九年级数学上册 全套 学案设计新版新人教版

第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程,体会到方程也是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.
2.正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.
3.通过概念教学,培养观察、类比、归纳能力,同时通过变式练习,对概念的理解具备完整性和深刻性.
学习过程
一、设计问题,创设情境
阅读以下问题:
问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米?
问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
思考:
(1)全场共比赛场;
(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一场,全场共比赛场.由此,我们可以列方程,化简得.
二、信息交流,揭示规律
观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.
1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数?它的最高次数是几?它们有什么共同特点?
2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义:.
三、运用规律,解决问题
【例1】判断下列方程是否为一元二次方程.
(1)3x+2=5y (2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)--1=x2
【例2】将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数: 3x(x-1)=5(x+2).
四、变式训练,深化提高
1.方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?
2.下列方程中,无论a为何值总是有关于x的一元二次方程的是()
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a
B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
3.a为何值时关于x的方程(3a+1)x2+6ax-3=0是一元二次方程?
4.k为何值时方程(k2-9)x2+(k-5)x+3=0不是关于x的一元二次方程?
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)5x2-1=4x (2)4x2=81(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
6.根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
五、反思小结,观点提炼
1.通过列方程解决问题你复习了哪几种类型的应用题?你感觉本节课哪种应用题是以前没有接触到的?
2.本节重点学习的是什么方程?一般形式是什么?特别应该注意什么?
3.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题?
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:x2=2(2-x)
问题2:(100-2x)(50-2x)=3 600
问题3:28(x-1)x(x-1)x(x-1)=28x2-x=56
二、信息交流,揭示规律
1.含有一个未知数,未知数的最高项数是
2.
2.等号两边都是整式,只含一个未知数,并且未知数的的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.
三、运用规律,解决问题
【例1】 (1)(3)(4)不是一元二次方程,(2)是一元二次方程
【例2】 3x2-8x-10=0,二次项是3x2,系数是3;一次项是-8x,系数是-8;常数项是-10.
四、变式训练,深化提高
1.a≠ 时此方程为一元二次方程,a=2,b≠0时此方程为一元一次方程.
2.D
3.a≠-
4.K=±3
6.(1)4x2-25=0
(2)x2-2x-100=0
(3)x2-3x+1=0
五、反思小结,观点提炼
略
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法(第1课时)
学习目标
1.知道形如x2=a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.
2.知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方.
3.能够熟练、准确地运用直接开平方法求一元二次方程的解.
4.在学习与探究中体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比的方法进行学习.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:求出或表示出下列各数的平方根.
(1)121;(2)-25;(3)0.81;(4)0;(5)3;(6).
问题2:一桶某种油漆可刷面积为1 500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
问题3:求出下列各式中x的值,并说说你的理由.
(1)x2=49;(2)9x2=16;(3)x2=6;(4)x2=-9.
二、信息交流,揭示规律
一般地,对于方程x2=p如何求其根呢?
1.当p>0时, .
2.当p=0时, .
3.当p<0时, .
三、运用规律,解决问题
探究解方程:(x+3)2=25.
解方程x2=25得x= ,由此想到:
于是方程:(x+3)2=25的两个根为x1= ,x2=.
四、变式训练,深化提高
1.题组一:
解下列方程:
(1)2x2-8=0;(2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0;(4)x2-4x+4=5.
2.归纳:
如何解形如(x+m)2=n(其中m,n,p是常数)的简单一元二次方程形式呢?
3.题组二:
明察秋毫.
(1)下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程,你认为他解得对吗?如果有错,指出具体位置并帮他改正.
-5=0
解:=5①
y+1=②
y=-1③
y=3-1④
(2)市区内有一块边长为15米的正方形绿地,经城市规划,需扩大绿化面积,预计规划后的正方形绿地面积将达到400平方米,这块绿地的边长增加了多少米?
题组三:
解下列方程:
(1)3(x-1)2-6=0;(2)9x2+6x+1=4.
五、反思小结,观点提炼
1.本节课你学会了哪些新知识?
2.若方程变为x2=p(p≥0)或(x+m)2=n(n≥0)的形式(其中m,n,p是常数),则可以用方法求出其解.
参考答案
一、设计问题,创设情境
(1)±11;(2)无;(3)±0.9;(4)0;(5)±;(6)±.
问题2:5 dm
问题3:(1)x=±7;(2)x=±;(3)x=±;(4)无.
