重庆市重庆一中2014届高三5月月考(数学理)解析版

20####一中高2014级高三下期第三次月考 数 学 试 题〔理科〕2014.5
[试卷综析]本卷为高三月考试卷,本次高三数学模拟试题从整体看,既注重了对基础知识的重点考查,也注重了对能力的考查。

从考生的反映看,试题难度适中,最后两道大题考查深入,有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考,考潜能,考数学应用,在"知识的交汇处命题"有新的突破,反映了新课程的理念,试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查,注重认识能力的考查,注重创新意识,稳中求新,新中求活,活中凸显能力。

注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查,充分体现了能力立意,在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上,以逻辑思维能力为核心,同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力,同时加强对思维品质的考查。

试卷在考查基础知识的同时,注重对数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查。

数学试题共4页,共21个小题。

满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：
1.答题前,务必将自己的##、##号填写在答题卡规定的位置上．
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号．
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上．
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效． 一、选择题.<共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的>
1.已知集合
2{1},{M x y x N y y ==+==,则M
N =〔 〕
A. {(0,1)}
B.{1}x x ≥-
C.{0}x x ≥
D. {1}
x x ≥
[知识点]集合的概念与运算.
[答案解析]C 解析：解：M R,=N ={0}x x ≥∴M N ={0}x x ≥
[思路点拨]M 是函数
2
1y x =+的定义域,N 是函数y =. 2.设复数z 满足()(1)1,(z i i i i ++=-是虚数单位〕,则z =
〔 〕
A. 1
B.2
C.3
D. 4
[知识点]复数的运算；复数的模的计算. [
答
案
解
析
]B
解
析
：
解：设
z a bi
=+则()()()()21111a bi i i a b a i b i i +++=+++++=-∴()()111a b b a i i
--+++=-可知
11,11a b a b --=++=-0,2a b ∴==-2,2z i z ∴=-=正确选项为B.
[思路点拨]可用待定系数法设出复数Z,然后求出a 与b 的值,最后求出复数的模长. 3.命题"若1,x >则2
2x >"的否定是〔 〕
A.21,2x x ∀>≤
B.21,2x x ∃>>
C.21,2x x ∃>≤
D.
2
1,2x x ∃≤>
[知识点]命题的否定命题.
[答案解析]C 解析：解：命题的否定指对命题结论的否定,故1x >时,2
2x >不一定成立即：
212x x ∃>≤，,所以选C
[思路点拨]命题的否定命题只将原命题的结论否定,而否命题是将原命题的题设和结论都否定,此题求的是命题的否定命题.
4.双曲线2
2
1
3y x -=上一点P 到左焦点的距离为4,则点P 到右准线的距离为〔 〕
A. 1
B.2
C.3
D. 1或3
[知识点]双曲线的定义；双曲线的第二定义；双曲线的离心率；双曲线的性质.
[答案解析]D 解析：解：设P 到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2,2e ∴=双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为
1
F ,右焦点为
2
F ,则
122PF PF -=2226PF PF ==或 ,再根据第二定义
2
PF e d =1d ∴=或d=3 . [思路点拨]设P 到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2,2e ∴=双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为
1
F ,右焦点为
2
F ,则
122PF PF -=2226
PF PF ==或 所以d 有两个值.
5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下图,
则余下部分的几何体的体积为< >
A. 169π
B. 162393π+
C. 8393π+
D. 16233π
+
[知识点]三视图；勾股定理；锥体的体积公式.
[答案解析]B 解析：解：根据题意可求圆锥的高为2,底面圆的半径为2,截面弦所对的圆心角为
120o ,所以剩余几何的体积为23倍圆锥的体积1V +三棱锥的体积2V ,2118
33V r h ππ
==,三棱锥
〔第5题图〕
0T =
2I =
while I < T T I =+
2I I =+
Endwhile
Print T
〔第6题图〕
的体积为2123V sh ===∴余下几何体的体积为12
23V V +
=
169π+. [思路点拨]依据三视图,对各线段的长度正确求值,注意三视图中数据与原图的对应关系,代入体
积公式可求.
6.根据上面的程序框图,若输出的结果600=T ,则图中横线上应填〔 〕 A. 48 B.50 C. 52 D.54
[知识点]程序框图；等差数列求和.
[答案解析]B 解析：解：根据程序框图可知T 为首项为2公差为2的等差数列的前n 项和,依据数值能计算出数列的最后一项为48,再根据题意可知应填50.
