高考数学全套练习之习题7-4含答案和解析

习题7-4
1. 已知命题“若数列{}n a 为等差数列，且(),,,m n a a a b m n m n
N +==≠∈，则.m n bn am
a n m
+-=
-”现已知数列{}n b ()0,n b n N +>∈为等比数列，且
()
,,,m n b a b b m n m n N +==≠∈，若类比上述结论，则可得到
m n b += .
2.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：
①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 3.,,,a b c d R ∈, 有以下三个论断：①0ab >；②bc ad <；③c d
a
b
<
.若以其中两个为条件，余下一个为结论，写出所有正确的命题：_______________________________________________________. 4. 若规定{}1,210,...,E a a a =的子集{}1
2
,...,n
i i i a a a 为E 的第k 个子集，其中
12111222n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则
（1）{}1,3,a a 是E 的第_________个子集；（2）E 的第211个子集是____________. 5. ①在ABC 中，90B =的充分必要条件是cos c b A =；
②函数2
y =
的最小值是5
2
；
③数列{}n a 的前项和为n S ，若21n S n =+，则数列{}n a 是等差数列； ④空间中，垂直于同一直线的两直线平行；
⑤直线750x y +-=分圆221x y +=所成的两部分弧长之差的绝对值为π.
其中正确的结论的序号为：___________.
6．平面几何中的射影定理为：直角ABC ∆中，,90︒=∠A BC AD ⊥ 则有BC BD AB ⋅=2，如图1；将此结论类比到空间：在三棱锥
BCD A -中，AB 、AC 、AD 三边两两互相垂直，A 在面BCD 的射影为点O ，则得到的类比的结论中 , , ABC BOC BCD S S S ∆∆∆ 有怎样的关系 .
习题7-4
1. n m
n m b a -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
提示：（探索型）猜想m n
b +=n m
n m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
.事实上，利用(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈也可
求到数列的首项和公比，从而得到结果 2. ①②w_w w. k#s5_u.c o*m
提示：（新定义型，多选型）直接验证可知①正确. 当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x ＝y ，得0∈S ，②正确 对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误
取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S T C ⊆⊆,但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误
3. ①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①
提示：（组合型）易知①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①三个命题均为真. 4. （1）5 （2）{}1,25,78,,,,a a a a a
提示：（新定义型）（1）根据新定义113122=5k --=+.（2）要使得
12111222=211
n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，需1
2
111222=1+2+16+64+128n
i i i ---++⋅⋅⋅+，即要使得
1234511111i i i i i -----，，，，分别为1，2，16，64，128，故12345i i i i i ，，，，分别为1，2，5，7，
8.
5.①②⑤.提示：（多选型）①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件，考虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前n 项和为关于n 的二次式，且常数项为0.④由正方体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到
直线的距离2
d =
，半径1r =，劣弧所对圆心角为2π.
6．BCD BO C ABC S S S ∆∆⋅=2
提示：（探索型）类比猜测答案. 实际上，延长DO 交
BC 于H ，则DH ⊥BC ,AH ⊥BC .1
=, 2
ABC
S BC AH ∆⋅⋅1 , 2BOC S BC OH ∆=
⋅⋅1
2
BCD S BC DH ∆=⋅⋅而 直角A H D ∆中，90D A H ∠=︒
A O D ⊥则有
2
A H O H D H
=
⋅
故BCD BO C ABC S S S ∆∆⋅=2
B。