2014届高三数学一模试卷 理 北师大版

北京市西城区2014年高三一模试卷
数 学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U
A B =
（ ）
（A ）(,2]-∞
（B ）(,1]-∞
（C ）(2,)+∞
（D ）[2,)+∞
2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2
（B ）1
2 （C ）114 （D ）114-
3．在极坐标系中，过点
π(2,)
2且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=
（B ）
2θπ
=
（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ
4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 16
5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）
（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x
（D ）
22
()cos sin =-f x x x
6． “8m <”是“方程22
1
108x y m m -=--表示双曲线”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设
备使用了()n n *
∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于
（ ） （A ）3 （B ）4
（C ）5
（D ）6
8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合
的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）
（A ） 4个
（B ）6个
（C ）10个
（D ）14个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．设复数1i
i 2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．
10. 若抛物线
2:2C y px
=的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为
_____．
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.
B
A
D
C
. P
12．若不等式组1,0,26,a
x y x y x y ⎧⎪⎪⎨
+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是
_______.
13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）
14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，
1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：
○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]；
○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；
○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知2
2
2
b c a bc +=+.
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）如果
cos 3=
B ，2b =，求△AB
C 的面积.
16．（本小题满分13分）
在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
A D C
P
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了
()*
∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n 的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111
ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面
11
BCC B 都是矩形，E 是CD 的
中点，
1D E CD
⊥，22AB BC ==.
（Ⅰ）求证：1⊥BC D E
；
（Ⅱ）求证：
1B C
// 平面
1
BED ；
（Ⅲ）若平面11
BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π
3，求线段1D E 的长度.
18．（本小题满分13分）
已知函数
2
ln ,
,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))
f 处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.
19．（本小题满分14分）
1
已知椭圆2
21
2x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、
D 两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；
（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分13分）
在数列
{}
n a 中，
1
()n a n n *=
∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列
记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111
,,,2358为{}
n a 的一个4项子列.
（Ⅰ）试写出数列{}
n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果
{}
n b 为数列
{}
n a 的一个5项子列，且
{}
n b 为等差数列，证明：
{}
n b 的公差d 满
足1
08d -<<；
（Ⅲ）如果
{}
n c 为数列
{}
n a 的一个(3)m m ≥项子列，且
{}
n c 为等比数列，证明：
1231122m m c c c c -++++-
≤.
北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2014.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．2
5-
10．8 4x =-
11
．．(3,5) 13．48 14．○2,○3
注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 2
2
2
b c a bc +=+，
所以
2221
cos 22b c a A bc +-==
， ……………… 3分
又因为 (0,π)∈A ，
所以
π
3A =
. ……………… 5分
（Ⅱ）解：因为
cos 3=
B ，(0,π)∈B ，
所以
sin B ==
. ………………7分
由正弦定理 sin sin =
a b
A B ， ………………9分
得
sin 3sin =
=b A
a B . ………………10分
因为 2
2
2
b c a bc +=+，
所以 2
250--=c c ， 解得
1=c
因为 0>c ，
所以
1=c . ………………11分
故△ABC
的面积1sin 22S bc A ==
. ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分
（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个， 所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分
所以按分层抽样法，购买灯泡数
24()*
=++=∈n k k k k k N ， 所以n 的最小值为4． ……………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，
所以
33127(0)C (1)464P X ==⨯-=
， 123
1127
(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2
213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=
，
333
11
(3)C ()464P X ==⨯=. ……………… 11分
所以随机变量X 的分布列为：
………………12分
所以X 的数学期望
2727913()0123646464644E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．
………………13分
（注：写出
1(3,)4X
B ，3311()
C ()(1)44k k
k
P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11
BCC B 是矩形，
所以 BC CD ⊥，1
BC CC ⊥，
又因为
1=CD CC C
，
所以 BC ⊥平面11
DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂
平面
11
DCC D ，
所以
1BC D E
⊥. ………………4分
（Ⅱ）证明：因为 1111
//, BB DD BB DD =，
所以四边形11D DBB 是平行四边形.
连接1
DB 交
1D B
于点F ，连接EF ，则F 为
1
DB 的中点.