[思路点拨]依据程序框图可知此程序为等差数列的求和数列,所以根据等差数列的求和公式可求出数值.
7.对于集合A ,若满足：,a A ∈且1,1a A a A -∉+∉,则称a 为集合A 的"孤立元素",则集合
}10,,3,2,1{ =M 的无"孤立元素"的含4个元素的子集个数共有〔 〕
A. 28
B.36
C.49
D. 175 [知识点]元素与集合关系的判断 [答案解析]A 解析：解：我们用列举法列出满足条件的所有集合,即可得到答案,符合条件的集合有
{}{}{}{}{}{}{}
1,2,3,41,2,4,5,1,2,5,61,2,6,71,2,7,81,2,8,91,2,9,107个{}{}{}{}{}{}2,3,4,52,3,5,62,3,672,3,7,82,3,8,92,3,9,106个{}{}
3,4,5,63,4,6,75
个
{}7,8,9,101个,所以7+6+5+4+3+2+1=28
[思路点拨]本题在新定义的基础上考查了集合的成立的条件,利用列举法可得到所有子集个数. 8.已知圆O 的半径为1,四边形ABCD 为其内接正方形,EF 为圆O 的一条直径,M 为正方形
ABCD 边界上一动点,则MF ME ⋅的最小值为〔 〕
A.34-
B.12-
C.1
4-
D.0 [知识点]
[答案解析]B 解析：解：由已知可画出图形,如下图所示：
设M<x,y>,E<-1,0>,F<1,0>,所以MF ME ⋅=〔-1-x,-y 〕<1-x,-y>=221x y +-,即当22x y +最小时,
也就是正方形边界上的点到原点的距离的最小值的算术平方根;
221
2x y +≥
,即
MF ME ⋅=22
1
x y +-1
2≥-
,故选B.
[思路点拨]向量的数量积公式；函数的最小值.
9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2
2
2
2014,a b c +=则tan tan tan tan C C
A B +=
〔 〕
A.22013
B. 12013
C.22014
D.1
2014 [知识点]三角形的正、余弦定理；内角和为π定理；；两角和的正弦定理；切弦互化.
[答案解析]A 解析：解：将已知2
2
2
2014a b c +=变形为2
2
2
2
2013a b c c +-=,由余弦定理又
可变形为2
2cos 2013ab c c =,由正弦定理得22sin 2013sinA sinBcosC C
=,等式右边
2sin sin tan sinAsinBcosC sinAsinB
C C
C
=,又
()
C A B π=-+,所以
sin()sinAcos cos sinB tan tan sinAsinB sinAsinB A B B A C
C ++==
11tan ()tan tan C A B +tan tan ()
tan tan C C
A B =+,∴tan tan 2(
)tan tan 2013C C A B +=
,故选A. [思路点拨]利用所学过的定理实现边向角的转化.
10.设,,1,a b R a b +
∈+=
〕．
A. 2
B..C 3
D. [知识点]数形结合思想；对称问题；几何法求最值. [答案解析]D 解析：解: 可
将
1b a
=-代
入
=
可转化为数轴上的点A 〔a,0〕到B<0,1>与C<1,2>的距离之和和最小的问题,由下图所示：最小值为<0,-1>到<1,2>
的距离,[思路点拨]与求最值有关的问题一般转化成几何问题或三角问题,利用几何性质可顺利求解,也有利用三角的有界性求解,不同问题不同的应用是关键.
二．填空题.<本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分>
11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品,它们的数量之比分别为2:3:4,现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本,其中甲种商品有12件,则此样本容量n = ； [知识点]分层抽样的概念
[答案解析]54解析：解：由分层抽样的概念可知所抽样本中甲、乙、丙三种商品的数量之比也
为2:3:4,故可设乙、丙两商品分别有3k 、4k 件,由题意得12：3k ：4k=2:3:4,所以k=6,故乙、丙两商品分别有18、24件,故n=12+18+24=54
[思路点拨]分层抽样中样本中不同类别个体数量之比与总体中它们的比例相同.
12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,对R x ∈∀恒有)2()1()1(f x f x f --=+,且当
)2,1(∈x 时,2()31,f x x x =-+则1()2f =
；
[知识点]奇函数的定义；函数的周期性；求函数的解析式.