二、信息交流,揭示规律
1.根据平方根的定义,方程有两个不等的实数根
2.方程有两个相等的实数根,x1=x2=0
3.因为对于任意实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根
三、运用规律,解决问题
±5x+3x+3=5x+3=-528
四、变式训练,深化提高
1.题组一:(1)x=±2;(2)x=±;(3)x1=-3,x2=-9;(4)x=2±.
2.当n≥0时,x+m=±,x=-m±;当n<0时,方程无解.
3.题组二:(1)第②步,结果应为y+1=±,第③步应为y=-1±,第④步应为
y=-3±3(2)5米.
题组三:
(1)x=1±;(2)x1=-1,x2=.
五、反思小结,观点提炼
1.略
2.直接开平方
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法(第2课时)
学习目标
1.通过对比、转化,总结得出配方法的一般过程,提高推理能力.
2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.
3.发现不同方程的转化方式,运用已有知识解决新问题.
4.通过配方法的探究活动,培养勇于探索的良好学习习惯.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:解一元二次方程的基本思路
问题2:什么样的方程可用直接开平方法解?
问题3:解方程:(1)(x-2)2-6=0;(2)(2x+3)2+1=0;(3)2(x-8)2=50;(4)x2+2x+1=5.
问题4:(1)因式分解的完全平方公式:
(2)将下列各式配成完全平方式
①x2+2x+ =(x+ )2
②x2-8x+ =(x- )2
③y2+5y+ =(y+ )2
④y2-y+ =(y- )2
你发现了什么规律?
二、信息交流,揭示规律
1.试一试:与方程x2+2x+1=5②比较,
怎样解方程x2+2x-4=0①?
2.回顾解方程过程(见课件).
3.想一想:以上解法中,为什么在方程③两边加1?加其他数可以吗?如果不可以,说明理由.
4.像这样通过配成完全平方形式的方法得到了一元二次方程的根,这种方法叫做配方法.
总结:
1.用配方法解一元二次方程的基本思路是什么?
2.配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
注意:配方的关键是,方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
练习:
1.用配方法解方程x2+8x+7=0时方程可化为()
A.(x-4)2=9
B.(x+4)2=9
C.(x-8)2=16
D.(x+8)2=57
2.用配方法解方程x2+x=2时方程两边应同时加上.
3.填空:配成完全平方式
(1)x2-2x+=(x-1)2;(2)x2+6x+ =(x+3)2;(3)x2-4x+4=(x- )2;(4)x2+ +36=(x+6)2.
三、运用规律,解决问题
【例题】解下列方程:
(1)x2-8x+1=0;(2)2x2+1=3x;(3)3x2-6x+4=0.
四、变式训练,深化提高
题组一:解下列方程:
(1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12;(3)4x2-6x-3=0;(4)3x2+6x-4=0.
题组二:列方程解应用题
如图,在一块长35 m,宽26 m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为850 m2,道路的宽应为多少?
五、反思小结,观点提炼
本节课你学会了哪些新知识?
1.配方法是指.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤:.
3.通过以上训练题目进一步体会转化的数学思想.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:降次.
问题2:x2=a或(x+m)2=a(a≥0)类型的方程.
问题3:(1)x=±+2;(2)无;(3)x=13或3;(4)x=±-1
问题4:(1)a2+2ab+b2=(a+b)2
(2)①11②164③④
规律:常数项等于一次项系数一半的平方
二、信息交流,揭示规律
1.x2+2x=4x2+2x+1=4+1
3.为了构成完全平方式,不可以.
总结:1.略2.略
练习:1.B2.0.253.(1)1(2)9(3)2(4)12x
三、运用规律,解决问题
(1)x=4±(2)x=1,0.5(3)无解
四、变式训练,深化提高
题组一:(1)无解(2)x1=6,x2=-2(3)x=(4)x=-.
题组二:道路宽为1 m.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法(第1课时)
学习目标
1.经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法.
学习过程
一、设计问题,创设情境
用配方法解下列方程,并回忆用配方解一元二次方程的步骤是什么.
(1)x2+x-1=0;(2)2x2+8x-3=0.
二、信息交流,揭示规律
你能用配方法求解ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
推导求根公式:ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),师生共同规范步骤(见课件):
解:移项,得ax2+bx=
二次项系数化为1,得x2+x=
配方,得x2+x+()2=-+()2
即=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴-≥0
直接开平方,得x+=±
即x=
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
归纳:一般地,对于ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程有两个根,为. 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
用公式法解一元二次方程的前提:
1.必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
三、运用规律,解决问题
【例1】运用公式法解一元二次方程:2x2+x-6=0;依次完成下列各空.
a= ,b= ,c= .b2-4ac= = .x= = .
