实数与向量

课题：实数与向量的积(1)
教学目的：
1. 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2. 掌握实数与向量的积的运算律；
3. 理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解
授课类型：新授课.
课时安排：1课时一教具：多媒体、实物投影仪, 教学过程：
、复习引入：
1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.
2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；
3. 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
4. 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a//b//c .
5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
7. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法•
向量加法的三角形法则和平行四边形法则，
&向量加法的交换律:
9. 向量加法的结合律:
10. 向量的减法向量
a与b的差-即：a b = a + ( b)
11.差向量的意义：OA = a, OB = b,则BA = a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量■
、讲解新课：
1. 示例：已知非零向量a，作出a + a + a和(a)+(
OC =OA AB BC=a + a + a=3a
PN = PQ QM MN =( a)+(a)+( a)= 3a
(1) 3a与a方向相同且|3a|=3| a| ； (2) 3a与a方向相反且| 3a|=3| a |
2 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a
(1)| 入a|=| 入|| a|
（2）入＞0时入a 与a 方向相同；入＜0时入a 与a 方向相反；入=0时入a = 0 3.运算定律
结合律：入（旧）=（入^a ① 第一分配律：（入+ ^ a =入a + u a ② 第二分配律：入（a + b ）=入a +入b
③
结合律证明：
如果入=0, u =0, a =0至少有一个成立，则①式成立 如果入0，卩0, a 0有：|入（旧）|=|入II u a |=|入II 训
a |
1（入U a |=|入训a |=|入||训a | -| 入（u a ）|=|（入卩）|
如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向； 如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与 a 反向+
从而入（旧）=（入卩） 第一分配律证明：
如果入=0, u =0, a = 0至少有一个成立，则②式显然成立 如果入0,卩0, a 0
当入、□同号时，则入a 和u a 同向， •••|（
入
+U a|=|
入 +
U |
a|
=
（|
入
|+| U ）| a|
|
入 a + ^a |=|
入 a
|+|
u a |=| 入 || a |+| U |
a |=（|
入 |+| U ）| a |
•••入、u 同号•••②两边向量方向都与
a 同向
即 | （入 + u ） |=| 入 a + u a |
当入、u 异号，当入 ＞卩时 ②两边向量的方向都与入
方向都与 u a 同向，且|（入+ u ）|=|入a + u a |
•••②式成立 第二分配律证明:
如果a = 0 , b =0中至少有一个成立，或入
当a 0 , b 0且入0,入1时
（1）当入＞0且入1时在平面内任取一点 O ,
作 OA a AB b OA 1 入 a
A ）入 b
则 OB a + b
OB 1入a +入b
a 同向；当入＜u 时②两边向量的
=0,入=1则③式显然成立
因此，0, B , B i 在同一直线上，| OB r |=|入OB |
0B 1与入0B 方向也相同
• •入（a + b ）=入 a +入 b
当入＜0时可类似证明：入（a + b ）=入a +入b •③式成立
4 •向量共线的充要条件
若有向量a （a 0）、b ，实数入，使b =^ a ，则a 与b 为共线向量. 若a 与b 共线（a 0 ）且|b | ： | a |= □，则当a 与b 同向时b =^ a ； 当a 与b 反向
时b = ^a •从而得 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件 是：有且只有一个非零实数入，使 b =
入a - 三、讲解范例：
例1若3m +2n = a , m — 3 n = b ，其中a , b 是已知向量，求 m , n .
分析：此题可把已知条件看作向量 m 、n 的方程，通过方程组的求解获得 m 、n . 解：记 3m + 2n = a ① m — 3n = b ②
3X ②得3 m —9 n = 3 b ③
I
3 ①一③得 11 n = a —3 b .
•- n = — a ---------- b ④
II
11 3 2 将④代入②有： m =b +3 n = 一 a ---------------- b
11
11
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、 结合律，从
而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致
一 1 一 一
例2凸四边形ABCD 勺边AD BC 的中点分别为 E 、F ,求证EF = - （ AB +DC ）.
2
解法一：构造三角形，使 EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决
由作法知，AB // A I B 1 有 0AB= OA 1B 1 | AB |=入 | AB j |
... |0A i | |0A| ... |0B ； |
|0B|
| A 1B 1 | 入 | AB|
• △ OAB s^ OA 1B 1
AOB= A 1OB 1
过点C 在平面内作CG = AB ，则四边形 ABG （是平行四边形，
故
F 为A
G 中点.
