高一数学下册过关检测试题10 新人教A版.doc

函数的单调性的应用
基础巩固 站起来，拿得到！
1.已知函数y=ax 2
+bx+c(a<0)图象的对称轴为直线x=3,则下列关系式中,不正确的是( ) A.f(6)<f(4) B.f(2)<f(15) C.f(3+2)=f(3-2) D.f(0)<f(7)
答案：D
解析：依题意,函数y=ax 2
+bx+c 在(-∞,3)内递增,在［3,+∞］内递减,故f(0)=f(6)>f(7). 2.设f(x)为定义在A 上的减函数,且f(x)>0,则下列函数:(1)y=3-2 004f(x);(2)y=1+)
(1002
x f ; (3)y=f 2
(x);④y=2 005+f(x).其中为增函数的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B 解法一:令f(x)=
x 1(x>0),则(1)y=3-2 004f(x)=3-x
2004
;(2)y=1+)(1002x f =1+1 002x;
(3)y=f 2
(x)=
2
1x ;(4)y=2 005+x 1
在(0,+∞)上为增函数的是(1)(2),故正确命题的个数为2.
解法二:利用单调函数的定义判断.
3.函数f(x)在定义域上单调递减，且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x 的取值范围是( )
A.(-3,+∞)
B.(-3,1)
C.(-∞,1)
D.(-∞,+∞) 答案：B
解析：|f(x)|<2⇔-2<f(x)<2⇔f(1)<f(x)<f(-3),又f(x)单调递减,故-3<x<1.
4.已知函数f(x)=x 2
-6x+7的图象如图所示,下列四个命题中正确的命题个数为( )
(1)函数在(-∞,1］上单调递减
(2)函数的单调递减区间为(-∞,1］ (3)函数在［3,4］上单调递增 (4)函数的单调递增区间为［3,4］
A.1
B.2
C.3
D.4 答案：B 解析：由图形知(1)(3)正确;函数的单调递增区间为［3,+∞),递减区间为(-∞,3],故(2)(3)错误.
5.若函数f(x)=ax 2
+2x+5在(2,+∞)上是单调递减的,则a 的取值范围是______________.
答案：a ≤-
2
1 解析：若a=0,则f(x)=2x+5,与已知矛盾,∴a ≠0.
这时,f(x)=ax 2+2x+5=a(x+a 1)2
+5-a 1,对称轴为x=-a 1,由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤-<,21,
0a
a ,解得a ≤-21.
6.已知f(x)在R 上满足f(-x)+f(x)=0,且在［0,+∞］上为增函数,若f(2
1
)=1,则-1<f(2x+1)≤0的解集为__________________. 答案：(-
43,-2
1] 解析：由f(-x)+f(x)=0⇒f(0)=0,
f(-21)=-1,故由-1<f(2x+1)≤0⇒f(-2
1
)<f(2x+1)≤f(0),可证f(x)在R 上为增函数,故-21<2x+1≤0⇒-4
3<x ≤-21
. 7.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(
y
x
)=f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式f(x)-f(
3
1
-x )≤2. 解：2=f(2)+f(2),而f(
y x )=f(x)-f(y)可以变形为f(y)+f(y
x
)=f(x). 令y=2,
y
x
=2,即x=2y=4, 则有f(2)+f(2)=f(4),∴2=f(4). ∴f(x)-f(
3
1
-x )≤2可以变形为f ［x(x-3)］≤f(4). 又∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧>->≤-.03,0,4)3(x x x x 解得3<x ≤4. ∴原不等式的解集为{x|3<x ≤4}. 能力提升 踮起脚,抓得住!
8.函数y=-|x-1|(x+5)的单调增区间为( )
A.(-∞,-2]
B.［-2,+∞)
C.［-2,1)
D.［1,+∞) 答案：C
解析：y=-|x-1|(x+5)=⎪⎩⎪⎨⎧<-+=+-≥++-=+--,
1,9)2()5)(1(,
1,9)2()5)(1(2
2
x x x x x x x x 由图形易知选C.
