贾汪区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

贾汪区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,
则当
时,等于 ( )
A1B-1C0D
2． 将函数f （x ）=sin2x
的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（
）A ．
B ．
C ．
D ．
3． 如果点P 在平面区域220,210,20x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为
（
）
A
1 B
1-
C. 1- D
1
-4． “x ≠0”是“x ＞0”是的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
6． 如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若
1111ABCD A B C D -P 11A B Q 11DCC D ，则动点的轨迹所在曲线为（ ）
1PBQ PBD ∠=∠Q
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.
7． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）
A ．20
B ．25
C ．22.5
D ．22.75
　8． 若等边三角形的边长为2，为的中点，且上一点满足，
ABC N AB AB M CM xCA yCB =+ 则当取最小值时，（ ）
14
x y
+CM CN ⋅= A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
9． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（
）A ．2
B ．
C ．
D ．13
10．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．11．命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）
A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数
B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数
C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数
D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数
12．直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）　
14．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．15．设实数x ，y 满足
，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为
．　
16．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ．
17．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；BM ED CN BE ③与成角；④与是异面直线．CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是
（写出所有你认为正确的命题）．
18．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
三、解答题
19．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2
(21)20n n a n a n ---=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1
(1)n n
b n a =
+，求数列{}n b 的前项和为n T .
20．（本小题满分12分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，
1111ABCD A B C D －1A A ^ABCD //AB DC ，，，为棱的中点.
AB AD ^1AD CD ＝＝12AA AB ＝＝E 1AA （Ⅰ）证明：面；
11B C ^1CEC （II ）设点在线段上，且直线与平面
，求线段的长.M 1C E AM 11ADD A AM
1
1
C
1
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，.|1||2|)(+--=x x x f x x g -=)(（1）解不等式；
)()(x g x f >（2）对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最小值.111]
)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-m 22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PA 的中点，M 在PD 上．
（I ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若
，则当λ为何值时，平面BEM ⊥平面PAB ？
（Ⅲ）在（II ）的条件下，求证：PC ∥平面BEM ．
23．已知数列a 1，a 2，…a 30，其中a 1，a 2，…a 10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a 10，a 11，…a 20，是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…a 30，是公差为d 2的等差数列（d ≠0）．（1）若a 20=40，求d ；
（2）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a 30，a 31，…a 40，是公差为d 3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
24．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中
随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
贾汪区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
2． 【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x 的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x ﹣
）]=sin （2x ﹣
）；
考察选项不难发现：当x=时，sin （2×
﹣
）=0；
∴（
，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D ．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．　
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域||PQ Z =表示圆上的点到可行域的距离,当在点A 处时,求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离5,∴当在点A 处最小, ||PQ 最小值为15-,因此，本题正确答案是15-.
考点：线性规划求最值.4． 【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x ≠0，但x ＞0不成立．当x ＞0时，一定有x ≠0成立，∴“x ≠0”是“x ＞0”是的必要不充分条件．故选：B ．　
5． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故
=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为
，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．　
6． 【答案】C.
【解析】易得平面，所有满足的所有点在以为轴线，以所在直//BP 11CC D D 1PBD PBX ∠=∠X BP 1BD 线为母线的圆锥面上，∴点的轨迹为该圆锥面与平面的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆Q 11CC D D 锥面得到的图形是双曲线，∴点的轨迹是双曲线，故选C.Q 7． 【答案】C
【解析】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x ，则0.3+（x ﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．故选：C ．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．　
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题知，；设，则
(1)CB BM CM CB xCA y =-=+- BA CA CB =-
BM k BA =
，可得，当取最小值时，，最小值在
,1x k y k =-=-1x y +=14x y +()141445x y
x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭时取到，此时，将代入，则4y x x y =21
,33y x ==()
1,CN 2CM xCA yCB CA CB =+=+ .故本题答案选D.
