2022-2023学年安徽省六安市高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

一、单选题1．已知
i 12i
z
=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i
-C ．2i
+D ．2i
--【答案】C 【分析】由
i 12i
z
=-可得()i 12i z =-，利用复数的乘法可化简得出复数z .【详解】因为i 12i
z
=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.
2．已知向量()()1,1,2,a b x =-= ，若//a b
，则a b -=r r （）
A ．32
B ．3
C ．22
D ．2
【答案】A
【分析】根据向量共线的规则求出x ，再根据向量的坐标运算规则求解.【详解】//,12,2a b x x ∴-=⨯=-
，()()
2
23,3,3332a b a b -=--=
-+= ；
故选：A.
3．如图，A B C ''' 是ABC 的直观图，其中1B O C O ''''==，3
2
A O ''=
，那么ABC 是一个（）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
【答案】A
【分析】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.
【详解】
将直观图还原，则1BO CO ==，23AO =，所以ABC 是正三角形.故选：A.
4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4a =，43b =，π
6
A =
，则角B 的大小
为（）
A ．
π3
B ．
π3或2π3
C ．
2π
3
D ．
π6
【答案】B
【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角B 的大小.【详解】由
sin sin a b A B =，则sin 3
sin 2
b A B a ==，而(0,π)B ∈，故B =π3或2π3，显然，所得角B 均满足0πA B <+<.故选：B
5．111ABC A B C -是体积为1的棱柱，则三棱锥1C AA B -的体积是（）A ．
3
4
B ．
23
C ．1
2
D ．
13
【答案】D
【分析】根据等体积法结合同底等高的棱锥和棱柱体积的关系进行求解【详解】不妨设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则1111A B C ABC ABC V S h -=⋅=V ，故11111111
333
C AA B A ABC ABC A B C ABC V V S h V ---==⋅==V .
故选：D
6．设m ，n 是不同的直线，,a β是不同的平面，则下列命题正确的是（）
A ．,//m n n α⊥，则m α⊥
B ．//,m ββα⊥，则m α⊥
C ．,ααβ⊥⊥m ，则//m β
D ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ
【答案】D
【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D 作答.
【详解】对于A ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD 为平面α，1111,A B B C 分别为直线,m n ，显然满足,//m n n α⊥，而//m α，此时m α⊥不成立，A 错误；
对于B ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面,αβ，11A B 为直线m ，显然满足//,m ββα⊥，而//m α，此时m α⊥不成立，B 错误；
对于C ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面,αβ，1CC 为直线m ，显然满足,ααβ⊥⊥m ，而m β⊂，此时//m β不成立，C 错误；对于D ，因为,m m αβ⊥⊥，由线面垂直的性质知，//αβ，D 正确.故选：D
7．三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面BCD ，DC BD ⊥，22AD BD DC ===，则该三棱锥的外接球表面积为（）
A ．
3π2
B ．
9π2
C ．9π
D ．36π
【答案】C
【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由AD ⊥平面BCD ，DC BD ⊥，知三棱锥A-BCD 可补形为以AD ，DC ，BD 为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R ，则()2
22221449R AD DC BD =++=++=，所以该三棱锥的外接球表面积为24π9πS R ==.故选：C ．
8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA AB =，D ，E ，F 分别是棱1AA ，
1BB ，BC 的中点，则异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是（
）
A ．
53
B ．
55
C ．
510
D ．
155
【答案】C
【分析】在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，即可得到1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角，求出HF ，DH ，DF ，再利用余弦定理计算可得.
【详解】解：如图，在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，由于,G E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C G BE C G =，故四边形1BGC E 为平行四边形，进而
1//C E BG ,
又因为,F H 是,BC CM 的中点，所以//HF BG ，所以1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角.
设4AB =，则2,1,2CF CH AD ===，
从而225HF CF CH =+=，()2
217
DH AC AD CH =+-=2223AF AB BF =-=，224
DF AF AD =+=故0
165175
cos 1245DFH ∠+-=
=⨯⨯,
故异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是
510
.
故选：C
二、多选题
9．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，三者关系不可能是（）
A ．123p p p =<
B ．231p p p =<
C ．132p p p =<
D ．123
p p p ==【答案】ABC
【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，即可求解.
【详解】在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为n N
，所以123p p p ==.故选：ABC.