[答案解析]5
4解析：解：因为()f x 是奇函数,所以()00
f =,令x=1有
()()()()()111122200f f f f f +=--⇒==()20f ∴=()()11f x f x ∴+=-令
12x =
,
3122f f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=54-又
1115
2224f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
[思路点拨]本题先根据特殊值求出()20
f =,然后再利用奇函数的性质求出12f ⎛⎫
⎪
⎝⎭的值.
13.等差数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ,
若
123,3S S 成公比为q 的等比数列,则q = ；
[知识点]等差数列前n 和的概念,等比中项公式.
[答案解析
]
1
23,3S S 成公比为q 的等比
数列
即
112123)a )a +a +a 、3(a +a 成公比为q 的等比数列,又1322+=a a a
即
1122)a a +a 、9a 成公比为q 的等比数列,所以120a ≠a ,2
121229a =（a +a ）a ,
且
211q )=
=+a
a ,整理2
121229a =（a +a ）a 得：221212225a a a +=a 即
12212
25+=a a a a ,设21a a =x,则22x 520x -+=,解得122x =或
所以q =.
[思路点拨]先利用等比中项公式得到2
1212
29a =（a +a ）a ,再利用
132
2+=a a a ；两式联立解出
21a a ,
最后得到q =.
特别提醒：14~16题,考生只能从中选做两题；若三道题都做的,则只计前两题的得分． 14.已知ABC ∆的中线,AD BE 交于,
K AB =且,,,K D C E 四点共圆,则CK = ；
[知识点]三角形的中位线；勾股定理；射影定理；特殊值法；弦长公式.
[答案解析]1解析：解：可用特殊值法设BC
2
DF
∴=
,EC
＝2,DC
＝2,
设KC与DE交于M点,由弦心距可求CM=3
4,MK=
1
4,1
CK
∴=.
[思路点拨]适合用特殊值的问题,在选择、填空题中要用特殊值法,是一种省时省力的数学方法.
15.在直角坐标系
y
O
x-
-中,极点与直角坐标系原点重合,极轴与x轴非负半轴重合建立极坐
标系,若曲线
2
sin,
(
sin,
x
y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩为参数〕与曲线sin a
ρθ=
有两个公共点,则实数a的取值范围
是；[知识点]
[答案解析](0,1]
解析：解：
曲线
2
sin,
(
sin,
x
y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩为参数〕转化为普通方程为：2(11)
y x x
=-≤≤；曲线sin a
ρθ=
转化
为普通方程为：y a
=,有两个公共点,
画图形如上图可得：a∈
(0,1]. [思路点拨]数形结合的思想方法；
16.若关于x的不等式
232
|2|4
x x x ax
+-≥-在[]10,1
∈
x内恒成立,则实数a的取值范围
是．
[知识点]不等式；函数的图像；组合函数的性质.
[答案解析](],4 -∞
解析：解：
2124
,2y x y x x x =+=-⇒23224x x x ax +-+≥[]
1,10x ∈为正数,所以不等
式转化为
242x x x x +
+-,设2124
,2y x y x x
x =+=-,两个函数在
[]1,2上都为减函数,在[]
2,10上
都
为
增
函
数
,依
据
组
合
函
数
的
性
质
可
得
24242905x x x x ≤+
+-≤+24
2x x x x ∴++-的最小值为4,224x x x ax ∴+-≥-在
[]
1,10x ∈上恒成立,a 应该小于等于最小值4.
[思路点拨]本题首先根据取值范围分离出常数a,然后依据组合函数的性质求出
24
2x x x x +
+-的取值范围,最后依据恒成立问题最到a 的范围.
三．解答题.<共6小题,共75分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．> 17.〔13分〕 已
知
()2sin cos(),(0,)
f x x x ωωϕωπϕπ=+>-<<的单増区间为
5[,],()12
12k k k Z π
π
ππ-
+
∈．
〔1〕求,ωϕ的值；
〔2〕在ABC ∆中,
若()f A <求角A 的取值范围．
[知识点]两角和的余弦公式；降次公式；三角函数的最值、周期；三角不等式.
[答案解析]〔1〕1,.
3πωϕ==-〔2〕
0,,32A πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 解析：解：
〔1〕()2sin (cos cos sin sin )sin 2cos (1cos 2)sin f x x x x x x ωωϕωϕωϕωϕ=-=-- =sin(2)sin x ωϕϕ+-,由已知可得,, 1.T πω=∴=即()sin(2)sin .f x x ϕϕ=+-
又当
512x k ππ=+
时,()f x 取最大值,即52()2,(,)122k m k m Z π
ππϕπ++=+∈
解得
2,()
3
n n Z π
ϕπ=-
+∈,由于
,.3ππϕπϕ-<<∴=-故1,.
