3.-4函数单调性与曲线的凹凸性
3-4函数单调性与曲线的凹凸性
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
函数的单调性与凹凸性判别
定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 例 解 判定函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调性 因为在(0, 2p)内 y1cos x >0 所以, 函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加
3
证
x , x ( a , b ), 且 x x ,应用拉氏定理,得 1 2 1 2
f ( x ) f ( x ) f ( )( x x ) ( x x ) 2 1 2 1 1 2
x x 0 , 2 1
若 ( a , b ) 在 内 f ( x ) ， 0 , 则 f ( ) 0 ,
9
说明: • 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
3 2 例如, y x,x ( , )
33 x y x0
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .
3 y x ,x ( , ) 例如,
y
2
y y 3 x2
利用单调性证明不等式的步骤：
①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0, 另一端即为所作的辅助函数f(x). ②求 f (x) 验证f(x)在指定区间上的单调性. ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.
6
二、单调区间求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调． 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
2019年9月14日星期六
9
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意
两点 x1, x2 （不妨设 x1 x2 ）及任意正数 (0 1) ，恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解：已知 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 ， 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续，
因此必存在 0 ，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ，函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
2019年9月14日星期六
10
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3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
函数的单调性与曲线的凹凸性ppt课件
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
则称
(2) 若恒有
则称
图形是凸的 .
设 是区间 I 内的点，如果曲 yyy 拐点
线
在经过点
时,
曲线的凹凸性改变了, 那么就称点 OOO
为这曲线的 拐点.
x x1x1x1x21x22x2x2x2 x x
高等数学（上）
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例1 判定函数y x sin x 在 [0, 2 ] 上的单调性 解 因为在 (0, 2 )内
y 1 cos x 0,
所以函数 y x sin x在 [0, 2 ] 上的单调增加.
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界
点），驻点可能是单调区间的分界点． 4）如果函数在某驻点两边导数同号,
y
y x3
则不改变函数的单调性 . 例如,
O
x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
求函数单调区间的步骤: 1）确定函数 的定义域；
2）在定义域内求出使 存在的点；
的点与 不
3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 的子区间；
4）考察 在这些子区间内的符号，并由定
理1得出单调区间. 注意上述这些点中若有某些点两 侧的单调性一致， 则应将两侧合在一起构成一个单 调区间.
函数的单调性与曲线的凹凸性
§3。
4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增(减)的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数,则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。
令0x x →,即得00≥)('x f 。
反之,若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ,则对任意I x x ∈21,（设21x x <）,应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。
由此证得f 在I 上为增函数。
定理2 若函数f 在),(b a 内可导，则f 在),(b a 内严格递增（递减)的充要条件是：（1）),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ；（2） 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微，若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格）递增（递减）.注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减)，且在点a 右连续，则f在),[b a 上亦为（严格)递增（递减）， 对右端点b 可类似讨论。
注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续,那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号,因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。
注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f (或0<)('x f ），那么由于连续性,)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加(或单调减少）的。
函数的单调性与曲线的凹凸性
例8、求曲线 的拐点
3、课堂小结、布置作业
课后
作业
P161/4,5,8
教学
后记
周次
日期
课时安排
课题
函数的极值与最值
教材的重点、难点
分析
1、一元函数的极值
2、一元函数的最值
教
学
目
标
1、理解一元函数极值的定义以及可能的极值点；
2、会求各种形式的一元函数的极值。
3、理解一元函数最值的定义以及可能的最值点
学
目
标
1、理解原函数的定义及其性质；
2、掌握原函数的存在性及应用
3、理解不定积分的概念并掌握其基本性质
4、掌握基本积分公式（一）
教学方法
和
教学手段
教
学
过
程
教
学
过
程
1、原函数
1、原函数的概念
定义：如果在区间 上，可导函数 的导函数为 ，即对 ，都有 或者 ，那末函数 就称为 （在区间 上的原函数。
2、原函数的性质
例、求解下列不定积分
四、课堂总结与布置作业
课后
作业
教学
后记
2、解题思路
例1、设 ，求下列不定积分
例2、求下列不定积分
例3、求下列不定积分
2、第三类换元积分法
1、数学原理
定理：设 是单调的、可导的函数,并且 .又设 具有原函数 ,，则f(x)具有原函数 则有换元公式：
其中 是 的反函数.
