6线性空间与线性变换

与A中的
对应，就记
在映射下的像， 在下的原像.
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的像的全体构成的集合称为的像集，记作 (A)，即
例
设A=R, B=R+, (x)=x2+3是R到R+的一个映
射, 它把 x 映射到 x2+3 , 7 是 -2在 下的像.
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定义6 设U,V是R上的两个线性空间，是V到U 上的一个映射，如果满足
(4) 对任何a∈R+，有 a a 1 a a 1 1 （a-1叫做a的负元素）；
(5) 1 a a a ; k (6) k ( a ) k a a (k ) a;
1
(7 ) (k ) a a
(k )
故
1 x1 0 x2 x3 0 x4 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 x1 x 2 x1 x2 x2 . 1 x3 x3 2 x4 x4
因此 f(x)在基
下的坐标为
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于是
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在线性空间Vn中取定一个基 ，则Vn中 的向量 与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…xn)之 间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性 组合的对应，即设 则
Vn与Rn有相同的结构，称为Vn与Rn同构。 一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保 持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。
第六章 线性空间与线性变换
第一节 线性空间的定义与性质
第二节 维数、基与坐标
第三节 第四节 第五节 基变换与坐标变换 线性变换 线性变换的矩阵
§6.1 线性空间的定义与性质
定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果 对任意两个元素 ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V 与之对应，称为 与 的和，记作 ；对于任 一个数k∈R与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个 元素 ∈V 与之对应，称为k与 的积，记为 两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 ∈V , ∈R）：
若知
为V的一个基，则对任何
，
都有一组有序数x1,x2,…xn使：
并且这组数是唯一的(否则 线性相关)。
反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定Vn 中元素： 这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…xn)之间存在 着一种一一对应关系，因此可用这组有序数来表示α.
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(3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何 ∈V，都有 (4) 对任何 （ ； ∈V，都有V中的元素 ,使
称为 的负元素）；
V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称 为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).
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凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法，称 为线性运算；凡定义了线性运算的集合，称为向量空 间（或线性空间）。 注 •向量不一定是有序数组； 意 •向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭； ： •向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不 一定是有序数组的加法及数乘运算。
例 由关系式
例 在线性空间R3中，变换 验证T不是R3的线性变换.
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线性变换的性质
(3) 若 也线性相关。
线性相关，则
(4) 线性变换T的像集是V的子空间，称为T的像空间。 也是V的子空间，称为线性变换T的核，记为T-1(0).
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例
设有n阶方阵
证
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解空间.
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(1) 设 是线性空间Vn的一个基，如果Vn 的线性变换T与T'在这组基上的作用相同，即 那么，T=T'. 证 T与T '相等的意义是它们对Vn的每个向量的 作用相同，即
§6.5
线性变换的矩阵
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(2) 设 任意一组向量 使
证 设
是线性空间Vn的一个基，对于Vn ，一定有一个线性变换T
而
线性无关，故即有关系式(6-3).
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例
在线性空间P[x]3中的元素α在基 下的坐标为
在基
下的坐标为 则 解 与 有何关系？
1 1 0 0 0 0 2 0
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1 0 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 0 0
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定理2 R上的两个有限维线性空间同构当且
仅当它们的维数相等。 同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，
Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并
且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但
Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，
如内积。
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§6.3 基变换与坐标变换
a a
k

