行列式的定义课件

其中 aij 叫做二阶行列式的元素,元素aij的第一个
下标 i 称为行标，第二个下标 j 称为列标.a如12
表示这个元素位于（行列式的）第一行、第二列.
a11
a1221
a22
图 1.1
把a11到 a22的实线连接称为主对角线，a12 到a21虚线
连接称为次对角线(或副对角线). 二阶行列式的
0
an1,2 an1
四、小结
1、二阶和三阶行列式的计算方法 2、n阶行列式的定义 3、4种特殊的行列式
1. n2个数排成n行n列,两边加竖线就是一个n阶
行列式.共有 n!项, 每项都来自于不同行不同列
的几个元素的连乘积 a1 j1 a2 j2 ...anjn , 其中 j1 j2... jn
为列标的一个n阶排列.
2. 每项符号的确定:当列标 j1 j2... jn 为偶排列, 项取正号;当列标 j1 j2... jn 为奇排列, 该项取负号.
定义形式：
定义 2
D
(1) (i1i2...in ) a a i11 i2 2 ...ainn
i1i2 ...in
即把列标写成标准排列 i1i2...in 为行标的一个
n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式.
定义 3
D (1) a a ...a (i1i2 ...in ) ( j1 j2 ... jn )
解 共有4!=24项. 乘积 a12a24a32a41 不是D中的一项，
因为其中有两个元素 a12 , a32 均取自第2列.
x1 1 2
例5 已知 D 1 x
32
1 x
1 1
，求
x3 的系数.
1 1 2x 1
解 由行列式的定义，展开式的一般项为
x a 要出现 (1) a a a a ( j1 j2 j3 j4 ) 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4
构成一个n级排列. 若用D表示行列式,则
D
(1) ( j1 j2... jn ) a1 j1 a2 j2 ...anjn
j1 j2 ... jn
（2） 表示当行标为标准排列时,对列标的每一 j1 j2 ... jn 种排列所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，
从上面的分析及定义,可得到n阶行列式的另一种
0 0
a11a22 ann
ann
4. 副对角行列式
0
称
0 D
0 a1n a2,n1 0
为副对角行列式.
an1
00
根据行列式的定义得
0 0 D
an1
0 a2,n1
0
a1n
0
0 1 1n a1n
0
an1
1 1n 1 1n1
1 12 a1n a2,n1 an1,2 an1
1 a a nn(n1) 1 1n 2,n1
即符号可写成 (1) j1 j2 ... jn
由此得出行列式的一般义:
定义1 由 n2 个数排成n行n列，写成
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1)称为n阶行列式,其中 aij 为i第行,第j列的元素;
其值为 n! 项,每一项取自不同行不同列的n个元素
的连乘积,即 a1 j1 a2 j2 ...anjn 的代数和 . 其中 j1 j2... jn
第一章 行列式
§1.2 行列式的定义 一、二阶和三阶行列式 二、n阶行列式 三、特殊阶行列式 四、小结
1.二阶行列式
将 a11, a12 , a21, a22 四个数排成两行两列的数表,
记作 a11 a21
a12 a22
,称此为二阶行列式.用 D 表示，
并规定 D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
3的项，则
iji
需三项取到 x .显然行列式中含 x3的项仅有两项，
它们是：(1) (1234) a11a22a33a44 及 (1) (1243) a11a12a34a43
即
x x x 1 x3 及 (1) x x 1 2x 2x3
故
x3 的系数为 1 (2) 1
三、特殊行列式
下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶 行列式.
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
2. 上三角形行列式
a11 a12
a1n
称 D 0 a22
a2n
为上三角形行列式.
00
ann
根据行列式的定义得
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
1
则 0 或 2 故当 0 或 2时,D 0
2.三阶行列式
类似地，可以定义三阶行列式.
a11 a12 a13
设有九个数排成三行三列的数表 a21 a22 a23
并规定
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11 a12 a1n
0 a22 a2n
1
a a a t 12n
11 22
nn
0 0 ann a11a22 ann .
3. 下三角形行列式
a11 0 0
称 D a21 a22 0
an1 an2 an3
0
0 为下三角形行列式.
ann
a11 0 0
同理可得 D a21 a22 0
an1 an2 an3
1 32 例3 计算三阶行列式 D 1 0 3
2 15
解: D 105 33 2 2(1)1 2 0 2
3(1)5 131 0 18 2 0 153 28
注意 对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式, 为了研究4阶及更高阶的行列式,下面我们介绍 n阶行列式.
二、n阶行列式
由二、三行列式值的规律特点，不难得出:
i1 j1 i2 j2
in jn
其中 i1i2...in 为行标的一个n阶排列, j1 j2... jn
为列标的一个n阶排列.
例4 四阶行列式
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
共有多少项？ 乘积 a12a24a32a41 是D中的项吗？
an1,2 an1
a2,n1 0
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
0 0 D
an1
0 a2,n1
0
a1n
0
n ( n 1)
1 2 a1n a2,n1
a31 a32 a33 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31
由上式可见，三阶行列式共有 3!=6 项,每项均为
选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以 正负号，三阶行列式可用对角线法则记忆,其规律 如图1.2：
a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
1．对角行列式
a11 0 0
称 D 0 a22 0
0 00
0
0 为对角行列式.
ann
根据行列式的定义得
a11 0 0
0
解
0 D
a22
0
0
分析
0 00
ann
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
值可以说成是主对角线元素的乘积减去次对角线
元素的乘积.
可以看出，二阶行列式一共有 22个元素,共 2! 项；
二阶行列式值中的每项均为选自不同行、不同列
的两个元素的乘积.
例1 计算二阶行列式 3 1 12
解: 3 1 3 2 (1) 1 7
12
例2 设 D= 2
2
,问
为何值时，D
0
1
解: D= 2 2 22 令 D 0