在
1∆B CD
中，因为DE CE =，
1DF B F
=，
所以
1//EF B C
. ………………6分
又因为 1⊄
B C 平面
1
BED ，⊂EF 平面
1
BED ，
所以
1//
B C 平面
1
BED . ………………8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E
⊥，
又因为 1D E CD
⊥，BC CD C =，
所以
1D E ⊥
平面ABCD . ………………9分
设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，
1
ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴
1
如图建立空间直角坐标系， 设
1D E a
=，则
11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)
E B D a C B a G .
设平面1
BED 法向量为(,,)x y z =n ，
因为
1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，
由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩
令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分 设平面11
BCC B 法向量为
111(,,)
x y z =m ，
因为
1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，
由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
m m 得11110,0.x x y az =⎧⎨
++=⎩ 令
11z =，得(0,,1)a =-m . ………………12分
由平面11
BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π
3，
得
||π
|cos ,|cos 3⋅<>=
==m n m n m n ， ………………13分
解得1a =. ………………14分
18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， (2)
分
所以
(1)1f '=，
又因为
(1)0f =，
所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (4)
分
（Ⅱ）解：先考察函数
2
()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，
配方得
2
()(1)2g x x =---， (5)
分
所以函数
()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.
……………… 6分 因为对于任意
12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，
所以 1a ≤
. ……………… 8分
以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，
则
()ln 1h x x '=+，
令()ln 10h x x '
=+=，解得1
e =
x . (9)
分
随着x 变化时，
()h x 和()h x '的变化情况如下：
即函数()h x 在1
(0,)
e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11
()()e e ==-
h x h . (11)
分
因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，
所以
1
e ≥
a . (12)
分
因为 1
2e ->-（即min max
()()h x g x >），
所以a 的取值范围为1
,e [1]
. (13)
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，
所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点
1(0,)2D . ……………… 1分 则线段CD 的中点11(,)24
，
||2CD ==， ……………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24
，半径为1||2
4CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为
22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.
理由如下：
由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，
则
(,0)m C k -
，(0,)D m ， (6)
分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得
222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分 所以 22
16880k m ∆=-+>， （*） ……………… 8分 由韦达定理，得
122412km x x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以
1224120km x x k m k -+==+-， (10)
分 解得
2k =±
. (11)
由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.
所以12|x x -= (12)
分
即
12||3||m x x k -==，
解得
m =. ……………… 13分
验证知（*）成立.
所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l
的方程为25y x =±
，或25y x =-±. ……………… 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列12，13，1
6； ……………… 2分
（Ⅱ）证明：由题意，知
1234510b b b b b >>>>>≥， 所以
210d b b =-<. ……………… 3分 若 11
b = ， 由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得21
2b ≤，
所以
2111122d b b =--=-≤. 因为 514b b d =+，50b >，
所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-
.
这与
1
2
d-
≤
矛盾.
所以11
b≠
.
所以
1
1
2
b≤
， (6)
分
因为514
b b d
=+
，50
b>
，
所以
515
11
4
22
d b b b
=-->-
≥
，即
1
8
d>-
，
综上，得
1
8
d
-<<
. (7)
分
（Ⅲ）证明：由题意，设{}
n
c
的公比为
q，
则
21 1231
(1)
m
m
c c c c c q q q-
++++=++++
.
因为{}
n
c
为
{}
n
a
的一个m项子列，
所以q为正有理数，且1
q<，11
1
()
c a
a
*
=∈N
≤
.
设
(,
K
q K L
L
*
=∈N
，且
,K L互质，2
L≥）.
当1
K=时，
因为
11
2
q
L
=≤
，
所以
21 1231
(1)
m
m
c c c c c q q q-
++++=++++
21
111
1()()
222
≤-
++++m
，1
1
2()
2-
=-m
，
所以 1
12312()2m m c c c c -++++-≤. ……………… 10分
当1K ≠时，
因为
11111m m m m K c c q a L ---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质， 所以
1*()-=⨯∈m a K M M N ， 所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++
1232111111()----=++++m m m m M K K L K L L .
因为 2L ≥，*K M ∈N ，，
所以 21112311111()()2()22
22m m m c c c c --++++++++=-≤.
综上，
1231122m m c c c c -++++-≤. ……………… 13分。