即x1= ,x2= .
【例2】解方程5x2-4x-12=0.
跟踪练习
(1)2x2+5x-3=0;(2)(x-2)(3x-5)=0;(3)4x2-3x+1=0.
四、变式训练,深化提高
用公式法解方程:
题组一:1.x2+3=2x.
2.x2-x-1=0
3.2x2-2x+1=0
题组二:课本第12页练习第1题.
(1)x2+x-6=0(2)x2-x-=0(3)3x2-6x-2=0(4)4x2-6x=0(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2x-4)=5-8x
五、反思小结,观点提炼
1.公式法解方程的判别式和求根公式是什么?
2.解题步骤是什么?
3.需要注意什么问题?
参考答案
一、设计问题,创设情境
(1)x1=-+,x2=--(2)x1=-2+,x2=-2-.
二、信息交流,揭示规律
-c --
---归纳:
--
三、运用规律,解决问题
【例1】 21-61+4849---
-2
【例2】x=2或-1.2
跟踪练习
(1)x=-3或0.5(2)x=2或(3)无解
四、变式训练,深化提高
题组一:1.x1=x2=
2.x1=1,x2=-
3.x1=x2=
题组二:(1)x1=-3,x2=2(2)x=(3)x=(4)x1=0,x2=(5)x=±
(6)x=-1±
五、反思小结,观点提炼
略
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法(第2课时)
学习目标
1.进一步掌握用公式法解一元二次方程.
2.不解方程会用判别式判别方程根的情况,根据所给方程的根的情况求系数之间的关系.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.回顾知识:用公式法解一元二次方程的步骤是什么?
2.解方程:(1)x2-7x-18=0;(2)x2+3=2x;(3)(x-2)(1-3x)=6.
思考:以上方程的根有什么规律?
二、信息交流,揭示规律
1.一元二次方程的根有三种情况(根的判别式Δ=b2-4ac):
2.不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0
(2)2x2-x+2=0
(3)9x2+12x+4=0
三、运用规律,解决问题
题组一:解下列方程:
(1)x2-2x-8=0;(2)9x2+6x=8;(3)(2x-1)(x-2)=-1;(4)3y2+1=2y.
题组二:
关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m .
变式1:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个相等的实数根,则m .
变式2:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0没有实数根,则m .
四、变式训练,深化提高
1.[用一用]
解决本章引言中的问题:要设计一座2 m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
2.[想一想]
清清和楚楚两位同学刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0,清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定,根的情况跟m的值有关”.那你认为呢?并说明理由.
五、反思小结,观点提炼
本节课主要学习的知识是什么?
在解决问题中要注意哪些事情?
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.化为一般形式,找出a,b,c;计算判别式;代入公式.
2.(1)x1=9,x2=-2;(2)x1=x2=;(3)无实数根.
二、信息交流,揭示规律
1.Δ>0时,有两个不等实根;Δ=0时,有两个相等实根;Δ<0时,无实根
2.(1)两个不等实根;(2)无实根;(3)两个相等实根.
三、运用规律,解决问题
题组一:(1)x1=-2;x2=4;(2)x1=;x2=-;(3)x1=1,x2=;(4)y1=y2=.
题组二:m>-,且m≠0
变式1:m=-;变式2:m<-
四、变式训练,深化提高
1.[用一用]
=,即BC2=2AC.
设雕像下部高x m,于是得方程x2=2(2-x)
整理得:x2+2x-4=0.解这个方程,得
x=--- )
=- 0=-1±,
x1=-1+,x2=-1-.精确到0.001,x1≈ .236,x2≈-3.236.
考虑实际意义,x≈ .236.所以雕像下部高度应设计约为1.236 m.
2.[想一想]
此方程有两个不相等的实数根,因为判别式Δ=b2-4ac=(2m-1)2-4(m-1)=4m2+5>0,所以方程一定有两个不相等的实数根.
五、反思小结,观点提炼
略
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.掌握用因式分解法求一元二次方程的解.
2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.我们已经学过了几种求一元二次方程的解的方法?
2.分解因式有几种方法?
二、信息交流,揭示规律
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x秒物体离地高度(单位:米)为10x-4.9x2,你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01 s)
10x-4.9x2=0①
x(10-4.9x)=0x=0,10-4.9x=0,②
x1=0,x2≈ .04
归纳:如果a·b=0,那么或.