()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
考点：1.向量的线性运算；
2.基本不等式．
9．
【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与
的夹角为，
可得
=|
|||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|==
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．　
10．【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A 、D ；
对C ：
在（-和（
上单调递增，
但在定义域上不单调，故C 错；故答案为：B 11．【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数．故选：C ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．　
12．【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”，∴命题P 是真命题，∴命题P 的逆否命题是真命题；￢P ：“若直线m 不垂直于α，则m 不垂直于l ”，
∵￢P 是假命题，∴命题p 的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B ．　
二、填空题
13．【答案】　（1，+∞）　
【解析】解：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，当命题p 是假命题时，
命题￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x+a ＞0是真命题；即△=4﹣4a ＜0，∴a ＞1；
∴实数a 的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．　
14．【答案】[]
2,4-考
点：利用函数性质解不等式1111]
15．【答案】　6　．
【解析】解：∵ =（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，∴2x ﹣y+m=0，即y=2x+m ，
作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m ，
由图象可知当直线y=2x+m 经过点C 时，y=2x+m 的截距最大，此时z 最大．由，
解得
，代入2x ﹣y+m=0得m=6．
即m 的最大值为6．故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
16．【答案】1
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值．
【解答】解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，∴
，解得 a=1．故答案为 1．
17．【答案】③④
【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误BM ED 的；②与是平行直线，所以是错误的；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC ANC 为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．,AN AC 60 DM BN
考点：空间中直线与直线的位置关系．
18．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可．
【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ，
所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：故答案为：
三、解答题
19．【答案】（1）n a n 2=；（2）=n T )
1(2+n n .考
点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面所成的角、两点之间的距离等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力
21．【答案】（1）或；（2）.
13|{<<-x x }3>x
【解析】试
题解析：（1）由题意不等式可化为，
)()(x g x f >|1||2|+>+-x x x 当时，，解得，即；
1-<x )1()2(+->+--x x x 3->x 13-<<-x 当时，，解得，即；
21≤≤-x 1)2(+>+--x x x 1<x 11<≤-x 当时，，解得，即 （4分）
2>x 12+>+-x x x 3>x 3>x 综上所述，不等式的解集为或. （5分）
)()(x g x f >13|{<<-x x }3>x （2）由不等式可得，
m x g x x f +≤-)(22)(m x x ++≤-|1||2|分离参数，得，∴m |1||2|+--≥x x m max
|)1||2(|+--≥x x m ∵，∴，故实数的最小值是. （10分）
3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x 3≥m m 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1
22．【答案】
【解析】（I ）证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，
∴AD ⊥平面PAB ．又PB ⊂平面PAB ，
∴AD ⊥PB ．
（II ）解：由（I ）可知，AD ⊥平面PAB ，又E 为PA 的中点，
当M 为PD 的中点时，EM ∥AD ，
∴EM ⊥平面PAB ，∵EM ⊂平面BEM ，
∴平面BEM ⊥平面PAB ．此时，．
（III ）设CD 的中点为F ，连接BF ，FM
由（II ）可知，M 为PD 的中点．
∴FM ∥PC ．
∵AB ∥FD ，FD=AB ，
∴ABFD 为平行四边形．
∴AD ∥BF ，又∵EM ∥AD ，
∴EM ∥BF ．
∴B ，E ，M ，F 四点共面．
∴FM ⊂平面BEM ，又PC ⊄平面BEM ，
∴PC ∥平面BEM ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）a 10=1+9=10．a 20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a 30=a 20+10d 2=10（1+d+d 2）（d ≠0），
a 30=10，
当d ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a 30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a n ]，
其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n+1，…，a 10（n+1）是公差为d n 的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a 10（n+1）关于d 的关系式，并求a 10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a 40=a 30+10d 3=10（1+d+d 2+d 3），
依此类推可得a 10（n+1）=10（1+d+…+d n ）=
．
当d ＞0时，a 10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．
　24．【答案】（1）；（2）
.3,2,1710
【解析】111]
试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有种情况，10其中第组的名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1
（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共10种，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为710
.考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.。