DG = DC + CG = DC + AB
••• EF = 1( AB + DC ).
2
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB EC则有EB = EA + AB ,
EC = ED + DC , 又••• E是AD之中点，.••有EA + ED
= 0.
即有EB + EC = AB + DC ；以EB与EC为邻边作平行四边形
EBGC则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
1——1 1
•EF = EG =丄(EB + EC )=丄(AB + DC )
2 2 2
四、课堂练习：
1. 错例分析
判断向量a=—2 e与b = 2 e是否共线?
对此题，有同学解答如下：
解：T a =—2 e, b =2 e,「. b =- a ,•• a 与b 共线.
分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现
其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许 e = 0,而当e= 0时，显然a= 0, b = 0，此时，a不符合定理中的条件，且使b= X a成立的入值也不惟一(如入=—1，入=1，X = 2等均可使b = X a成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e=0的情况应另法判断才妥.
综上分析，此题应解答如下：
解：(1)当e= 0 时，贝U a =—2 e= 0
由于“零向量与任一向量平行” 且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a与b共线.
(2)当0 时，贝U a =—2 0，b = 2 e^ 0
•- b =—a (这时满足定理中的a工0，及有且只有一个实数X ( X =—1 )，使得b = X a 成立)•a与b共线.
综合(1)、(2)可知，a与b共线•
2. 用向量法解决几何问题
向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.
1
如图，MN^A ABC的中位线，求证：MN=丄BC 且M M BC
2
1
证明：••• M N分别是AB AC边上的中点，所以AM =— AB，
2
一1 一一一•——1 一1 ——1 一——
AN = — AC，MN =AN —AM =—AC - —AB =—( AC - AB )
2 2 2 2
1 二一BC .
2
1
因此，NM=_EC 且MN// BC
2
五、小结：通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运
算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用
六、课后作业：
1 .当入Z时，验证：入(a + b)=入a +入b
证：当入=0时，左边=0?(a + b )=0 右边=0?a+0?b =0 分配律成立
当入为正整数时，令入=n,则有：n(a + b )=(a + b )+(a + b )+^ +(a + b )
= a+a+…+ a + b+ b+ b+…+ b =n a+n b
即入为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令入=n ( n为正整数)，有
n(a + b )=n[ (a + b )]=n[( a)+( b )]=n( a)+n( b )= n a+( n b)= n a n b
分配律仍成立
综上所述，当入为整数时，入(a + b )=入a +入b恒成立.
2.如图，在△ ABC 中，AB=a, BC =b , AD 为边BC 的
ABC的重心，求向量AG
解法一：••• AB=a, BC =b 则BD=- BC = - b
2 2
——- —- 1 2 —
AD = AB + BD = a+ b 而AG = —AD
2 3
—2 1
•- AG = — a + b
3 3
解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
A
•/△ AEF^A ABC,
2 2
AE = 2AB = 2a
EF
=
2 —
BC :=2b EG」EF：」b
3 33323
• AG = AE + EG =
2
—
1 a +
-b
33
AC =a, BD =b 试用a,
3 .在一ABCD中，设对角线b表示AB , BC
解法一：AO=OC =
中线，G
---- ■ ------ ■ ------- ・
AB = A0+0B =A0
1 1 BC = BO + OC = OC + BO = — a + b
2 2
解二：设 AB =x , BC = y
则 AB + BC = AC ，即 x + y =a ;AD AB = BD ，即 x y = b
1 x =—(a b ),
2 1 AB = i (a b )
2
y =〔(a +b )
2
三点A, B, D 共线，求k 的值一
解: ----------」
---------- ---------------
b - E- - 卜
----- 卜
-----
1> - +
-----
卜
BD = CD CB =(2ei e?) (G+3e2 )=e 4e?
••• AB ,BD 共线 •••存在入使 AB =入BD
即 2 & +k e 2 =入(e 4e 2) 七、 板书设计（略）
八、 课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广 .启发学生在掌握
向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，弓I 导学生从特殊归纳到一般
.
在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律
的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用
4•设e, e 2是两个不共线向量,
已知 AB =2e )+k e 2,
CB = e ( +3 e 2, CD =2 e e 2,右
BC =-(a + b )
2
••• A, B, D 共线
• k= 8。