3π
ωϕ==-
〔2〕3()sin(2)3f x x π=-+由()3,f A <得3
sin(2)3A π-<
而
52,3
3
3
A π
π
π-
<-
<
由正弦函数图象
得,252(,)(,),(0,)(,).3
333332A A π
ππ
πππππ-
∈-
∴∈
[思路点拨]〔1〕先利用两角和的余弦公式、降次公式把函数化简,然后求出T 、ω的值,再利用
最值的情况解得φ；〔2〕由()3,f A <得3
sin(2)32A π-<
得到
52,
3
3
3A π
π
π-
<-
<
再解出A 即可.
18.〔13分〕
如图,由M 到N 的电路中有4个元件,分别标为
1234
,,,T T T T ,已知每个元件正常工作的概率均为
32
,且各元件相互独立．
〔1〕求电流能在M 与N 之间通过的概率； 〔2〕记随机变量ξ表示
1234
,,,T T T T 这四个元件中
正常工作的元件个数,求ξ的分布列及数学期望．
[知识点]互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；分布列；数学期望.
[答案解析]<1>70
81〔2〕
38)(=
ξE .
解析：解：<1> 记事件
i
A 为"元件
i
T 正常工作",4,3,2,1=i ,事件B 表示"电流能在M 与N 之间
通过",则
32
)(=
i A P ,由于4321,,,A A A A 相互独立,所以32142144A A A A A A A A B ++=,
ξ 0
1
2
3 4
P
811 818
8124
8132 8116
M
A
B
S
法一：
)()()()()(3214214432142144A A A A P A A A P A P A A A A A A A A P B P ++=++=
81703232313132323132=
⋅⋅⋅+⋅⋅+=
；
法二：从反面考虑：
[]
))(1()(1)(1)(2134A A P A P A P B P -⋅-⋅-=
817081111))31(1(3213112=
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅-=；
<2>
由
题
ξ
～
)32,4(B ,4
,0,)31()32()(44===-k C k P k
k k ξ,
易得ξ的分布列如右,期望38)(=ξE .
[思路点拨]记事件
i
A 为"元件i
T 正常工作,相互独立每一个事件的概率等于它所有基本事件概
率的和,根据二项分布先求随机变量相应结果的概率,再利用数学期望公式求期望.
19.〔13分〕
如图,多面体ABCDS 中,四边形ABCD 为矩形,,SD AD ⊥22,,AB AD M N ==分别为,AB CD 中点．
〔1〕求异面直线,SM AN 所成的角；
〔2〕若二面角A SC D --大小为
60,求SD 的长．
[知识点]法一〔几何法〕:线面垂直的性质定理；三垂线定理；二面法.
法二: 〔向量法〕: 向量语言表述线线的垂直、平行关系;用空间向量求平面间的夹角.
[答案解析]〔
1〕0
90.<2>SD =11
解析：解：法一〔几何法〕:〔1〕
,,.SD AD SD AB SD ABCD ⊥⊥∴⊥面连MN ,则由已
知,AMND 为正方形,连,DM 则,DM AN ⊥又DM 是SM 在面ABCD 上的射影,由三垂线定理得,SM AN ⊥.所以直线SM 与AN 所成的角为0
90.