10．设平面向量(2,0),(1,1)a b ==
，则（
）
A ．a b
= B ．,a b
可以成为一组基底
C ．a 与2a b -
的夹角为锐角
D ．a 在b 上的投影向量为b
【答案】BD
【分析】求出||a ，||b
即可判断A ；由共线向量的条件判断,a b 是否共线，即可判断B ；求得
()
20a a b ⋅-=
，则()
2a a b ⊥- ，即可判断C ；由投影向量的概念求解即可判断D ．
【详解】对于A 选项，22||202a =+= ，22||112b =+=
，||||a b ≠ ，故A 错误；对于B 选项，由于21010⨯-⨯≠，所以,a b 不共线，,a b
可以成为一组基底，故B 正确；
对于C 选项，(2,0),2(0,2)a a b =-=- ，所以
()()220020a a b ⋅-=⨯+⨯-= ，则()
2a a b ⊥- ，所以a
与2a b -
的夹角为直角，故C 错误；
对于D 选项，向量a 在b
方向上的投影向量为||||22
2a b b b b b b ⋅⋅=⋅= ，故D 正确．故选：BD.
11．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器以BC 为轴顺时针旋转，则（
）
A ．有水的部分始终是棱柱
B ．水面所在四边形EFGH 为矩形且面积不变
C ．棱11A
D 始终与水面平行
D ．当点H 在棱CD 上且点G 在棱1CC 上（均不含端点）时，B
E B
F ⋅不是定值【答案】AC
【分析】利用棱柱的几何特征判断A ；根据水面矩形变化情况判断B ；利用线面平行的判定判断C ；利用盛水的体积判断D 作答.
【详解】对于A ，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC ，这两个面始终平行，而//AD BC ，并且BC 始终与水面平行，即有//FG BC ，若点H 在棱1DD 上，由面面平行的性质知，
//EH FG ，若点H 在棱CD 上，//EH BC ，因此该几何体有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A 正确；对于B ，因为水面EFGH 为矩形，边FG 的长不变，EF 随旋转角的变化而变化，矩形EFGH 的面积不是定值，B 错误；
对于C ，因为11A D 始终与BC 平行，而BC 始终与水面平行，并且11A D 不在水面所在平面内，即棱11A D 始终与水面平行，C 正确；
对于D ，当点H 在棱CD 上且点G 在棱1CC 上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形，而水的体积不变，高BC 不变，则底面面积1
2
BE BF ⋅不变，即BE BF ⋅为定值，D 错误.
故选：AC
12．在长方体1111ABCD A B C D -中，若直线1AC 与平面11BCC B 所成角为45°，与平面11CDD C 所成角为
30°，则（）．
A ．1
2AB AA =B ．直线1A D 与1CD 所成角的余弦值为
6
6
C ．直线1B
D 与平面1111D C B A 所成角为30°D ．直线1BD 与平面1A BD 所成角的正弦值为2
2
【答案】BC
【分析】由题意145AC B ∠=︒，130AC D ∠=︒，设12AC =，则12AB BC ==，11,1AD CC ==，即可判断A ；由11A B CD ∥可知1BA D ∠或其补角为直线1A D 与1CD 所成角，利用余弦定理求解可判断B ；由题可知直线1BD 与平面1111D C B A 所成角为11BD B Ð，又12BD =，11BB =，求出11BD B Ð可判断C ；设点1D 到平面1A BD 的距离为h ，由1
1
1
1
D A BD B A DD V V --=利用等体积法求出h ，再利用线面角的定义求解可
判断D ．
【详解】对于A ：如图，设12AC =，连接1BC ，∵AB ⊥平面11BCC B ，∴直线1AC 与平面11BCC B 所成角为145AC B ∠=︒，则12AB BC ==，
连接1C D ，∵AD ⊥平面11CDD C ，∴直线1AC 与平面11CDD C 所成角为130AC D ∠=︒，则1AD =，在1Rt BCC 中，22111CC BC BC =-=，∴1122AB CC AA ==，故A 错误；对于B ：易知11A B CD ∥，∴1BA D ∠或其补角为直线1A D 与1CD 所成角，易知12A D =，13A B =，3BD =，∴12336
cos 6223
BA D +-∠=
=⨯，故B 正确；对于C ：连接11B D ，由1BB ⊥平面1111D C B A ，可知直线1BD 与平面1111D C B A 所成角为11BD B Ð，又12BD =，11BB =，∴1130BD B ∠=︒，故C 正确；
对于D ：易知1
1
1
1
D A BD B A DD V V --=，设点1D 到平面1A BD 的距离为h ，
则112
11222
A BD S h ⋅=⨯⨯⨯=△，取1A D 的中点E ，连接BE ，
由勾股定理可得22102
BE BD DE =-=
，∴111522A BD S E A D B =⨯=△，∴10
5h =，
设直线1BD 与平面1A BD 所成角为θ，则110
sin 10
h BD θ==，故D 错误．故选：BC.