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开方降次,而是先使方程化为两个等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
三、运用规律,解决问题
1.小试牛刀:x2-4=0.
2.解方程
(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+.
3.因式分解法解方程的步骤:
(1)方程右边化为.
(2)将方程左边分解成两个的乘积.
(3)至少因式为零,得到两个一元一次方程.
(4)两个就是原方程的解.
四、变式训练,深化提高
1.直接回答出下列各方程的根分别是多少.
(1)x(x-2)=0;(2)(y+2)(y-3)=0;(3)(3x+2)(2x-1)=0;(4)x2=x.
2.下面的解法正确吗?如果不正确,错在哪里?
解方程(x-5)(x+2)=18
解:原方程化为(x-5)(x+2)=3×6
由x-5=3,得x=8;
由x+2=6,得x=4.
∴原方程的解为x1=8或x2=4.
3.比一比,看谁算得又快又准确:(课本第14页练习题第1题)
(1)x2+x=0;(2)x2-2x=0;(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;(6)(x-4)2=( 5-2x)2.
4.试一试:把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
五、反思小结,观点提炼
本节课你学会了哪些新知识?
1.数学思想:
2.用因式分解法求“ab=0型”方程的步骤是什么?
3.做题中还有什么收获?
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.直接开平方法,配方法,公式法.
2.(1)提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c);
(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2;
)“x2+(a+b)x+ab”型:x2+(a+b)x+ab=(x+a)· x+b).
二、信息交流,揭示规律
a=0b=0因式分解一次式的乘积
三、运用规律,解决问题
1.解:(x+2)(x-2)=0,
x+2=0或x-2=0,
∴x1=-2,x2=2.
2.(1)x1=2,x2=-1.(2)x1=-;x2=.
3.(1)0(2)因式(3)一个(4)一元一次方程的解
四、变式训练,深化提高
1.(1)x1=0,x2=2;(2)y1=-2,y2=3;(3)x1=-,x2=;(4)x1=0,x2=1.
2.(x-5)(x+2)=18整理为x2-3x-28=0,(x-7)(x+4)=0,x1=7,x2=-4
3.(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=2;(3)x1=x2=1;(4)x1=-,x2=;(5)x1=-,x2=;(6)x1=1,x2
=3.
(4)(6)两题也可以用直接开方法.
4.解:设小圆形场地的半径为r.根据题意,得(r+5)2π=2×r2π,(r+5)2=2r2,
∴r1=5+5,r2=5-5<0(舍).
∴小圆形场地的半径为(5+5)m.
第二十一章一元二次方程
21.2 一元二次方程解法复习
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.
2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.
3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.
学习过程
一、设计问题,创设情境
(一)温故知新
1.一元二次方程的一般形式是什么?
2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?
3.你能说一下哪些方面能反映一元二次方程的系数与根的关系吗?
(二)探究活动
1.一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?
2.你发现了吗:如果x 2
+px+q=0有两个根x 1,x 2,那么这两个根与系数有怎样的关系?
3.一元二次方程的一般形式ax 2
+bx+c=0(a ≠0)如果有两个根x 1,x 2,那么它们与系数会有怎样的关系呢?你能推导出你的结论吗?
二、信息交流,揭示规律 1.学生尝试推导得出的结论 方法一:ax 2
+bx+c=0(a ≠0)➡x 2
+ x+
=0, 那么就有:x 1+x 2=- ,x 1x 2=
. 方法二:根据求根公式x=
- -
(b 2
-4ac ≥0),
推导:
2.师生共同得出结论:如果一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的两个根分别是x 1,x 2,那么:
3.教师总结:上述结论称为一元二次方程的根与系数的关系,也叫韦达定理(可以根据学生能力决定是否给出定理的名字).
三、运用规律,解决问题
1.例题:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x 1与x 2的和与积:
(1)x 2-6x-15=0;(2)3x 2+7x-9=0;(3)5x-1=4x 2
.
2.跟踪练习:不解方程,求下列方程两个根的和与积:
(1)x 2-3x=15;(2)3x 2+2=1-4x ;(3)5x 2-1=4x 2+x ;(4)2x 2
+x+2=3x+1.
3.学生讨论:通过前面的练习,总结在运用关系解决问题时对步骤有什么要求?