<2>
,,AD CD AD SD AD ⊥⊥∴⊥面SCD ,过D 作DE SC ⊥于E ,
连AE ,则AED ∠为所求二面角A SC D --的平面角0
60.则在ADE Rt ∆
中易得
3DE
=
设SD a =
,在SDC Rt ∆中,
DE SD a =
=
∴==
法二: 〔向量法〕<1> 以D 为原点,分别以,,DS DA DC 为,,x y z 轴建系,则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,2)A N M C ,设)0,0,(a S ,则
(0,1,1),(,1,1),AN SM a =-=-0=⋅SM AN ,故SM 与AN 成 90角；
<2> 设平面ASC 的一个法向量为
1(,,),(,1,0),(0,1,2)n x y z AS a AC ==-=-,
由),2,2(00
111a a n AC n AS n =⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅
=⋅,又显然平面SDC 的一个法向量为
2
(0,1,0)n =, 由题有：
012cos60cos ,n n SD a ==
==
[思路点拨]法一〔几何法〕: 〔1〕先利用线面垂直的性质定理得到,DM AN ⊥；再利用三垂线定理得SM AN ⊥；然后得出结论. 〔2〕作出二面角,然后在SDC Rt ∆中得出结论. 法二: 〔向量法〕〔1〕建立空间直角坐标系,分别求出SM,AN 的方向向量,进而根据向量垂直的充要条件,得到结论；
〔2〕分别求出平面ASC 的法向量和平面SDC 的一个法向量,代入向量夹角公式可和答案． 20.〔12分〕 在数列
{}
n a 中,
n
n S a ,0>为其前n 项和,向量
2
(,),(1,1)n n AB S p a CD p =-=-,且,//CD AB 其中0>p 且1≠p ．
〔1〕求数列
{}
n a 的通项公式；
〔2〕若12p =
,数列{}n b 满足对任意n N *∈,都有1211
1...212n n n n b a b a b a n -+++=--,
求数列
{}
n b 的前n 项和
n
T ．
[知识点]共线向量；前n 项和与通项公式的关系；特殊数列的求和方法.
[答案解析]〔1〕21(),().n n a n N p -*=∈〔2〕2)1(+=n n T n 解析：解：〔1〕
2//(1).n n AB CD p S p a ⇒-=-由21111,(1),n p a p a a p =-=-∴=
又由2
211(1)(1)n n n n p S p a p S p a ++⎧-=-⎪⎨-=-⎪
⎩,两式相减得：1111(1),.n n n n n p a a a a a p +++-=-∴= 所以数列{}n a 是以首项为p ,公比为1
p 的等比数列,21(),().
n n a n N p -*=∈
〔2〕法一：当
21
=
p 时,*
2,2N n a n n ∈=-,
在12111...212n n n n b a b a b a n -+++=--中,令1,n =则1111111
21,, 1.
222b a a b =--==∴= 因为1211211
(21)
2n n n n n b a b a b a b a n --++++=--, ()a 所以11122221111
...2,(2)
22n n n n n b a b a b a b a n n -----++++=--≥,
将上式两边同乘公比1
2
p =得,12112...21,(2)n n n n b a b a b a n n --+++=--≥, ()b
()a 减去()b 得,1,.(2)2n n n
b a b n n =∴=≥,又11,b =所以)(,*
N n n b n ∈=
所以
{}
n b 的前n 项和
2)
1(+=
n n T n 。

法二：计算可得,2,121==b b 故猜想n
b n =,于是2)
1(+=
n n T n ,下用第二数学归纳法证明：
n
b n =
1 当1=n 时,11=b ,命题成立；
2 设k n ,,2,1 =时,n b n =,则1+=k n 时,因为
121
21112211-+-
=+++++++k a b a b a b a b k k k k k ,即
121
2222221111021-+-
=⋅+⋅++⋅+⋅+-+--k b k k k k k ,由错位相减法可得：
122222211021--=⋅++⋅+⋅+--k
k k k k ,代入上式得11+=+k b k ,综上
2,1有：
)
(,*N n n b n ∈=。

[思路点拨]利用向量共线的条件得到
n n
a 与S 的关系,再利用
n n
a 与S 的关系式求出
n
a .<2>根据
式子特点,因为
1211211
(21)
2
n n n n n b a b a b a b a n --++++=--,
()a
所以11122221111
...2,(2)
22n n n n n b a b a b a b a n n -----++++=--≥,
将上式两边同乘公比1
2
p =得,12112...21,(2)n n n n b a b a b a n n --+++=--≥, ()b
()a 减去()b 得,1,.(2)2n n n
b a b n n =∴=≥,又11,b =所以)(,*N n n b n ∈=
所以用公式可求出n
T ;也可用数学归纳法来证明,利用错位相减可证,可求
n
T .
21.〔12分〕
已知函数)ln 1()(x x x f +⋅=． 〔1〕求()f x 的单调区间和极值； 〔2〕若
121212,0,,0,1
x x p p p p >>+=,求证：)()()(22112211x p x p f x f p x f p +≥+．
[知识点]利用导数求函数的单调区间、极值；利用函数的单调性证明不等式.
