结构力学等效结点荷载

F
(1 )
ql 2
12
0
ql 2
ql 2
12
(2 )
0
F P
2
Fl P
F ( 2 )
F
8
0
F P
2 F
P
l
8
局部坐标系下单元等效结点荷载：
e
Fe
FE F
整体坐标系下单元等效结点荷载：
F E e T T F E e T T F F e
E
F
F1 F1
C
E
F
有非结点荷载作用的单元杆
F2 F2 端力,可以由两部分叠加而得,一
部分是单元固端力,另一部分是
杆端位移产生的杆端力.
练习：用先处理法、后处理法分别计算结构的 综合结点荷载列阵.
M＝FPl FP
FP＝ql C
D
q
21,2,3
34,5,6
③ 44,5,7
①②
24,5,6
37,8,9
③
47,8,10
①②
A
B
10,0,0
50,0,0
11,2,3
511,12,13
解：1. 局部坐标系下单元固端力
F( 1 )
qlq 2l
qlq 2 lT
F 0
0 2 12
2
1 2
F F ( 2 ) 000000 T
F F ( 3 ) 0
F P F P l 28
0
F 2 P F 8 P l T
2 F
P
l
8
F
FP
2 Pl
8
5 6
8 9
总码
ql
2
1
4
0
2
5
F E ( 1 )
ql 2
12 ql
2
3 0
6 1
0 0 2
ql
2
12
0
3
总码
0 4 7
0
5
8
F ( 2 ) E
0
0
7 0
10 11
0 0 12
0
0
13
总码
e
Fe
FE F
整体坐标系下单元等效结点荷载列阵：
F E e T T F E e T T F F e
整体坐标系下结构等效结点荷载列阵：
S
S
FE FEe
FF e
e1
e1
整体坐标系下结构综合结点荷载列阵：
F F D F E
速算法步骤：
1. 根据单元上荷载状况,利用载常数得到单元固端力,将其大 小和实际方向标注在杆端； 2. 将各单元的杆端力反号转移到结点上,把结点相关单元 同一方向的力相加后,以整体坐标系为标准判断正负号一 致为正,反之为负即得到该结点等效结点荷载列阵；
1. 等效结点荷载的概念
荷载等效的原则是不改变结构的结点位移情况,即 结构在等效结点荷载作用下的结点位移与实际荷载作 用下的结点位移相等.
M
q
结
点
E
F1
E
F2
位 移 等
效
1. 等效结点荷载的概念
M
q
(A)
F
F 1
M
(B)
q
F
F 2
+=
E
F
F1 F1
(C)
E
F
F2 F2
内 力 相 等
结点位 移等效
第九章 矩阵位移法
9.4 等效结点荷载
非结点荷载的处理
有限元分析的重要一步是把一个连续的结构看成是 由离散单元在结点处连接拼装而成.而把作用在结构上的 荷载统统考虑作用在结点上.然而无论是恒载还是活载, 常常是分布作用在单元上.
对这种非结点荷载的处理： 方法一：把分布荷载改用若干集中荷载代替,并把集中 荷载的作用点选作结点； 方法二：等效结点荷载法.
F
4
F
4
x
F 5 F 4 y
在先处理法中,结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵.
F3y
F4y
3(5,6) 4(7,8)
F3x
⑥
F1y② ③
⑤F4x ④ F2y
F1x ①
F2x
FR1x 1(1,2) FR1y
2(3,4) FR2y
F1
F1x FR1x F1x
F
0
F
2
2. 等效结点荷载的计算
24,5,6 FP
FPl ql 2 8 12
q
② 37,8,9
①
＝
ql 2
ql 2
11,2,3
12
ql
2
FPl
FPl
2 FPl 2
8
+ 没有结 0
点位移
0
ql 2
0
12
ql
2
ql
ql 2
2
12 0
ql 2 FPl 12 8
ql 2 ql 2
FPl 2
FPl
等效结点 荷载列阵
在矩阵位移法分析过程中,可用综合结点荷载来代 替原来荷载进行计算.