四、变式训练,深化提高
1.设x 1,x 2是方程x 2
-4x+1=0的两个根,则x 1+x 2= ,x 1x 2= .
2.已知一元二次方程x 2
+px+q=0的两根分别为-2和1,则p= ,q= .
3.如果-1是方程2x 2
-x+m=0的一个根,则另一个根是 ,m= . 4.已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是 .
5.判断正误:以2和-3为根的方程是x 2
-x-6=0.( )
6.设想x 1,x 2是方程2x 2
-6x+3=0的两根,不解方程求下列式子的值:
+
;
+ ; x 2+x 1
.
7.已知x 1,x 2是方程2x 2
+2kx+k-1=0的两个根,且(x 1+1)(x 2+1)=4.
(1)求k 的值;(2)求(x 1-x 2)2
的值.
五、反思小结,观点提高
1.本节课我们学习了一个什么关系?
2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤?
3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了?在解决问题的过程中你有哪些收获和疑惑?
参考答案
一、设计问题,创设情境
(一)温故知新
1.ax 2
+bx+c=0(a ≠0).
2.x=
- -
(b 2
-4ac ≥0).
3.根的判别式 求根公式. (二)探究活动
2.x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q
x 1+x 2=- ,x 1x 2=
二、信息交流,揭示规律 1.x 1+x 2=
- -
+
- - -
=
- - - - -
=- =-
.
x 1x 2=
- -
·
- - -
=
- ) - - )
= =
.
2.x 1+x 2=- ;x 1x 2=
. 三、运用规律,解决问题
1.解:(1)x 1+x 2=-(-6)=6,x 1x 2=-15. (2)x 1+x 2=-
,x 1x 2=-3. (3)方程化为4x 2
-5x+1=0.
x 1+x 2= ,x 1x 2=
.
2.解:(1)原方程化为x 2
-3x-15=0, 则x 1+x 2=3,x 1x 2=-15.
(2)原方程化为3x 2
+4x+1=0, 则x 1+x 2=- ,x 1x 2=
. (3)原方程化为x 2
-x-1=0, 则x 1+x 2=1,x 1x 2=-1.
(4)原方程化为2x 2
-2x+1=0, 则x 1+x 2=1,x 1x 2=
. 3.略
四、变式训练,深化提高
1.4 1
2.1 -2
3.
-3 4.2 -1 5.× 6.解:根据根与系数的关系,x 1+x 2=3,x 1x 2=
,所以
+ =
=
=2,
+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×=6,
x2+x1=(x1+x2)x1x2=3×=.
7.解:(1)根据根与系数的关系,x1+x2=-k;x1x2=-,
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+(-k)+1=4,
解得k=-7.
(2)因为k=-7,所以x1+x2=7,x1x2=-4,
则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65.
第二十一章一元二次方程
21.2 一元二次方程解法复习
学习目标
1.进一步巩固一元二次方程的定义,灵活运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程,建立知识体系,体会转化等数学思想.
2.综合运用一元二次方程的知识解决有关问题,培养解题能力,感受数学的严谨性,体验学习数学的成就感.
学习过程
一、基础知识回顾
知识点一:
1.一元二次方程的概念:整式方程叫一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式:.
基础训练:
1.下列一元二次方程有()
(1)4x-x2+=0;
(2)3x2-y-1=0;
(3)x2-3=x(x-1);
(4)x2+x=0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.将一元二次方程x(3x-1)=2x2+5化为一般形式为.其中二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
知识点二:
1.解一元二次方程的关键是什么?
2.解一元二次方程的方法有哪几种?
3.如何选择解法?
二、典型例题
用适当的方法解下列方程:
(1)(2x-1)2=1;(2)x2+6x=7;(3)2y2-1=2y;(4)x· x-2)=x-2.
归纳:选择一元二次方程的解法的优先顺序是:先考虑能否直接用开平方法和因式分解法,如果不能用这两种特殊方法,再用公式法和配方法.
三、变式训练,深化提高
1.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-1)2=3;(2)t2-4t=1;(3)2y2-4y-2=0;(4)x(x-1)=3(x-1).
2.方程x2=2x的解是.
3.判定方程x2-4x+5=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
4.把方程x2-4x+3=0配方成(x+k)2=h的形式,则k= ,h= .
5.三角形两边长分别是3和6,第三边是方程x2-6x+8=0的根,则这个三角形的周长是()
A.11
B.13
C.11或13
D.11和13
6.如图,AO=50 cm,OC=55 cm,蚂蚁甲以2 cm/s的速度从A爬到O,蚂蚁乙以3 cm/s的速度从O爬到C,问:经过几秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为300 cm2?