a a
k

k a a;
k k k
(8) k (a b ) k (ab ) (ab ) a b a b
k k
k a k b.
因此，R＋对于上面定义的运算构成R上的线性空间.
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性质１ 零元素是唯一的。 假设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何
§6.2 维数、基与坐标
定义3 (1) 在线性空间V 中，如果存在n个元素 满足： 线性无关； 都可由 线性表示，
(2) V 中任一元素 那么，
就称为线性空间V 的一个基，n称为
线性空间V的维数。
维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。 如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那 返回 上一页 下一页 么V 就称为无限维的。
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§6.4
线性变换
定义5 设A、B是两非空集合，如果对于A中的 任一元素 ，按照一定的法则，总有B中的一个确定的 元素 与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合B 的映射，如果A=B，A到A的映射称为A的变换。 映射常用 表示，A的变换常用T 表示。
A到B的映射使B中的
称为 称为
(1) a b a b b a b a ; ( 2 ) ( a b ) c ( a b ) c ( a b )c a ( b c ) a ( b c ) ;
(3)R+中的元素1满足： a 1 a 1 a
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（1叫做R+的零元素）；
那么， 就称为V 到U的线性映射。 当V=U时，V到U的线性映射称为V的线性变换。
例 在线性空间P[x]3中，微分运算D是一个线性变换。
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s in x x cos T cos y y s in 确定xOy平面上的一个线性变换，T把任一向量按逆时 针方向旋转α角。
∈V，有 ＋01＝ ， ＋02＝ ，于是特别有 02＋01＝02，01＋02＝01
故
性质２ 假设 于是
01＝01＋02＝02＋01＝02
任一元素的负元素是唯一的。 （ 的负元素记作 ） 有两个负元素 与 ，即
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性质３
因为
所以 又因为
所以
而
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性质4 如果 假设 ，那么
返回上一页下一页定义4于任一元素有且仅有一组有序数x返回上一页下一页可写成因此fx在基下的坐标为返回上一页下一页返回上一页下一页于是返回上一页下一页在线性空间v的向量与n维数组向量空间r间有一个一一对应的关系且这个对应关系保持线性组合的对应即设一般地设v与u是r上的两个线性空间如果在它们的元素之间有一一对应关系且这个对应关系保持线性组合的对应那么就说线性空间v与u同构
例 实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记 为P[x]n，即P[x]n ={anxn+…+a1x+a0|an, an-1,…a1, a0∈R} P对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量 空间。 返回 上一页 下一页
例 实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即 W={anxn+ an-1xn-1 +…+a1x+a0|an, an-1,…a1, a0∈R ， 且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R 上的向量空间。 因为0(anxn+…+a1x+a0)=0W，即W对数乘不封闭。 n个有序实数组成的数组的全体 Sn={x=(x1,x2,…xn)| x1,x2,…xn∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k•(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0) 不构成R上的向量空间。 因为1x=0 ，不满足运算规律（5） 返回 上一页 例
因 线性无关，aij是由T 唯一确定的。
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可见A由T唯一确定。
给定一个方阵A，定义变换T:
T是由n阶矩阵A确定的线性变换，且T在基 下的矩阵是A.
在Vn中取定一个基后，Vn的线性变换与n阶矩
阵之间，有一一对应的关系。
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例 解
在P[x]3中，取基
，
求微分运算D（线性变换）在这个基下的矩阵。
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例 正实数的全体，记作R＋，定义加法、数乘运算为 a b=ab(a,b∈R＋)，k· k（k∈R,a∈R+）. a=a 验证R+对上述加法与数乘运算构成R上的线性空间. 证 实际上要验证十条. 对加法封闭：对任意a,b∈R＋，有a b＝ab∈R＋； 对数乘封闭：对任意k∈R,a∈R＋，有k· k∈R＋； a＝a
则有坐标变换公式
(6-3)
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证
x1 x1 因 x2 x2 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) xn xn x1 x2 ( 1 , 2 , , n ) C xn
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例 在R3中，取基e1＝(1，0，0)，e2＝(0，1，0)，
e3＝(0，0，1)，Ｔ表示将向量投影到yOz平面的线性
变换，即
T(xe1＋ye2＋ze3)＝ye2＋ze3.
(1) 求T在基e1, e2，e3下的矩阵； (2) 取基为 基下的矩阵. 解 (1) Te1＝Ｔ(e1＋0 e2＋0 e3)＝0， Te2＝Ｔ(0 e1＋e2＋0 e3)＝e2， Te3＝Ｔ(0 e1＋0 e2＋e3)＝e3，
不同基与不同的坐标之间的关系 设 间Vn的两个基，且 及 是线性空
(6-1)
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或表示为
(6-2) 上两式称为基变换公式. 矩阵C 称为由基 到基 的
过渡矩阵，C一定是可逆矩阵。
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定理3 标为（
设Vn中的元素 ），在基
在基
下的坐 下的坐标为
（
），若两个基满足基变换公式（6-2）,
0 0 , 0 1
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C
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
1
1 0 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 2 0
0 0 , 0 1
是线性空间Vn的一个基，对 ，有且仅有一组有序数x1,x2,…xn使
x1,x2,…xn这组有序数就称为 在基 1 , 2 , n 下的坐
标，记作(x1,x2,…xn)。
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例 项式
可写成
在线性空间P[x]3中，
就是P[x]3的一个基， P[x]3的维数是4， P[x]3中的任一多
，作变换T
容易验证T是Vn的线性变换，且
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定理4 性变换T使
设 是线性空间Vn的一个基， 是Vn中任意n个向量，则存在唯一的线
定义7 设 是线性空间Vn的一个基， T 是Vn的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：
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用矩阵来表示 其中
矩阵A称为T在基 1 , 2 ,, n下的矩阵。
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求T在该
即
0 T ( e1 , e 2 , e 3 ) ( e1 , e 2 , e 3 ) 0 0
,那么
或者
。
定义2 R上线性空间V的一个非空子集合W,如果 对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W 为V的线性子空间（简称子空间）。 定理1 线性空间V的非空子集W构成V的子空间 的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。 例 在全体实函数组成的线性空间中，所有实系
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数多项式组成V的一个子空间.