三、填空题
13．化简：AB EA CB CD +-+=
______.
【答案】ED
【分析】由向量的线性运算求解即可.
【详解】()
AB EA CB CD EA AB CB CD EB DB EB BD ED +-+=+--=-=+= .
故答案为：ED
.
14．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高一年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、地理”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是900，540，360.现采用分层抽样的方法从上述学生中选出100位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是______.【答案】50
【分析】先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生人数即可.【详解】因为
1001
90054036018
=++，
所以选择“物理、化学、生物”组合的学生人数为1
9005018
⨯=.故答案为：50
15．在ABC 中，()5π
sin 2sin cos ,,36
C B B C A b =+==，则=a ___________.【答案】21
【分析】先利用正弦定理化角为边求出边c ，再利用余弦定理即可得解.【详解】因为()sin 2sin cos C B B C =+，所以2cos c b A =-，所以3
2332
c b b =⨯
==，
由余弦定理222cos 39921a b c bc A =+-=++=.故答案为：21.
16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内不包括边界的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的最小值为___________.
【答案】
233/
2
33
【分析】根据BD ⊥平面1AAOC 确定AP ⊂平面OAC ，进而P 在OC 上，故当AP OC ⊥时，AP 最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案.
【详解】11A C 与11B D 相交于O ，连接AO ，AC ，BD ，
1AA BD ⊥，AC BD ⊥，1AA AC A = ，故BD ⊥平面1
AAOC ，BD AP ⊥，故AP ⊂平面OAC ，P 是11B CD 内不包括边界的动点，故P 在OC 上，当AP OC ⊥时，AP 最小
AOC 中，2AC =，2
226122AO CO ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭
，根据等面积法：123
3
AC AP OC ⨯==
.故答案为：
23
3
四、解答题
17．正四棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的侧棱长和斜高；(2)求棱锥的表面积.
【答案】(1)侧棱长为3，斜高为5(2)1685
+【分析】（1）设SO 为正四棱锥S ﹣ABCD 的高，则SO ＝1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连接OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高.（2）棱锥的表面积4SBC ABCD S S S =+ 四边形，由此能求出结果.【详解】（1）设SO 为正四棱锥S ﹣ABCD 的高，则SO ＝1，作OM ⊥BC 于M ，则M 为BC 中点，连接OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC ＝4，BM ＝2，则OM ＝2，OB ＝22，在Rt △SOB 中，22183SB SO OB =+=+=，在Rt △SOM 中，5SM =，∴棱锥的侧棱长为3，斜高为5.（2）棱锥的表面积：4SBC
ABCD S S S =+ 四边形1
444(45)16852
=⨯+⨯⨯⨯=+.
18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111,7,cos 7
a b c A +===-，求：(1)a 的值；
(2)sin C 和ABC 的面积．
【答案】(1)8
a =(2)43sin 7
C =，三角形面积为63【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；
（2）由同角三角函数平方关系求sin A ，应用正弦定理求sin C ，三角形面积公式求ABC 的面积.
【详解】（1）由余弦定理得：()222222(11)785111cos 221177777
b c a a a a A bc a a +--+--====-⨯-⨯-，解得8a =．（2）由()1cos ,0,π7A A =-∈，则243sin 1cos 7
A A =-=，由正弦定理得
437sin 37sin 82c A C a ⨯===，又11,8a b a +==，则3b =，1sin 632
ABC S ab C ∴== ．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111B C CC ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B .
(1)求证：111
B C AC ⊥；(2)点E 是线段BC 中点，在线段11A B 上是否存在点F ，使得//EF 平面11AC CA ，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的性质定理即可求解；
（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理即可求解.
【详解】（1）因为111B C C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，
平面11A C CA ⋂平面111BCC B C C =，11B C ⊂平面11BCC B ，
所以11B C ⊥平面11ACC A .
又因为1
AC ⊂平面11A C CA ，所以111B C A C ⊥.
（2）存在，且点F 是线段11A B 的中点，理由如下：
取11A C 的中点G ，连接FG ，GC .如图所示
在111A B C △中，因为F ，G 分别是11A B ，11AC 的中点，
所以11FG B C ∥，且1112
FG B C =.在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点，
所以11EC B C ∥，且1112
EC B C =，所以EC FG ∥，且EC FG
=所以平行四边形FECG 是平行四边形，
所以EF GC ∥.
又因为EF ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，
所以//EF 平面11A C CA .