四、反思小结,观点提炼
1.形如的方程可以直接用开平方法求解.
2.方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式,因为这样能把方程的一个根丢掉,要利用因式分解法求解.
3.当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解.
4.当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解,公式法在任何情况下都可用.
参考答案
一、基础知识回顾
知识点一:
1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)
2.ax2+bx+c=0(a≠0)
基础训练:
1.C
2.x2-x-5=01-1-5
知识点二:
1.降次——把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解.
2.(1)直接开平方法;(2)配方法;(3)公式法;(4)因式分解法.
3.(1)“不完整形式”的方程:“缺一用直;缺常用分”.
)“完整形式”的方程:“先分后公,最后选配”.
二、典型例题
(1)x1=1,x2=0;(2)x1=1,x2=-7;(3)y1=,y2=-;(4)x1=2,x2=1.
三、变式训练,深化提高
1.(1)x1=1+,x2=1-;(2)t1=2+,t2=2-;(3)y1=1+,y2=1-;(4)x1=1,x2=3.
2.x1=0,x2=2
3.C
4.-21
5.B
6.解:设经过x秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为300 cm2.
根据题意列方程得:(50-2x)· x=300,
解得x1=20(舍),x2=5.
答:经过5秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为300 cm2.
四、反思小结,观点提炼
x2=p或(x+k)2=h
第二十一章一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)
学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求解,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.
2.理解“连续传播”型问题的实质,会检验所得结果是否合理.
3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.
学习过程
一、设计问题,创设情境
(一)前期回顾
1.解决问题:甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是几岁?
2.用一元一次方程解决实际问题需要哪些步骤?
3.简单回顾一元二次方程的解法有哪些?
(二)探究活动
1.探究一:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
2.问题引导:(1)问题中有哪些数量关系?
(2)如何理解“经过两轮传染后共有……”?
(3)问题中有怎样的相等关系?
(4)如何选取未知数并根据相等关系列出方程?
3.如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
二、信息交流,揭示规律
(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人;
(2)则第一轮的传染源有人,有人被传染;
(3)第二轮的传染源有人,有人被传染;
(4)两轮过后共有人患了流感.
(5)你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗?
三、运用规律,解决问题
1.根据上一环节的解题规律乘胜追击,解决问题“如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?”
2.对于传播问题,教师引导学生进行规律的探索“对类似的传播问题的数量关系你有新的认识吗?”学生交流讨论.
3.应用新知:某种植物的主干长出若干树木的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分枝,主干、枝干和小分枝的总数是91,每个枝干长出多少小分枝?
4.教师引导学生找到“枝干”的问题与前面的“传播问题”有何异同?教导学生针对不同的实际问题,找到不同的解决思路,学会具体问题具体分析.
四、变式训练,深化提高
1.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,全组有多少名同学?
2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
3.一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新数与原数的积为736,求原数.
五、反思小结,观点提高
1.用一元二次方程解决实际问题你认为要经过哪些过程?
2.比较以前的用一元一次方程解决实际问题,你认为我们这节课更要注意什么问题?谈谈你的感想.
3.本节课我们主要解决了一类实际问题,你能形象的定义一下吗?
参考答案
一、设计问题,创设情境
(一)前期回顾
1.解:设五年前乙的年龄是x岁,则
2x+5=x+5+15,
解得x=15,
那么x+5=15+5=20.
答:乙现在的年龄是20岁.
2.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是:审;设;列;解;答.
3.一元二次方程的解法一般有:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
(二)探究一
(5)列方程1+x+x(1+x)=121.
解方程,得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去)
平均一个人传染了10个人.
二、信息交流,揭示规律
(2)1;x.(3)1+x;x(1+x).(4)1+x+x(1+x).
三、运用规律,解决问题
1.解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,
列方程,1+x+x(1+x)=121,
解方程,得x1=10,x2=-12,
根据题意,舍x2=-12,
答:每轮传染中平均一个人传染了10个.
新增人数为10×121=1 210,三轮共传染了121+1 210=1 331人.
2.略
3.解:设每个枝干长出x个小分枝.
根据题意可列方程1+x+x2=91,
整理得x2+x-90=0,
解得x1=9,x2=-10(不符合题意,舍去).
答:每个枝干长出9个小分枝.
4.略
四、变式训练,深化提高。