABC 中，D 为BC 边上的动点，且AD=3，B=．
（1）若cos ∠ADC=，求AB 的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD 的周长f （θ），并求当θ取何值时，周长f （θ）取到最大值？
20．（本小题满分13分）
设1()1f x x
=
+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *
+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n
a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
21．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，
斜率为的直线交抛物线于11A x y （，）
和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =
．
（I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
22．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在
x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
23．（本题满分12分）设向量))cos (sin 2
3
,
(sin x x x -=，)cos sin ,(cos x x x +=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若2
1
)(=A f ，2=a ，求ABC ∆面积的最大值.
24．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；
（2）若f （x ）=
（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．
18．已知函数f （x ）=是奇函数．
海原县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲得分的众数为a=85， 乙得分的中位数是b=85； 所以a=b ． 故选：C ．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 3． 【答案】
【解析】选D.由数据表知A 是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y ^＝bx ＋2.6得b ＝0.95，即y ^
＝0.95x ＋
2.6，当y ^
＝8.3时，则有8.3＝0.95x ＋2.6，∴x ＝6，∴B 正确．根据性质，随机误差e 的均值为0，∴C 正确．样
本点（3，4.8）的残差e ^
＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D 错误，故选D. 4． 【答案】D
【解析】解：i 2015
=i 503×4+3=i 3=﹣i ，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
5． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1，
∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，
∴
展开式的通项为T r+1=
，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴
展开式中x ﹣3
的系数为
=﹣4320，
故选：B ．. 6． 【答案】D
【解析】解：由zi=1+i ，得，
∴z 的虚部为﹣1． 故选：D ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程
2
043
x a
x x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选D.
考点：不等式与方程的关系. 8． 【答案】C
【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+
+
+…+
=
的值，
若输出的结果是
，
则最后一次执行累加的k 值为12， 则退出循环时的k 值为13， 故退出循环的条件应为：k ≥13？，
故选：C
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
9．【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，
又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题p为假命题；
函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
11．【答案】B
【解析】
12．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D 。

二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵ =
=（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】()2
2
12x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()200011
42y x x x x -=-，代入()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()22
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 15．【答案】 35 ．
【解析】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），
∴数列{a n}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，
又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8，
∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去）
∴a n=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2．
∴a1=﹣1，
∴S10=10a1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n}为等差数列，并求得a n=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
16．
【解析】
17．【答案】4．
【解析】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
ln（+2x）=﹣ln（﹣2x）．
ln（+2x）=ln（）=ln（）．
可得1+ax2﹣4x2=1，
解得a=4．
故答案为：4．
18．【答案】．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）∵，
∴，
∴…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）
∵，…3分
∴，…5分
（2）∵∠BAD=θ，
∴， (6)
由正弦定理有，…7分
∴，…8分
∴，…10分
=，…11分
当，即时f（θ）取到最大值9．…12分
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：证明：2
()10
f x x x x
=⇔+-=，∴
2
11
2
22
10
10
λλ
λλ
⎧+-=
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，∴
2
11
2
22
1
1
λλ
λλ
⎧-=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
．
∵1
211111111212
222222
21
11111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅
------+， （3分） 11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设1
2m =
，则()f m m =． 由112a =及111n n a a +=+得223a =，33
5
a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分）
下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，
min OS =S 的坐标为
168±（，）． 22．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2
+bx ， ∴f'（x ）=3x 2
+6ax+b ，
又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0， 解得：
a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x ）=3x 2
+4x+1，
令f'（x ）=0得x=
﹣或x=﹣1， 又∵f （﹣2）=﹣2，f
（﹣）=
﹣，f （﹣1）=0，f
（﹣）=
﹣
，
∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.
24．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．
从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，
．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函
数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．。