F3y
F4y
3(2,3) 4(4,5)
F3x
⑥
F1y② ③
⑤F4x ④ F2y
F1x ①
F2x
FR1x 1(0,0) FR1y
2(1,0) FR2y
F1 F2x
F
F F
2 3
F3x F3y
2. 整体坐标系下单元等效结点荷载
12 9,030
0 1 0
1 0 0
0
FE
(1)
T T
F
F
(1)
0
0
1
0
1
0
1 0
0ql
2
0
1 2
4 5
2
0
ql2 12 0
ql2
12 ql
3 0
6 1
0 2
1
ql 2
ql2
FPl 2
8
只有结 0 点位移
ql 2 12
0
FPl
FPl 2 8
0
FPl
FPl 2
8
0
局部坐标系下单元固端力列阵
2(4,5,6) FP ② 3(7,8,9)
q①
1(1,2,3)
F
F 1 F
e
F 2
F
F
e
F
F 3 F
F 4
F
F
F 5 F 6
(1 )
0
ql
2
F
q①
11,2,3
22,3,4 FP ② 30,0,0
q①
10,0,1
e
Fe
FE F
F E e T T F E e T T F F e
总码
总码
总码
ql
22,3,4 FP
② 30,0,0
q①
F E ( 1 )
10,0,1
2
0
ql 2
12 ql
2
0
ql 12
2
2 3 4
0 F E (2)
0 1
0
FP
2
F Pl
8
0
FP 2
F Pl
8
2 3 4 0 0 0
ql 2 12 ql
1 2
F E
2 FP
3
2
ql 2 12
FP 8
l
4
3. 综合自由结点荷载列阵
F F D F E
综合结点 荷载列阵
直接结点 荷载列阵
FPl 8
FPl
FP=ql8
FPl 8
10kN 4.8kN/ 5kN
6kN
m
8kN
7kN·m
2.5m 2.5m
5m
2(1,2,3) 3(0,0,4) ②
①
1(0,0,0)
12
10
10
5 12
4
4
5
12
10
10
12
5
4 4
5
F3 F4 F5
FR1x
F
R1
y
0
FR
2
y
F1
y
F2 F2
x y
F3
x
F
R1
y
＝
F
R
2
F2 x y F3 x
F1 y F2 y
F6
0
F3
y
F3 y
F7 0 F4 x F4 x
F8
F4 y F4 y
总码
0 1 0
0
ql
ql
2
0
4 5
1 0
FE
(1)
T T
F
F
(1)
0
0
0 1
0
0
1
2
0
ql2 12 0
ql2
12 ql
6 1
0
1 0 0 2
0
0
1
ql 2
ql2
12
0
ql2 12
2 3
0
0
FP
34,5,6
③ 44,5,7
①②
10,0,0
50,0,0
总码
FP 1
0
2
M 3
F D
0
4
0
5
0 6
0
7
FP
0
M
F F D F E
0
0
0
0
ql
2 FP
2
ql
2
F
P
l
M
12
8
0
FP
2
F Pl
8
0
在后处理法中,结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵与 结构约束反力列阵之和.
※结构在实际荷载作用下的单元杆端力
M (A)
q
e
Fe
ee
FF k
+=
F
F 1
M
B
对计算杆端位移而言,等效结
q
F
F 2
点荷载与原非结点荷载作用效果 等效,由此可以断定,在综合结点
荷载作用下求得的即是杆端的实
际位移.
12
0
ql2 12
0 0
2 3
总码
0 4 7
0
5
8
F ( 2 ) E
0
0
7 0
10 11
0 0 12
0
0
13
总码
0
0
1
4
FP
FP
2
5
2 2
F (3) E
T T
F
F
(3)
FPl 8
FPl
8
3
6
0 04 7
FP
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
F D F R 1 , F R 2 , F R 3 , F P , 0 , M , 0 0 , 0 , 0 , F R 1 , F , R 1 1 , F R 1 2 T
4. 综合结点荷载元素速算法
局部坐标系下单元等效结点荷载列阵：
F E q 2 ,0 l q 1 ,2 ,l q 2 , l F 2 P ,q 1 2 F l 2 8 P l,0 F , 2 P ,F 8 P l,0 0 ,0 ,0 T ,
3. 整体坐标系下综合结点荷载列阵
F F D F E
M＝FPl FP
FP＝ql C
D
q
A
B
21,2,3
FP
2 2
F E (2 ) T T
F
F
(2)
FPl 8
FPl
8
0 0
FP
2 F
P
l
FP 2
FPl
8 8
总码 4 5 6 7 8 9
总码
总码
ql
2
4
0
4
0 5
FP
5
ql 2
F E ( 1 )
12 ql
6 1
0
1
4
FP
2
5
2
F ( 3 ) E
F Pl
8
3
6
0 4 7
FP 2
F Pl
8
5 6
8 9
1
2
3
4
5
6
F E q 2l F 2 P q 1 2 F 8 l P 2 l 0
F P F P l 28
7
T
0
12 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13
FP
ql 2
FP
2
ql
2
F
P
l
12
8
0
FP
2
F Pl
8
0
F F D F E
12 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13
F E q 2 ,0 l q 1 ,2 ,l q 2 , l F 2 P ,q 1 2 F l 2 8 P l,0 F , 2 P ,F 8 P l,0 0 ,0 ,0 T ,
2
0
2
ql 12
2
3
2
F E ( 2 )
F Pl
8
0
FP 2
F Pl
8
6 7 8 9
总码
ql 2
1
0
2
ql 2
3
12
ql 2
4
F E
FP 2
5
ql
12
2
F Pl
8
0
6 7
FP 2
F Pl
8 9
8
24,5,6 FP ② 37,8,9
3. 根据整体位移码,依此方法得到相应的结构等效结点荷 载列阵； 4. 根据整体位移码,将等效结点荷载列阵与直接结点荷载 列阵元素对应相加即得到结构的综合结点荷载列阵.
用先处理法写出结构的综合结点荷载列阵.
q
11
i1
l
FP=ql
22
i2
l/2
l/2
M=ql2/8
33
ql 2 12
ql 2
12
q
ql 2 ql 2 F P l 12 12 8