2、例题选讲
例3、求下列不定积分
3、课堂总结与布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
1)设 在区间 上有原函数，则它的原函数有无穷多个，且任意两个原函数相差一个常数。
3.4函数的单调性与凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
高等数学-曲线的凹凸性及拐点
曲线的凹凸性和拐点的判别
例3 求曲线 =
解
3
的凹凸区间和拐点.
定义域为(−∞, +∞).
′
=
1
3
3 2
,
″
=−
2
39Leabharlann 2. = 0时， ′ ，′′都不存在.
+
凹
0
凸
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, 0) ，凸区间为(0， + ∞)，
曲线的拐点为 (0,0).
9
″ () = 12 2 − 30 + 12 = 6(2 − 1)( − 2)，
令 ″ ()
= 0，得1 =
+
凹
1
，2
2
0
= 2.
凸
0
+
凹
1
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, )和(2, +∞)，凸区间为
2
1
1 7
( , 2)，曲线的拐点为( , )和(2, −5).
2
2 16
8
02
微分中值定理及导数的应用
第6讲
曲线的凹凸性及拐点
本节内容
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
02 曲线的凹凸性和拐点的判别
2
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
定义3.2
设函数 = ()在开区间(, )内可导，在该
区间内如果曲线位于其任何一点切线的上方，
那么称此曲线在区间(, )内是凹的，区间
区间(, )内具有二阶导数.
（1）在(, )内，若 ″ () > 0，那么曲线 = ()在
[, ]上是凹的.
（2）在(, )内，若 ″ () < 0，那么曲线 = ()在
高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲
高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲在高考数学中，曲线的凹凸性是一个重要的考点，它不仅是函数性质的重要组成部分，也是解决许多数学问题的关键工具。
对于即将参加高考的同学们来说，深入理解和掌握这一考点至关重要。
一、曲线凹凸性的定义曲线的凹凸性是描述曲线弯曲方向的一种性质。
直观地说，如果一条曲线在某一段上看起来像是向上凸起的，那么就称这段曲线是凸的；如果看起来像是向下凹陷的，那么就称这段曲线是凹的。
从数学定义上讲，设函数 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x₁，x₂，恒有 f(x₁＋ x₂)／2 ＞ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凸的；如果恒有 f(x₁＋ x₂)／2 ＜ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凹的。
二、曲线凹凸性的判断方法1、二阶导数法这是判断曲线凹凸性最常用的方法。
设函数 f(x) 在区间 I 上具有二阶导数 f'＇（x)。
如果在区间 I 上 f'＇（x) ＞ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凹的；如果 f'＇（x) ＜ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凸的。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，其一阶导数 f'（x) ＝ 2x，二阶导数 f'＇（x) ＝ 2 ＞ 0，所以函数 f(x) ＝ x²的图像在其定义域内是凹的。
2、切线法在曲线的某一点处，如果曲线位于切线的上方，则曲线在该点附近是凸的；如果曲线位于切线的下方，则曲线在该点附近是凹的。
三、曲线凹凸性的性质1、若曲线是凹的，则曲线的切线位于曲线的下方；若曲线是凸的，则曲线的切线位于曲线的上方。
2、若函数在某区间上是凹的（凸的），则函数在该区间上单调递增（递减）。
四、曲线凹凸性的应用1、证明不等式利用曲线的凹凸性可以证明一些不等式。
例如，要证明对于任意的x₁，x₂∈ 0, ＋∞），有 x₁＋ x₂ ≥ 2√（x₁x₂) 。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
函数单调性和凹凸性省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
证 (1). 设 x1 , x2 (a, b), ( x1 x2 ) , 应用拉格朗日中值定理
11
x3
2 5x 1
33
9
9
9 3 x4
令 y 0 得 x1 1/ 5, 当 x2 0 时, y不存在.
