山东省日照市实验高级中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段性考试数学试卷

山东省日照市实验高级中学2024-2025学年高三上学期第一次
阶段性考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合{}0,1,2A =，{}|,B ab a A b A =∈∈，则集合B 的非空真子集个数为（ ） A ．12
B ．10
C ．16
D ．14
2．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <
D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <
3．已知向量a r ，b r 不共线，且c a b λ=+r r r ，
()21d a b λ=++r r r ，若c r 与d r 同向共线，则实数λ的值为（ ） A ．1 B ．12
C ．1或1
2
-
D ．1-或1
2
4．已知()53sin π2cos π224
πsin sin π2αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
，则sin2α=（ ）
A ．1213
-
B ．
1213 C ．45
D ．45
-
5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．()e e 34x x
f x x --=-
B ．()e e 43
x x
f x x --=-
C ．()e e 48
x x
f x x -+=-
D ．()1
x f x x =
-
6．若过点(,1)a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,e) B ．(,1)-∞
C ．2(0,e )
D ．(0,1)
7．已知点π
(,0)24
A 在函数()cos()f x x ωϕ=+（0ω>，且*ω∈N ，π0ϕ-<<）的图象上，直线π6x =
是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间ππ
(,)63
上单调，则ϕ=（ ） A ．π3
-
B ．
2π3 C ．π3
D ．2π3
-
8．已知函数()[]()()211,2,0122,0,x x f x x f x x ∞⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+⎩
若函数()()21g x f x x m =---在区间[]2,4-内有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11|22m m ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
B ．31|22m m ⎧
⎫-<≤-⎨⎬⎩
⎭
C ．31
{|22
m m -<<-或0}m =
D ．11
{|22
m m -<<或1}m =
二、多选题
9．若函数()()πtan 22f x x ϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象经过点()0,1P ，则（ ）
A ．点π,08⎛⎫
⎪⎝⎭
为函数()f x 图象的对称中心
B ．函数()f x 的最小正周期为π
C ．函数()f x 在区间π0,8⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上的函数值范围为[)1,+∞
D ．函数()f x 的单调增区间为()ππππ,Z 2828k k k ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
10．已知平面直角坐标系中三个点()1,3A --，()1,1B ，()2,1C -，点D 为线段AB 上靠近A 的三等分点，下列说法正确的是（ ）
A ．ABC V 是钝角三角形
B ．CA u u u r
在CB u u u r
上的投影向量为⎝⎭
C ．1C
D BC ⋅=-u u u r u u u r
D ．若四边形ABC
E 为平行四边形，则点E 为
()0,5-
11．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x '，()g x '，且(
)()5f x g x '+=，
()()225f x g x '--+=，且()g x 为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A ．()25f =
B ．()()6f x f x ''+=
C ．()()40g x g x ++=
D ．()()44g x g x -='+'
三、填空题
12．已知正数x ，y 满足2x y +=，若2
11m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取值范围为.
13．如图所示，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1
OA u u u r 与OC u u u r
的夹角为α，且tan 3α=，OB u u u r 与OC u u u r
的夹角为45︒，若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，则m n +=.
14．已知函数()f x 及其导函数f ′ x 在定义域均为R 且()()1
e 1x F x
f x +=+是偶函数，其函数
图象为不间断曲线且()()()10,x f x f x ⎡⎤+>⎣⎦'-则不等式()()3
ln e 3xf x f <的解集为.
四、解答题
15．已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，
2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
. (1)求A ；
(2)若()()sin 1cos sin 3cos C B B C +=-，求c
b
的值.
16．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. (1)求数列{}n b 的通项公式；
(2)令()
()
1
3n n n n
n a c b +-=，求数列{}n c 的前n 项和n T
.
17．已知函数()sin e 4x f x x x =+-，e 为自然对数的底数，函数()3
23g x x ax =-+.
(1)若()f x 在()0,1处的切线也是()g x 的切线，求实数a 的值； (2)求()f x 在定义域上的零点个数.
18．已知向量π12sin ,122a x ω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭r ，
π2cos ,212b x ω⎛⎫⎛
⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，函数()f x a b =⋅r r ，其中0ω>.
(1)若()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，12min 1
2
x x -=
，求函数()f x 的对称中心； (2)若24ω<<，函数()f x 图象向右平移π6
个单位，得到函数()g x 的图象，π
3x =是()g x 的
一个零点，若函数()g x 在[],m n （,m n ∈R 且m n <），上恰好有8个零点，求n m -的取值范围；
(3)已知函数()()πcos 2206h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，在第（2）问条件下，若对任意1π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，存
在2π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()12h x g x =成立，求实数a 的取值范围.
19．若函数()f x 在()0,∞+上恒有()()xf x f x '<成立（其中()f x '为()f x 的导函数），则称这类函数为A 类函数.
(1)若函数()2
1g x x =-，试判断()g x 是否为A 类函数；
(2)若函数()13ln a
h x ax x x
-=---
是A 类函数，求函数()h x 的单调区间； (3)若函数()f x 是A 类函数，当1>0x ，20x >时，证明：()()()1212.f x f x f x x +>+。