绝对值及有理数的大小比较知识点解读与提高

绝对值及有理数的大小比较
（基础）
要点一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是 正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总
比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若
，则；若
，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0， 1a
b
>a b >1a b =a b =1a b
<a b <11
2-132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0
1．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；
2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；
3．通过应用绝对值解决实际问题，体会
，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少
个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用
绝对值法则来求解．
解：方法1：
因为到原点距离是个单位长度，所以
．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以
|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，
所以．
方法2：
因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0．3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0
因为，所以
．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数
是________．
若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相
反数.
2009或-2009.
根据绝对值的定义，到原点的距离是
2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，
得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单
位长度，得到表示数2009的点．
【变式1】已知一个数的绝对值是4，则这个数是．
±4.
【变式2】
如果｜x｜＝2，那么x＝______ ；如果｜－x｜＝2，
那么x＝______．如果｜x－2｜＝1，那么x
＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围
是．
；；1或3；或
.
类型二、绝对值非负性的应用
. 若|x﹣2|与|y+3|互为相反数，则x+y= ．1
1
2
1
3
2
⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
1
1
2
-
1
1
2
11
11
22
-=
1
3
2
⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
1
3
2
11
33
22
⎛⎫
--=
⎪
⎝⎭
1
10
2
-<
111
111
222
⎛⎫
-=--=
⎪
⎝⎭
1
30
2
⎛⎫
-->
⎪
⎝⎭
11
33
22
⎛⎫
--=
⎪
⎝⎭
2-2
+或2-2
+或x>3
x<-3
求一个数的绝对值有两种方法：一种是
利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，
一种是利用绝对值的代数意义求解(如
方法2)，后种方法的具体做法为：首先
判断这个数是正数、负数还是零．再根
据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号
的结果是它本身，是它的相反数，还是
已知绝对值求原数的方法：
(1)利用概念；
(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．
由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜x﹣2｜≥0，｜
y+3｜≥0，而它们的和为0．所以｜x﹣2｜＝0，|y+3|
＝0．由此算出结果．
-1.
∵|x﹣2|与|y+3|互为相反数，
∴|x﹣2|+|y+3|=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，
解得x=2，y=﹣3，
∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．
故答案为：﹣1．
类型三、有理数的大小比较
．比较大小：﹣（﹣1.8）
（填“＞”、“＜”或“=”）．
先化简，再比较大小，即可解答．
＜．
解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，
∵1.75＜1.8，
∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），
故答案为：＜．
【变式】比大小：
______； -|-3.2|______-(+3.2)；
0.0001______－1000； -1.38______－1.384；
－π______－3.14．
＞；=；＞；＞；＜.
【巩固练习】
一、选择题
1．-3的绝对值是（）．
A． 3 B．-3 C． D．
2．下列判断中，正确的是( )．
A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C.任何数的绝对值都是正数；
D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正
数.
3．下列各式错误的是( )．
A．B．
C． D．
6
5
3
-
7
6
3
-
1
3
1
3
-
11
55
33
+=|8.1|8.1
-=
22
33
-=-
11
22
--=-若几个数的绝对值的和为0，则每个数
都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则：
a＝b＝…＝m＝0．
本题考查了有理数大小比较，解决本题
的关键是掌握绝对值的化简以及多重
复号的化简方法．
4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
5．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．
A ．a ＞b
B ．|a|＞|b|
C ．-a ＜-b
D ．-a ＜
|b|
6．若|a | + a ＝0，则a 是( )．
A. 正数
B. 负数
C.正数或0
D.负数或0
二、填空题
7．若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________． 8．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________． 9．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________．
10.在﹣2.1，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是 ．
11．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．
12．已知，则x 的取值范围是________．
三、解答题
13．若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．
14．若|a+1.2|+|b ﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？15．比较3a-2与2a+1的大小．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A
2.【答案】B
【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个
数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.
3．【答案】C
【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是
负数.所以C 是错误的．
4.【答案】D
【解析】解：∵点Q 到原点的距离最远，
∴点Q 的绝对值最大． 故选：D ．
5．【答案】B
【解析】离原点越远的数的绝对值越大．
6. 【答案】D
【解析】若a 为正数，则不满足|a| + a ＝0；若a 为负数，则满足|a| + a ＝0；若a 为0，也满足|a| + a ＝0. 所以a ≤0，即a 为负数或0.
二、填空题
7. 【答案】=；m=±n
【解析】若m ，n 互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来m ，n 绝对值相等，则它们相等或互为相反数.
8. 【答案】 ±2，-5
4334x x -=-
【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±
5.但由于x ＞y ，所以x=±2，y=-5
9. 【答案】±4, ±5
【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.
10.【答案】﹣2.1．
【解析】根据有理数比较大小的方法，可得﹣2.1＜﹣2＜0＜1. 11．【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2． 12．【答案】≤
【解析】将看成整体，即，则≤0，故≤0，≤
． 三、解答题 13.【解析】 ∵|x|=5， ∴x=±5， 又|y|=2， ∴y=±2，
又∵|x+y|=x+y ， ∴x+y≥0， ∴x=5，y=±2，
当x=5，y=2时，x ﹣y=5﹣2=3，
当x=5，y=﹣2时，x ﹣y=5﹣（﹣2）=7．
14.【解析】解：∵|a+1.2|+|b ﹣1|=0，
∴a+1.2=0，b ﹣1=0， ∴a=﹣1.2，b=1，
∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．
15．【解析】解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3 当a>3时，3a-2>2a+1; 当a=3时，3a-2=2a+1; 当a<3时，3a-2<2a+1.