故存在，且点F 是线段11A B 的中点，使得//EF 平面11AC CA .
20．在斜三棱柱ABC A B C '''-中，ABC 是边长为2的正三角形，侧棱23AA '=，顶点A '在平面ABC
的射影为BC 边的中点O .
(1)求证：平面BCC B ''⊥平面AOA '；
(2)求点C 到平面A AB '的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)613
13
【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直判定定理证明面面垂直即可；
（2）应用等体积方法求解点到平面距离.
【详解】（1）AB AC = 且O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥，
又A O '⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC A O BC ∴⊥'，
,,AO A O O AO A O ⋂=⊂'' 平面AOA '.故BC ⊥平面AOA '，又BC ⊂平面BCC B ''，∴平面BCC B ''⊥平面AOA '.
（2）设点A 到平面B BC '的距离为,h ABC 是边长为2的正三角形，1322322
ABC S =⨯⨯⨯=△，22232323,,32AA AO AA AO A O OA '''==⨯==+∴'= ，22223,2,3,1,,10,
AA AB A O OB A B A O OB A B ''=====∴'+'=' 222124103cos ,242232
AA AB A B A AB AA AB ∠''+-+-∴==='⨯⨯⨯'2213sin cos 1,sin ,4A AB A AB A AB ∠∠∠∴∴'+==
''1392
2sin A AB AA A S A B AB ∠'''=⨯⨯=⨯∴ 根据等体积公式可得1133C A AB A AB A ABC ABC V S h V S OA --'''=⨯==⨯' ，解得61313
=h -21．已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，且3sin cos a C c A a b +=+.
(1)求角C ；
(2)若2,c ABC = 的面积为3，求ABC 的周长.
【答案】(1)π3
C =
(2)6【分析】（1）根据3sin cos a C c A a b +=+，利用正弦定理结合两角和与差的正弦函数得到3sin cos 1C C -=，再利用辅助角公式求解.
（2）由ABC 的面积为3，结合π3
C =，得到4ab =，再利用余弦定理求解.【详解】（1）解：因为3sin cos a C c A a b +=+，所以由正弦定理得3sin sin sin cos sin sin A C C A A B +=+.因为πB A C =--，
所以()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，所以3sin sin sin cos sin A C A C A =+.
因为()0,πA ∈，
所以sin 0A ≠，所以3sin cos 1C C =+，即3sin cos 1C C -=.所以π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，即π1
sin .62C ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为ABC 的面积为3，所以1sin 32
ab C =.由π3
C =，所以4ab =.由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，
又2c =，所以228a b +=.
解得2a b ==.
故ABC 的周长为6a b c ++=.
22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别为棱11B C 和11C D 中点.
(1)请在图中作出过A 、P 、Q 三点的正方体1111ABCD A B C D -的截面（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求交线所围成的多边形周长；
(2)求（1）中的截面与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)作图见解析，2213
+(2)317
17
【分析】（1）作出截面求周长即可.
（2）用几何法找到二面角的平面角，在三角形中求解即可.
【详解】（1）如图，多边形AMPQN 即为所作截面.
因为P 、Q 分别为棱11B C 和11C D 中点，11//C Q B G ，所以11111C Q C P B G B P
==，即11C Q B G =，又11B M MB =，1190PB M GB M ∠=︒=∠，所以11PB M GB M ≅ ，则PM MG =，
在1Rt AA G △中，11
1111112,3AA AG A B B G A B C Q ==+=+=，所以2211
13AG AA AG =+=，同理：NQ NH =，13AH =，
又在1Rt C PQ 中，12122PQ C Q C P =+=，所以截面周长为2213AN NQ QP PM AM AH QP AG ++++=++=+.
（2）由正方体的性质可知只需求截面与平面1111D C B A 所成的锐二面角.连接11A C 交PQ 于E ，连接AE ，
因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面1111D C B A ，PQ ⊂面1111D C B A ，所以1AA PQ ⊥，
又易知11//PQ B D ，1111AC B D ⊥，所以11AC PQ ⊥，
又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂面1A AE ，所以PQ ⊥平面1A AE ，
因为1,A E AE ⊂平面1A AE ，所以
1,A E AE PQ PQ ⊥⊥，又截面与平面1111D C B A 的交线为PQ ，所以1A EA ∠即为所求二面角的平面角，易得111333222442
A E A C ==⨯=，12AA =，所以在1Rt AA E △中，2112342AE A E AA =
+=，所以11317cos 17
A E A EA AE ∠==，即所求二面角的余弦值为31717.。