代数式 单项式 多项式 讲义

用字母表示数
【引入】
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……
n只青蛙（）张嘴，（）只眼睛（）条腿
* 字母可以表示任何数
用字母表示数，能把数量和数量关系一般而又简明的表达出来，为研究和叙述叙述问题带来方便
【例题精讲】
例1
（1）一支圆珠笔 a 元，5 支圆珠笔共元。

（2）“a 的 3 倍与 b 的的和”为。

（3）比 a 的 2 倍小 3 的数是。

（4）某商品原价为 a 元，打 7 折后的价格为元。

*数字和字母中间的乘号可以用“.”代替，也可以省略不写。

省略乘号后，数字要写在字母的前面，“.”写在中间。

例2、看下面哪些式子的符号可以省略，把可以省略的用简便记法写出来。

a+2 a-3 a×4 a÷5
a×5 b×9 0.5×c 8×8
【巩固练习】
（1）一个两位数，个位上的数字是为 a，十位上的数字为 b，则这个两位数是。

（2）若 n 为整数，则奇数可表示为。

（3）设某数为 a，则比某数大 30％的数是。

（4）被 3 除商为 n 余 1 的数是。

（5）校园里刚栽下一棵 1.8m 的高的小树苗，以后每年长 0.3m。

则 n 年后的树高是 m。

代数式
【知识点介绍】
1、定义：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

【例题精讲】
例1．说出下列代数式的意义
（1）2
()
a b
+
（2）22
a b
+
（3）11 m n -
（4）()()
x y x y
+-
例2．用代数式表示
（1）比a的倒数与b的倒数的和大1的数
（2）被3整除得n的数
（3）被5除商a余3的数
（4）比x与y的积的倒数的4倍小3的数
（5）a,b两数的平方和除以a,b两数的和的平方例3、求代数式的值：
（1）已知：a＝12，b＝3，求的值。

（2）当 x＝－，y＝－，求 4x2－y 的值。

（3）已知：a＋b＝4，ab＝1，求 2a＋3ab＋2b 的值。

例4、如图：正方形的边长为 a。

（2）若 a＝2cm
3．
例5、某是为了加强公民的节水意识，制定了以下用水标准：每户每月用水未超过8立方米时，每立方米收费1.00元，并加收0.20元的城市污水处理费；超过8立方米的部分每立方米收费
1.50元，并加收0.40元的城市污水处理费。

某户用水量为x立方米，问这个月水费是多少元？
【巩固练习】
1．个位数字为a，十位数字为b的两位数用代数式可表示为（）
A，ba B，b+a C，10b+a D，10a+b
2.以下各式不是代数式的是（）
A ，0
B ，226x x x -+-
C ，m+n=n+m
D ，25100
y 3.一件工作，甲单独做需a 天完成，乙单独做需b 天完成，如果两人合作7天，完成的工作量是（ ）
A ，117()a b +
B ，7(a －b)
C ，7(a+b)
D ，117()a b
- 4.已知某商场打7折后的价格为a 元，则原价为（ ）
A ，0070a 元
B ，107a 元
C ，0030a 元
D ，37
a 元 5．已知上山的速度为1a ，下山的速度为2a ，来回的平均速度为（ ）
A ，121()2a a +
B ，12122a a a a +
C ，1212a a a a +
D ，1212
2a a a a + 6．某班共有x 名学生，其中男生人数占0042，那么女生人数是（ ）
A ，0042x
B ，0042x
C ，00
142x - D ，00(142)x - 7、、已知x －2y ＝－3，则5－x ＋2y 的值是 。

8、当a ＝－2，b ＝－3，c ＝－1时，代数式a 2－b 2＋2bc －c 2的值是 。

9、一根绳长a 米，第一次用掉了全长的13多1米，第二次用掉了余下的23
少2米，最后还剩多少米？
整式
【知识点介绍】
1、 整式的定义：单项式和多项式统称整式．
2、单项式
（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．
（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．
（4）单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2
x 等都是单项式 注意：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如43yz x 的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．
3、多项式
（1）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（每个单项式叫做多项式的项）
（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．
（3）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。