列表： x (,1/ 5 ) 1/ 5 (1/ 5,0) 0
(0, )
y
0
不存在
y
有拐点 无拐 点
综上，曲线在(,1/ 5 ) 为上凸旳
点
1 5,Biblioteka 6 53 25是拐点.
在 (-1/5, )上为下凸旳.
上凸旳。
问题：拟定函数在那些区间上图形上凸旳，那些区间上图 形是下凸旳，即求函数旳凸向区间。
8
例1.判断曲线 y x3 旳凸向
解 y 3x2 y 6x
x 0 时, y 0, 曲线 在 (, 0)内是上凸旳. x 0 时, y 0, 曲线 在 (0,)内时是下凸旳.
定义 曲线上上凸弧与下凸弧旳分界点,称为拐点.
如例1中,点(0,0) 是曲线 y x3 旳拐点.
y y x3
0
•
x
注意 1.若点 (x0, f (x0)) 是拐点,则 f ( x0 ) 0.或f ( x0 )不存在
2.由f ( x0 ) 0. 或不存在 所拟定旳点(x0, f (x0 )) 未必是拐点.
如 f ( x) x4 , f (0) 0, 但点 (0,0) 不是拐点.
2
例1. 鉴定函数 y x sin x 在 [0,2 ] 上旳单调性.
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段 为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
同济大学的高等数学讲义 (9)
4Байду номын сангаас − 1 x
2 3
,
1 当 x = 时，f ′( x) = 0 ，当x=0时，导数不存在，用 4
1 x=0, 即 x = 4
将定义域区间划分成三个部分小区间：
1 1 (−∞,0), (0, ), ( , +∞), 4 4
现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如
x + ( 1( 1)⎞ 0′ x 1 ⎛f−∞,0) ⎞ ⎜ 0, ,+∞ ⎟ ⎟ 4 ⎝4 4⎠ ⎠
y
y y= f (x) y= f (x)
θ
o a
θ
b x o a b x
单调上升
单调下降
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结 论，即有 定理(可导函数单调的必要条件) 设函数f ∈C[a ,b]，并且 f ∈D(a, b)，若在区间[a ,b]上单调增加(减少)，则对任意 的x∈(a , b) ，有 f ′( x) ≥ 0 ( ≤ 0 )． 反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即 有下面的判定定理：
2.函数图形凹凸性及其判别法 ⑴定义 设I 是一个区间，若对任意的x1,x2∈I (x1≠x2)成
立不等式
⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1) + f ( x2 ) ⎛ ⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1) + f ( x2 ) ⎞ f⎜ ⎜f⎜ ⎟, ⎟< ⎟> 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
ADB 是向上凹的弧．
定义
设I 是一个区间，若对任意的x1,x2∈I (x1≠x2)成立
不等式
⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1) + f ( x2 ) , f⎜ ⎟< 2 ⎝ 2 ⎠
高数3-4
例3 确定函数 f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2
+ 12 x − 3的单调区间.
解 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
f ′( x ) = 6 x 2 − 18 x + 12 = 6( x − 1)( x − 2)
解方程 f ′( x ) = 0 得， x1 = 1, x2 = 2.
