牛顿环光程差公式推导

牛顿环光程差公式推导
牛顿环是一种通过透过透明介质后在一个反射表面上的光波干涉现象。

牛顿环光程差公式就是用来计算牛顿环中不同环序的光程差的数学关系。

牛顿环可以通过一块平面透明玻璃板（透明介质）和一块透明平凸镜（反射表面）进行实验。

当光线从玻璃板一侧入射时，会发生反射和折射。

在透明平凸镜上会产生一系列圆形的亮暗环，称为牛顿环。

这些环序的亮
暗程度与入射光的波长密切相关。

我们可以通过公式推导来计算牛顿环中的光程差。

假设光线从空气中
以垂直入射到平凸镜表面，入射角为 i ，折射角为 r。

根据斯涅尔定律，有折射率 n 和入射角和折射角成正比关系，即 n = tan (i) / tan (r)。

考虑到牛顿环的几何特性，可以将圆心C移到源方向上。

假设光线与
平凸镜相交于点P，O和O'分别是圆心C到点P的距离。

则光程差可以表
示为CO'-CO。

考虑到光在平凸镜上的反射和折射，光程差可以分为两个
部分：反射光程差和折射光程差。

反射光程差为O'I-OI，其中I是点P到镜面的垂直距离。

由于牛顿
环是一个圆环，因此O'I=OI。

因此，反射光程差为2OI。

折射光程差为O'P-OP。

根据三角形OPQ和O'PQ的几何关系，可以得
到OP=OC+CP=R+h，O'P=OC-CP=R-h。

其中R是透明球表面到反射表面的半径，h是点P到球心的垂直距离。

光程差为O'P-OP=(R-h)-(R+h)=-2h。

综上所述，光程差为CO'-CO=2OI+(-2h)=2(OI-h)=2*δ。

其中，OCI和δ是光程差CO'-CO的两个相邻环的相位差和光程差之比。

由于牛顿环的几何特性，OCI 是一个锐角。

利用三角函数关系，可以
得到 tan (OCI) = OC / CI = OC / CP = OC / h。

由 OC = R，可以得到tan (OCI) = R / h。

考虑到斯涅尔定律的关系，将折射率 n 替换成 tan (OCI) 之后得到：tan (OCI) = tan (i) / tan (r) = n。

在牛顿环实验中，OCI 很小，可以近似认为小角度。

因此，OCI 的正
弦值近似等于 OCI 的大小，即sin (OCI) ≈ OCI。

将 tan (OCI) 替换成 sin (OCI) 可得： R / h = sin (i) / sin (r)。

由于牛顿环实验中 r 是小角度，可以近似认为sin (r) ≈ r。

综上所述，牛顿环光程差公式推导出来了，公式中包含了平凸镜的半
径R，入射角i，折射角r和点到球心的垂直距离h。

这个公式可以用于
计算不同环序的光程差，从而进一步研究牛顿环的干涉现象。