注意：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．
（4）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

【例题精讲】
例1、 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．
(1)－3xy 2；
(2)2x 3＋1； (3)21(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0； (6)y x 2； (7)32xy ； (8)x 21； (9)x 2＋x 1－1； (10)1
1 x ； 例2、（1）－3×102a 2y 的系数是 ，次数是 。

（2）多项式－3x 3＋2xy 7
－1是 次 项式。

（3）写出一个含有字母x 、y 的四次单项式：
（4）单项式－3ab 44
的系数是 ，次数是 。

（5）二次项系数为3，一次项系数为－2，常数项是－4的二次三项式是
（6）多项式－2y 3＋3x 2y －2xy 2＋4x 3是 次 项式。

（7）多项式－3x 2y ＋4x 2－1的次数是 ，二次项系数是 ，常数项是 。

（8）若－3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________，m ＝________．
【巩固练习】
1、讲下列代数式分别填入相应的括号内：
222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x
-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）；
多项式（ ）；
二项式（ ）；
二次多项式（ ）；
整式（ ）
2、找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.
223xy ；-a ；a bc ；32+mn ；572t ；233-a b c ；2；-x π
3、如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）
A ．这个多项式最多有六项；
B ．这个多项式只能有一项的次数是六；
C ．这个多项式一定是五次六项式；
D ．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五.
4、如果单项式3a 2b 43-m 的次数与单项式3
1x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值。

【小结】
1、 的积的代数式叫做单项式。

单项式中的数字因数即为 ， 叫做这个单项式的次数。

2、几个单项式的和叫做 ．（每个单项式叫做多项式的项）
一个多项式中， 次数叫做这个多项式的次数。

多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。

在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的 。

3、单项式和多项式统称 。

【课后作业一】
1、每千克x 元的糖果a 千克和每千克y 元的糖果b 千克混合后，混合后的糖果售价是每 千
克 元。

2、a 个人m 天做完的工作，若增加b 个人，则可提前 天完成这项工作。

3、三个连续的偶数，若中间的一个数是2n ，则这三个连续的偶数的和是
4、A 是一个两位数，已知十位数字为b ，则个位数字是 ，交换个位、十位上的数字后，所得的新的两位数是
5、某工厂第一年的产值为a 万元，第二年产值增加了00x ，第三年又比第二年增加了00x ，则第三年的产值为 万元
6、代数式 x 2－y 的意义是 。

7、当a ＝2，b ＝12 时，a ＋b a －2b
的值为 ； 8、当 x ＝－2 时，代数式 x 2＋1 的值是 。

9、使代数式||x －3
x ＋3
的值是0的x 的值是 。

10、已知x ＋1x ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋x ＋6＋1x
的值为 。

11、若m ，n 互为倒数，则mn 2
－(n －1)的值为 ；
12、若m 2－2m ＝1，则2m 2－4m ＋2008的值是 。

13、如下图是一个简单的运算程序，若输入的x 的值为－2，则输出的值为 。

14、一根长10厘米的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下，物体的质量每增加1千克，可以使弹簧增长2厘米，则在正常情况下，当挂着x 千克的物体时，弹簧的长度是 厘米；当x ＝2时，弹簧的长度是 厘米。

15、甲乙两人从学校出发沿同一条路去书店，甲走出 500 米后，乙才出发追甲，已知乙的速度比甲快 a 米
/秒。

（1）试用代数式表示乙需要多少时间才能追上甲。

（2）当 a ＝0.8 时，求乙赶上甲所用的时间。

【课后作业二】
1、下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数： 2341523133
x xy a b x abc x --+，，，，，
2、指出下列各单项式的系数与次数：
（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3
43
2y x π （4）－3；
3、说出下列各多项式分别是几次几项式．
(1)3x －23；
(2)a 2b ＋2a －3b －4； (3)2822+-x x ；
(4)(a 3－b 3＋1)×
35； (5)x 6－x 5＋3x 2－12x ＋
＋31x 3－y ＋π4)．。