3 2
∵ D : ( −∞ ,+∞ )
( 2 ,+∞ ) 3
f ′′( x )
f ( x)
+
凹的
0
拐点
−
凸的
0
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
+
凹的
(0,1)
凹凸区间为 ( −∞ ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,+∞ ). 3
方法2:
设函数 f ( x ) 在 x 0 的邻域内三阶可导 , 且 f ′′( x 0 ) = 0, 而 f ′′′( x 0 ) ≠ 0 , 那末 ( x 0 , f ( x 0 )) 是曲
二式两边相加，得
f ( x1 ) + f ( x2 ) =
1 2 f ( x0 ) + [ f ′′(ξ1 )( x1 − x0 )2 + f ′′(ξ 2 )( x2 − x0 )2 ] 2
由 f ′′( x) > 0 ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) > 2 f ( x0 ),
x1 + x2 1 即 f( ) < [ f ( x1 ) + f ( x2 )] 2 2
又f ′(0) = 0
∴ f ′( x ) > f ′(0) = 0,
曲线凹凸性的判断方法
曲线凹凸性的判断方法
曲线凹凸性判断是识别函数曲线处处向量切线方向的重要方法，用于求解微积分、动力学等重要问题，也是检测函数曲线任意点处变化状态的依据。
曲线凹凸性的判断方法有以下几种：
1、利用积分法：将曲线上的每一片分段折线积分，由积分结果得出曲线的凹
凸性，即根据积分结果的符号大小来确定曲线的凹凸性：若积分结果为正，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若积分结果为负，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
2、利用微分法：以曲线上任一点为中心，考察它及其附近的某点处方向与曲
线段的夹角大小及趋势，从而判断曲线凹凸性：若夹角大于零，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若夹角小于零，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
3、利用数值分析法：画出曲线的网格折线，采用直接数值法求出曲线的凹凸性，即根据曲线上点之间的数值大小比较结果来判断曲线的凹凸性：若曲线点值持续上升，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若曲线点值持续下降，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
4、利用图象识别法：观察曲线的图象，根据曲线的连续变化特点来确定曲线
的凹凸性，即观察曲线的拐点位置及方向确定曲线的凹凸性：若拐点持续向上，则曲线向上凸出，上升趋势明显；若拐点持续向下，则曲线向下凹陷，下降趋势明显。
以上便是曲线凹凸性判断的主要方法，各种方法有各种优缺点，在实际应用中，以上四种方法相互之间可以结合使用，以达到合理判断曲线凹凸性的效果，使曲线凹凸性判断得以正确与准确地实现。
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§3 4 函数单调性与曲线的凹凸性
一．教学目的
（一）知识目的
（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；
（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；
（二）能力目标
（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；
（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；
（3）训练学生思维的灵活性。
（三）德育目标
~
（1）激发学生的内在动机；
（2）养成良好的学习习惯。
二．教学的重、难点及教学设计
（一）教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性
（二）教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导
（三）教学设计要点：1．用导数判断函数的单调性；
2．用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；
3．单调性及凹凸性的应用；
三．教学过程
1、函数单调性的判定法
—
如果函数y f(x)在[a b]上单调增加（单调减少）那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）即y f(x)0(y f(x)0)由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系
反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢
定理1(函数单调性的判定法) 设函数y f(x)在[a b]上连续在(a b)内可导
(1)如果在(a b)内f(x)0那么函数y f(x)在[a b]上单调增加
(2)如果在(a b)内f(x)0那么函数y f(x)在[a b]上单调减少
证明只证(1)在[a b]上任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理得到
f(x2)f(x1)f()(x2x1) (x1x2)
由于在上式中x2x10因此如果在(a b)内导数f(x)保持正号即f (x)0那么也有f()0于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)0即f(x1)f(x2)
这函数y f(x) 在[a b]上单调增加
注判定法中的闭区间可换成其他各种区间
】
例1 判定函数y x sin x在[0 2]上的单调性
解因为在(0 2)内，,y1cos x0
所以由判定法可知函数y x cos x在[0 2]上的单调增加
例2 讨论函数y e x x1的单调性（没指明在什么区间怎么办)
解 y e x 1
函数y e x x 1的定义域为( ) 因为在( 0)内y 0 所以函数
y e x x 1在( 0] 上单调减少 因为在(0 )内y 0 所以函数y e
x
x 1在[0 )上单调增加
例3 讨论函数32x y =的单调性
解 函数的定义域为(
) 函数的导数为 332x
y ='(x 0) 函数在
x 0处不可导 当x 0时 函数的导数不存在 因为x 0时 y 0 所以函数在(, 0] 上单调减少 因为x 0时 y 0 所以函数在[0, )上单调增加 &
如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 那么只要用方程f (x )0的根及导数不存在的点来划分函数f (x )的定义区间 就能保证f (x )在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数f (x )在每个部分区间上单调 例4 确定函数f (x )2x 39x 212x 3的单调区间 解 这个函数的定义域为:( )
函数的导数为:f (x )6x 2 18x 12 6(x 1)(x 2) 导数为零的点有两个 x 1 1、x 2 2
列表分析
(
1] [1 2]
[2
)
f
(x ) )
f (x )
↗
↘
↗
函数f (x )在区间( 1]和[2 )内单调增加 在区间[1 2]上单调减少
例5 讨论函数y x 3的单调性 解 函数的定义域为 ( ) ?