[答案解析]〔1〕()f x 在
22
(0,),(,)e e --↓+∞↑,在2-=e x 处取得极小值,极小值为221
)(e e f -
=-,无极大值；〔2〕略
解析：解：〔1〕由于x x f ln 2)(/+=,令2
/0)(-=⇒=e x x f ,列表：
于是()f x 在
22(0,),(,)e e --↓+∞↑, 在2
-=e
x 处取得极小值,极小值为
221
)(e e f -
=-,无极大值
〔2〕 令112112()()()()g x p f x p f x f p x p x =+-+,不妨设12
0x x x <≤≤,
则
22112112111()()(),
g x p f x p f p x p x p x p x x p x p x '''=-++-=-≤,
112,
p x p x x ∴+≤而()ln 2f x x '=+在(0,)+∞上是增函数,所以112()(),f x f p x p x ''≥+
()0,()g x g x '∴≥在12[,]x x 是增函数,所以21()()0,g x g x ≥=
即)()()(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；
〔又或,本题〔2〕问还可以用函数凹凸性的性质：因
01)(//>=
x x f ,故)(x f 为下凸函数,而
0,21>p p 且121=+p p ,故由下凸函数得性质知)()()(22112211x p x p f x f p x f p +≥+,直
接利用函数凹凸性的性质是否要扣分请酌情处理〕。

[思路点拨]〔1〕先求导函数x x f ln 2)(/+=,令2
/0)(-=⇒=e x x f 求出极值点；列表找出
单调区间和极值；〔2〕先令112112()()()()
g x p f x p f x f p x p x =+-+,在求导,然后利用单调
性证明即可.
22.〔12分〕
已知椭圆22
22:1x y C a b +=的一个焦点与抛物线
2
4y x =的焦点重合,且椭圆C 经过点
M
．
〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕求椭圆C 的任意两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹方程；
〔3〕设〔2〕中的两切点分别为B A ,,求点P 到直线AB 的距离的最大值和最小值． [知识点]椭圆的概念；圆锥曲线的轨迹方程；点到直线的距离.
[答案解析]解析：解：〔1〕代入M 点与焦点可得C ：22
1.43x y +=
〔2〕 1当两切线21,l l 的斜率有一条不存在〔另一条斜率必为0〕时,易得此时点)3,2(±±P 〔四
个〕；
2当两切线21,l l 的斜率均存在且不为0时,设
n x k y l m kx y l +-
=+=1
:,:21,设
)
,(00y x P 则⊗-= 00kx y m ,⊕+= 001
x k y n
联立01248)34(12432222
2=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y ,
因为m kx y l +=:1与椭圆相切,故0=∆,于是得到342
2+=k m ,同理
3422+=
k n ,于是
⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+++=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=++=-22
0002022
20200202202002022020020220022003423
42341234234)1(34)(k x y kx y k k x k y kx y k x k y x k y k x k y kx y k x k y k kx y 两式相加得
)1(7)1()1(2
202202+=+++k x k y k ,即72
020=+y x ,显然)3,2(±±P 也在此曲线上,综上,动点P 的轨迹方程为
72
2=+y x ； 〔3〕设动点),(00y x P ,则720
2
=+y x ,下先证明直线AB 的方程为00 1.43x x y y
+=
设两切点
1122(,),(,)
A x y
B x y ,设过
11(,)
A x y 的切线：
111(),
y y k x x -=-代入椭圆方程得：
22211111111(34)8()4()120,k x k y k x x y k x ++-+--=由0∆=得,
221111()340;
y k x k ---=
又2211 1.4
3x y +=22221111343,443y x x y =-=-,代入得：211111
133()0,,44x k y x k y +=∴=- 于是过11(,)
A x y 的切线
111:
1,43x x y y
l +=当过11(,)A x y 的切线斜率不存在时仍然符合上式,
同理过
22(,)
B x y 的切线
222:
1.43x x y y
l +=而12,l l 均过00(,)P x y ,故
1010 1.43x x y y +=2020 1.43x x y y
+=
由此可得直线AB的方程为
00 1. 43
x x y y
+=
所以P点到直线AB
的距离
d===
,
而
2
[0,7]
x∈
,所以点P到直线AB
的距离的最大值和最小值分别为
[思路点拨]〔1〕先求出抛物线的焦点找到椭圆的焦点,设出椭圆的标准方程,代入已知条件可求出方程.〔2〕分情况对两切线进行求解,利用待定系数法消去参数可得方程.〔3〕根据过曲线上点的切线设出方程,利用点到直线的距离求出最值的函数形式,依据变量范围可得最值.。