9.已知函数f(x)在定义域［a,b ］上是单调函数,函数值域为［-3,5］,则以下说法正确的是
( )
A.若f(a)f(b)<0,则存在x 1∈［a,b ］,使f(x 1)=0
B.f(x)在区间［a,b ］上有最大值f(b)=5
C.f(x)在区间［a,b ］上有最小值f(a)=-3
D.f(x)在区间［a,b ］上有最大值不是f(b),最小值也不是f(a) 答案：A
解析：若函数单调递增,则排除D,若函数单调递减,则排除B 、C,由此知选A.
10.y=f(x)在［0,+∞］上为减函数,则f(π)、f(3)、f(4)的大小关系为_______________. 答案：f(3)>f(π)>f(4) 解析：0<3<π<4<+∞,
且函数f(x)的减区间为［0,+∞］,∴f(3)>f(π)>f(4).
11.函数y=-x 2
-10x+11在区间［-1,2］上的最小值是________________. 答案：-13
解析：因为y=-x 2-10x+11=-(x+5)2
+36,根据二次函数的性质可知函数在［-1,2］上是减函数,
故函数的最小值是f(2)=-22
-10×2+11=-13.
12.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),求满足下列条件的实数a 的取值范围: (1)f(x)在定义域内单调递减;
(2)f(1-a)<f(a 2
-1).
解：∵f(1-a)<f(a 2
-1),
又f(x)在定义域(-1,1)内单调递减,则⎪⎩
⎪⎨⎧<<-<<<<⇒⎪⎩⎪
⎨⎧->-<-<-<-<-12,20,20111111
1122a a a a a a a
或-2<a<0⇒0<a<1.
故a 的取值范围为{a|0<a<1}.
13.设函数y=f(x)(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 、y 都有f(xy)=f(x)+f(y)成立. (1)求证:f(1)=f(-1)=0且f(
x
1
)=-f(x)(x ≠0); (2)判断f(x)与f(-x)的关系;
(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,解不等式f(
x
1
)-f(2x-1)≥0. (1)证明:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)得f(1)=0.
再令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)得f(-1)=0. 对任意x ≠0,有f(x)+f(x
1
)=f(1)=0, ∴f(
x
1
)=-f(x). (2)解：对任意x ∈R 且x ≠0,有f(-x)+f(-1)=f(x), ∴f(-x)=f(x).
(3)解：∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(
x
1
)=-f(x),则-f(x)-f(2x-1)≥0⇒f(x)+f(2x-1)≤0,即f ［x(2x-1)］≤0⇒0<|x(2x-1)|≤1,解得-2
1
≤
x ≤1且x ≠0,x ≠2
1
.
拓展应用 跳一跳,够得着!
14.(四川成都模拟)已知f(x)是R 上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R 上的( )
A.增函数
B.减函数
C.先减后增的函数
D.先增后减的函数 答案：B
解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x 为减函数.
15.函数y=f(x)是定义在R 上的减函数,则y=f(|x+2|)的单调减区间是____________________. 答案：［-2,+∞)
解析：∵y=f(u)在R 上递减,
u=|x+2|在［-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,
∴y=f(|x+2|)在［-2,+∞)上递减.
16.已知函数f(x)对任意x 、y ∈R ,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3
2. (1)求证:f(x)是R 上的减函数;
(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.
(1)证明:令x=y=0,f(0)=0,令y=-x 可得f(-x)=-f(x). 在R 上任取x 1>x 2,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2). ∵x 1>x 2, ∴x 1-x 2>0.
又∵x>0时f(x)<0, ∴f(x 1-x 2)<0, 即f(x 1)-f(x 2)>0.
由定义可知f(x)在R 上为单调递减函数. (2)解：∵f(x)在R 上是减函数, ∴f(x)在［-3,3］上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小.
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-
3
2
)=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2,
即f(x)在［-3,3］上最大值为2,最小值为-2.。