绝对值及有理数的大小比较
（提高）
要点一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是
x 34
43x -a a a =-a 43x -x 34
1．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；
2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；
3．理解并会熟练运用绝对值的非负性进
正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总
比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，
则a＜b．
2．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计
算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定
两数的大小．
3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4．求商法：设a、b为任意正数，若，则；
若，则；若，则；反之也成立．若
a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大
的反而小．
类型一、绝对值的概念
. 如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y
的值．
6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，
所以要注意分类讨论．
解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【变式】下列说法正确的是（）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
D．
类型二、含有字母的绝对值的化简
．若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣
4|= ．
根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是
1
a
b
>a b
>
1
a
b
=a b
=1
a
b
<a b
<
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
已知绝对值求原数的方法：
(1)利用概念；
(2)利用数形结合法在数轴上表示出
来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝
对值是正数，则此数有两个，且互为相反
数．
此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y
它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相
反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并
同类项即可．
2x﹣3．
解：原式=x+1﹣（﹣x+4），
=x+1+x﹣4，
=2x﹣3.
【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位
置如图所示：
化简：
解：由图所示，可得
．
∴ ，，，
∵
．
∴ 原式．
类型三、绝对值非负性的应用
．已知a、b为有理数，且满足：
，则a=_______，b=________．
由，，，
可得∴
【变式】已知b为正整数，且a、b满足，
求的值．
【答案】解：由题意得∴
所以，
类型四、有理数的大小比较
．比较下列每组数的大小：
(1)-(-5)与-|-5|； (2)-(+3)与0；
(2)与； (4)与．
(3)
30
a c
->
1
2
2
b
a=
4
5
-
3
4
--π-| 3.14|
--此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝
对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的
正负性．
由于任何一个数的绝对值大于或等于
0，要使这两个数的和为0，需要这两个
数都为0．几个非负数的和为0，则每一
个数均为0．
先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负
数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然
后比较．
解：(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大
于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)
＜0．
(3)化简得：．这是两个负数比较大小，
因为，，且．所
以．
(4)化简得：-|-3．14|＝-3．14，这是两个负数比较
大小，因为 |-π|＝π，|-3．14|＝3．14，而π＞3．14，
所以-π＜-|-3．14|．
【巩固练习】
一、选择题
1．以下选项中比|﹣|小的数是（）
A．1 B．2 C． D.
2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+
（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数
的是（）．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
3．满足|x|＝-x的数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4.若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（）
A. x﹣5＞0
B. x﹣5＜0
C. x﹣5≥0
D. x﹣5≤0
6．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、
-a、-b的大小顺序是( )．
A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b
B． C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b
6．下列推理：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，
则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则
a≠b．其中正确的个数为( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为,
距离原点等于3.5的点的个数为,
则．
7．如果|a﹣2|+|b+1|=0，那么a+b等于．
9.若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．
10．绝对值不大于11的整数有个．
11．式子|2x-1|+2取最小值时，x等于．
12．若，则 0；若≥，则．33
44
--=-
4416
5520
-==
3315
4420
-==
1615
2020
>
43
54
-<--
m
n
3____
m n
-=
1
a
a
=-a a a a 在比较两个负数的大小时，可按下列步
骤进行：先求两个负数的绝对值，再比
较两个绝对值的大小，最后根据“两个
负数，绝对值大的反而小”做出正确的
三、解答题
13．若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，求x+y的值．
14．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
15．阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时:
①如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）
=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x为__________．
③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵|﹣|=，A、1＞，故本选项错误；B、2＞，故本选项错误；C、=，
故本选项错误；D、﹣＜，故本选项正
确；故选D．
2．【答案】C
【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C
3．【答案】D
【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．
4.【答案】D.
5．【答案】A
【解析】画数轴，数形结合．
6．【答案】C
【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；
③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．
二、填空题
7．【答案】1
【解析】由题意可知：，所以
8．【答案】1
【解析】解：由题意得，a﹣2=0，b+1=0，
解得，a=2，b=﹣1，
则a+b=1，
故答案为：1．
9.【答案】2a-6
10.【答案】23
【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．
11．【答案】
【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=
时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2．
12．【答案】＜；任意数
三、解答题
13．【解析】
解：因为|x-y|≥0，所以y-x≥0，y≥x．
由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，即x=-3．
（1）当y=2时，x+y=-1；
（2）当y=-2时，x+y=-5．
所以x+y的值为-1或-5．
14.【解析】
解：由数轴得，
a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣
（a+c）]+[﹣（b﹣c）]
=﹣a+b+a+c﹣b+c
=2c．15．【解析】
解：①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．
②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．
∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，
∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．
③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．
将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，
则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．
当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；
当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;
当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．
∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x 的取值范围是-1≤x≤2．
7,2
m n
==
27321
m n
-=-⨯=
1
2
1
2。