函数的导数为 y 3x 2 除当x 0时 y 0外 在其余各点处均有y 0 因此函数
y x 3在区间( 0]及[0 )内都是单调增加的 从而在整个定义域 ( )内是单调增加的 在x 0处曲线有一水平切线
一般地 如果f (x )在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正（或负）时 那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 例6 证明 当x 1时 x
x 1
32-
>
证明
令)
1
3(2)(x x x f --= 则 )
1(111)(22-=-='x x x x
x x f
因为当x 1时 f
(x )0 因此f (x )在[1, )上f (x )单调增加 从而当x 1时
f (x )f (1)
由于f (1)0 故f (x )f (1)0 即 0
)1
3(2>--x
x 也就是x
x 1
32->(x 1)
二、曲线的凹凸与拐点
定义 （凹凸性）设f (x )在区间I 上连续 如果对I 上任意两点x 1 x 2 恒有
;
2)
()()2(
2121x f x f x x f +<+
那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧) 如果恒有
2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>+
那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧)
定义 设函数y f (x )在区间I 上连续 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的 凹凸性的判定
定理 设f (x )在[a b ]上连续 在(a b )内具有一阶和二阶导数 那么 (1)若在(a b )内f (x )>0 则f (x )在[a b ]上的图形是凹的 (2)若在(a b )内f (x )<0 则f (x )在[a b ]上的图形是凸的 》
简要证明 只证(1)
设21 ,x x x 1 x 2[a b ] 且x 1x 2 记2
210x x x +=
由拉格朗日中值公式 得
2)
())(()()(21101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 011x x <<ξ 2)
())(()()(12202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 2
20x x <<ξ
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
2
)]()([)(2)()(1
212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ 02
)
)((1
212>--''=x x f ξξξ 2
1ξξξ<<
即
)2
(2)()(2121x
x f x f x f +>+ 所以f (x )在[a b ]上的图形是凹的
拐点 连续曲线y f (x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点
<
确定曲线y f (x )的凹凸区间和拐点的步骤
(1)确定函数y f (x )的定义域 (2)求出在二阶导数f` (x )
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 注 根据具体情况（1）（3）步有时省略 例1 判断曲线y ln x 的凹凸性 解 x
y 1
=
' 2
1
x
y -=''
因为在函数y ln x 的定义域(0 )内 y <0 所以曲线y ln x 是凸的
例2 判断曲线y x 3的凹凸性
解 y 3x 2 y 6x 由y 0 得x 0
'
因为当x <0时 y <0 所以曲线在( 0]内为凸的
因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0 )内为凹的
例3 求曲线y 2x 33x 22x 14的拐点 解 y 6x 26x 12 )
2
1
(12612+=+=''x x y 令y 0 得2
1-=x
因为当2
1
-<x 时
y
0 当2
1
->x 时
y
所以点(2
1-
2
1
20)是曲
线的拐点
例4 求曲线y 3x 44x 31的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数y 3x 44x 31的定义域为( ) (2)231212x x y -=')
3
2(3624362-=-=''x x x x y
(3)解方程y
0 得0
1=x 3
22=
x
:
(4)列表判断
;
在区间( 0]和[2/3 )上曲线是凹的 在区间[0 2/3]上曲线是凸的 点(0
1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例5 问曲线y x 4是否有拐点
解 y 4x 3 y 12x 2 当x 0时 y >0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例6 求曲线3x y =的拐点 解 (1)函数的定义域为( ) (2) 3
2
31
x y =
' 3
2
92x x y -
=''
(3)无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为x 0
(4)判断 当x <0当 y >0 当x >0时 y <0 因此 点(0 0)曲线的拐点
四． 布置作业
做练习册第19大页
有能力的同学可以附加做课后习题
( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 ) f (x ) 0 0。